Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Відсотки (Як це все пов'язано?)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66725

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ваш клас тільки що написав свою першу математичну вікторину. Ви отримали 13 з 19 питань правильно, або\(\dfrac{13}{19}\). Розмовляючи зі своїми друзями Сандху та Іллією, які навчаються в інших класах, ви дізнаєтесь, що вони також писали математичні вікторини; однак їхні були різними. Сандху забив 16 з 23, або\(\dfrac{16}{23}\), в той час як Іллія отримав 11 з 16, або\(\dfrac{11}{16}\). Хто досяг вищої оцінки? У кого був найнижчий? Відповіді не очевидні, тому що фракції важко порівняти.

    Тепер висловіть свої оцінки у відсотках, а не в дробах. Ви набрали 68%, Сандху набрав 70%, а Іллія набрав 69%. Зверніть увагу, що ви можете легко відповісти на питання зараз. Перевага відсотків полягає в тому, що вони полегшують порівняння і розуміння.

    Перетворення десяткових знаків у відсотки

    Відсоток - це частина цілого, виражена в сотих частках. Іншими словами, це значення з 100. Наприклад, 93% означає 93 з 100, або\(\dfrac{93}{100}\).

    Формула

    clipboard_e6f0926a0abb2da18ff922c5cbd9e8f7f.png

    Формула 2.1

    Як це працює

    Припустімо, ви хочете перетворити десяткове число 0.0875 у відсоток. Це число представляє\(\boldsymbol{dec}\) змінну у формулі. Замінюємо в Формулу 2.1:

    \[\%=0.0875 \times 100=8.75 \%\nonumber \]

    Важливі примітки

    Ви також можете вирішити цю формулу для десяткового числа. Щоб перетворити будь-який відсоток назад в його десяткову форму, потрібно виконати математичну протилежність. Так як відсоток є результатом множення на 100, математична протилежність досягається діленням на 100. Тому, щоб перетворити 81% назад в десяткову форму, ви берете\(81 \% \div 100=0.81\).

    Речі, на які слід стежити

    Ваш калькулятор Texas Instruments BAII Plus має ключ%, який може бути використаний для перетворення будь-якого процентного числа в його десятковий формат. Наприклад, якщо натиснути 81, а потім%, ваш калькулятор відображає 0.81.

    Хоча ця функція добре працює при роботі з одним відсотком, вона викликає проблеми, коли ваша математична задача включає кілька відсотків. Наприклад, спробуйте ввести 4% + 3% = в калькулятор за допомогою клавіші%. Це повинно бути таким же, як\(0.04 + 0.03 = 0.07\). Однак зверніть увагу, що ваш калькулятор має 0.0412 на дисплеї.

    Чому це? Як бізнес-калькулятор, ви BAII Plus запрограмований приймати порції цілого. Коли ви вводите 3% в калькулятор, він займає 3% від першого введеного номера, який був 4%. Як формулу бачить калькулятор\(4 \%+(3 \% \times 4\%)\). Це працює до\(0.04 + 0.0012 = 0.0412\).

    Щоб цього не сталося, ваш найкращий спосіб дій - не використовувати клавішу% на калькуляторі. Найкраще вказувати всі відсотки як десяткові числа, коли це можливо, виключаючи, таким чином, будь-який шанс, що ключ% займає частину вашого цілого. Протягом усього цього підручника всі відсотки перетворюються на десяткові знаки перед розрахунками.

    Шляхи до успіху

    При роботі з відсотками можна скористатися деякими хитрощами для запам'ятовування формули і переміщення десяткової крапки.

    Пам'ятаючи Формулу. Коли рівняння передбачає лише множення всіх членів з одного боку з ізольованим розв'язком на іншій стороні, використовуйте мнемоніку, яка називається технікою трикутника. У цій техніці проведіть трикутник з горизонтальною лінією через його середину. Над лінією йде рішення, а під лінією, розділеною вертикальними лініями, йде кожен з членів, що беруть участь у множенні. На малюнку праворуч показано, як Формула 2.1 буде намальована за допомогою техніки трикутника.

    clipboard_e3de8c875d0402d5c5c3b01f131619bc2.png

    Щоб використовувати цей трикутник, визначте невідому змінну, яку потім обчислюєте з інших змінних у трикутнику:

    1. Все, що на одному рядку множиться разом. Якщо розв'язувати для%, то інші змінні знаходяться на одному рядку і множаться як\(\boldsymbol{dec} \times 100\).
    2. Будь-яка пара предметів, що мають один над іншим, розглядається як дріб і ділиться. Якщо рішення for\(\boldsymbol{dec}\), то інші змінні знаходяться вище/нижче один одного і діляться як\(\dfrac{\%}{100}\).

    Переміщення десяткового. Ще один простий спосіб роботи з відсотками - пам'ятати, що множення або ділення на 100 переміщує десяткове число на два розряди.

    1. Якщо ви множите на 100, десяткова позиція переміщує дві позиції вправо. \[0.73 \times 100=0.\underbrace{\overrightarrow{7}}_{\text {2 positions}}\underbrace{\overrightarrow{3}}_{\text { to the right}}=73 \% \nonumber \]
    2. Якщо ви ділите на 100, десяткова позиція переміщує дві позиції вліво. \[73\% \div 100=\underbrace{\overleftarrow{7}}_{\text {2 positions}}\underbrace{\overleftarrow{3}}_{\text { to the left}}\cdot = 0.73 \nonumber \]
    Приклад\(\PageIndex{1}\): Working with Percentages

    Перетворити (a) і (b) у відсотки. Перетворити (c) назад у десятковий формат.

    1. \(\dfrac{3}{8}\)
    2. 1,3187
    3. 12,399%

    Рішення

    Для питань (a) та (b) вам потрібно перетворити їх у відсотковий формат. Для питання (c) вам потрібно перетворити його назад у десятковий формат.

    Що ви вже знаєте

    1. Це дріб, який слід перетворити в десятковий, або\(\boldsymbol{dec}\).
    2. Це\(\boldsymbol{dec}\).
    3. Це%.

    Як ви туди потрапите

    1. Перетворіть дріб у десятковий, щоб мати\(\boldsymbol{dec}\). Потім застосовуємо Формулу 2.1:\(\% = \boldsymbol{dec} \times 100\) щоб отримати відсоток.
    2. Оскільки цей термін вже в десятковому форматі, застосуйте Формулу 2.1:\(\% = \boldsymbol{dec} \times 100\) щоб отримати відсоток.
    3. Цей термін вже в процентному форматі. Використовуючи техніку трикутника, обчислити десяткове число через\(\boldsymbol{dec}=\dfrac{\%}{100}\).

    Виконувати

    1. \(\dfrac{3}{8}=3 \div 8=0.375\)\(\%=0.375 \times 100\)\(\% = 37.5\%\)
    2. \(\%=1.3187 \times 100\)\(\% = 131.87\%\)
    3. \(\boldsymbol{dec}=\dfrac{12.399 \%}{100}=0.12399\)

    У процентному форматі перші два числа складають 37,5% і 131,87%. У десятковому форматі останнє число дорівнює 0.12399.

    Ставка, Порція, База

    В особистому житті і кар'єрі вам часто потрібно буде або обчислювати, або порівнювати різні величини за участю дробів. Наприклад, якщо ваш дохід становить 3000 доларів на місяць і ви не можете витратити більше 30% на житло, яка ваша максимальна сума в доларах житла? Або, можливо, ваш менеджер скаже вам, що цьогорічні продажі $1,487 003 складають 102% від торішніх продажів. Якими були ваші продажі минулого року?

    Формула

    clipboard_e96e3ccfdee41c0b110d062b590f9e2ff.png

    Формула 2.2

    Як це працює

    Припустимо, що ваша компанія встановила бюджет у розмірі 1 000 000 доларів. Це вся сума бюджету і представляє вашу базу. Ваш відділ отримує 430 000 доларів бюджету - це частина вашого відділу в цілому і представляє частину. Ви хочете знати взаємозв'язок між вашим бюджетом і бюджетом компанії. Іншими словами, ви шукаєте ставку.

    clipboard_ed72f3cf533570ed952786dff17b08431.png

    • Застосовуємо Формулу 2.2, де ставка\(=\dfrac{\$ 430,000}{\$ 1,000,000}\).
    • Ваш бюджет становить 0,43, або 43% від бюджету компанії.

    Важливі примітки

    У цій формулі три частини. Помилки зазвичай виникають через неправильне присвоєння величини пов'язаній змінній. У таблиці нижче наведено кілька порад та підказки, які допоможуть вам зробити правильне призначення.

    Змінна Ключові слова Приклад
    База з Якщо ваш відділ може витратити 43% від загального бюджету компанії в розмірі 1 000 000 доларів, які ваші максимальні відомчі витрати?
    Порція є, є Якщо ваш відділ може витратити 43% від загального бюджету компанії в розмірі 1 000 000 доларів, які ваші максимальні відомчі витрати?
    Ставка %, відсоток, ставка Якщо ваш відділ може витратити 43% від загального бюджету компанії в розмірі 1 000 000 доларів, які ваші максимальні відомчі витрати?

    Речі, на які слід стежити

    Вирішуючи швидкість, ви повинні виражати всі числа в одних і тих же одиницях - ви не можете мати яблука і апельсини в одній послідовності обчислень. У наведеному вище прикладі і бюджет компанії, і відомчий бюджет знаходяться в одиницях доларів. Крім того, ви не зможете обчислити ставку, якби у вас була база, виражена в кілометрах, і частина, виражена в метрах. Перш ніж виконувати розрахунок ставки, експресуйте обидва кілометри або обидва в метрах.

    Шляхи до успіху

    clipboard_e14558ea8b7905744d2f9e8f41ed4cf70.png

    Формула 2.2 - ще одна формула, для якої ви можете використовувати техніку трикутника. Вам не потрібно запам'ятовувати кілька версій формули для кожної зі змінних. Праворуч з'являється трикутник.

    Будьте дуже обережні при виконанні операцій, пов'язаних зі ставками, особливо при підсумовуванні або усереднення ставок.

    Підсумовуючи ставки

    Підсумовуючи ставки вимагають, щоб кожна ставка була частиною одного цілого або базового. Якщо Боб має 5% пройдених кілометрів, а Шейла має 6% апельсинів, вони не є частиною одного цілого і не можуть бути додані. Якби ви зробили, що представляє 11%? Результат не має інтерпретації. Однак якщо є 100 апельсинів, з яких у Боба 5%, а Шейла - 6%, ставки можна додати, і можна сказати, що загалом у них 11% апельсинів.

    Усереднення ставок

    Просте усереднення ставок вимагає, щоб кожна ставка була мірою тієї ж змінної з однаковою базою. Якщо 36% ваших клієнтів - жінки, а 54% мають високий дохід, середній показник 45% безглуздий, оскільки кожна ставка вимірює іншу змінну. Нагадаємо, що раніше в цьому розділі ви досягли 68% на своєму тесті, а Сандху набрав 70%. Однак ваш тест включав 19 запитань, а Сандху включав 23 питання. Ці ставки також не можна просто усереднити до 69% з міркувань, що (68% + 70%)/2 = 69%, оскільки основи не однакові. Коли дві змінні вимірюють одну і ту ж характеристику, але мають різні основи (наприклад, математичні вікторини), ви повинні використовувати техніку зважених середніх, про яку йтиметься в розділі 3.1.

    Коли можна середні ставки? Гіпотетично, припустимо, що Сандху досяг своїх 70%, написавши той самий тест з 19 питаннями. Оскільки обидві ставки вимірюють одну і ту ж змінну і мають однакову базу, просте середнє значення 69% тепер обчислюється.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

    Розглянемо наступні ситуації і вибираємо найкращу відповідь, не виконуючи ніяких розрахунків.

    1. Якщо норма становить 0,25%, в порівнянні з базовою порція становить
      1. трохи менше підстави.
      2. набагато менше підстави.
      3. просто трохи більше, ніж основа.
      4. набагато більше, ніж база.
    2. Якщо частина становить $44,931, а база - $30,000, ставка
      1. менше 100%.
      2. дорівнює 100%.
      3. більше 100%, але менше 200%.
      4. більше 200%.
    3. Якщо ставка становить 75%, а порція становить $50,000, база
      1. менше 50 000 доларів.
      2. більше 50 000 доларів.
      3. так само, як і порція і дорівнює 50 000$.
    Відповідь
    1. b (0,25% становить 0,0025, в результаті чого виходить дуже мала порція)
    2. c (порція більше підстави, але не в два рази більше)
    3. b (частина становить 75% основи, тобто основа повинна бути більшою)
    Приклад\(\PageIndex{2}\): Rate, Portion, Base

    Вирішіть для невідомого в наступних трьох сценаріях.

    1. Якщо ваш загальний дохід становить 3000 доларів на місяць і ви не можете витратити більше 30% на житло, яка максимальна сума вашого загального доходу, який можна витратити на житло?
    2. Ваш менеджер повідомляє вам, що продажі 2014 року складають 102% від продажів 2013 року. Продажі за 2014 рік становлять $1,487 003. Якими були продажі в 2013 році?
    3. У Калгарі загальний обсяг продажів комерційної нерухомості в першому кварталі 2008 року склав 1,28 мільярда доларів. Промисловий, комерційний та інституційний (ICI) земельний сектор в Калгарі мав продажі 409,6 мільйона доларів. Який відсоток продажів комерційної нерухомості припадає на земельний сектор ICI?

    Рішення

    1. Ви шукаєте максимальну суму свого доходу, яку можна витратити на житло.
    2. Потрібно розібратися з продажами за 2013 рік.
    3. Ви повинні визначити відсоток продажів комерційної нерухомості, що припадає на земельний сектор ICI в Калгарі.

    Що ви вже знаєте

    1. Шукайте ключові слова в питанні: «яка максимальна сума» і «вашого загального доходу». Загальний дохід - це база, а максимальна сума - порція.
      • База = $3,000 Ставка = 30% Порція = максимальна сума
    2. Шукайте ключові слова в питанні: «продажі за 2014 рік складають $1,487 003» і «продажів 2013 року». Продажі 2014 року - це частина, а продажі 2013 року є базою.
      • Порція = $1,487,003 Ставка = 102% База = 2013 продажів
    3. Шукайте ключові слова в питанні: «продажу комерційної нерухомості» і «враховуються земельним сектором ІСІ». Продаж комерційної нерухомості є базою, а продажі земельного сектору ICI - це частина.
      • База=$1.28 млрд Порція = $409.6 млн Ставка = відсоток

    Як ви туди потрапите

    1. Застосуйте формулу 2.2, але переставте за допомогою техніки трикутника, щоб мати Portion = Rate\(\times\) Base.
    2. Застосуйте формулу 2.2, але переставте за допомогою техніки трикутника, щоб мати Base = Portion/Rate.
    3. Застосувати формулу 2.2, ставка = порція/основа.

    Виконувати

    1. \(\text { Portion }=30 \% \times \$ 3,000=0.3 \times \$ 3,000=\$ 900\)
    2. \(\text { Base }=\dfrac{\$ 1,487,003}{102 \%}=\dfrac{\$ 1,487,003}{1.02}=\$ 1,457,846.08\)
    3. \(\text { Rate }=\dfrac{\$ 409.6 \text { million }}{\$ 1.28 \text { billion }}=\dfrac{\$ 409,600,000}{\$ 1,280,000,000}=0.32 \text { or } 32 \%\)

    Результат

    1. Максимум, який ви можете витратити на житло - 900 доларів на місяць.
    2. Продажі за 2013 рік склали 1 457 846,08 доларів.
    3. Земельний сектор ICI становив 32% продажів комерційної нерухомості в Калгарі за перший квартал 2008 року.

    Дописувачі та атрибуція