2.2: Дроби, десяткові знаки та округлення (лише один шматочок пирога, будь ласка)
- Page ID
- 66718
Ваша місцева газета цитує політичного кандидата: «Верхня половина студентів добре освічена, нижня половина отримує додаткову допомогу, але середню половину ми залишаємо» [1] Ви на мить дивитеся на речення, а потім смієтеся. Вдвічі щось означає розділити його на дві частини. Однак тут три половини! Ви робите висновок, що доповідач не думав ретельно.
Прийшовши до такого висновку, ви застосовуєте свої знання про дробах. У цьому розділі ви переглянете типи дробів, конвертуєте дроби в десяткові, виконуєте операції над дробами, а також вирішите питання округлення в бізнес-математиці.
Типи дробів
Щоб розібратися в характеристиках, правилах і процедурах роботи з дробами, необхідно ознайомитися з термінологією дробів. Перш за все, що таке дріб? Дріб - це частина цілого. Вона написана в одному з трьох форматів:
\[\text{1/2 or ½ or } \dfrac{1}{2}\nonumber \]
Кожен з цих форматів означає точно одне і те ж. Число вгорі, збоку або ліворуч від рядка відоме як чисельник. Число внизу, збоку або праворуч від рядка відоме як знаменник. Коса риска або лінія посередині - це лінія дільника. У наведеному вище прикладі чисельник дорівнює 1, а знаменник - 2. Існує п'ять різних типів дробів, як пояснено в таблиці нижче.
| Дріб | Термінологія | Характеристика | Результат поділу* |
|---|---|---|---|
| \(\bf{\dfrac{2}{5}}\) | Правильне | Чисельник менше знаменника. | Відповідь знаходиться від 0 до 1 |
| \(\bf{\dfrac{5}{2}}\) | Неправильне | Чисельник більше знаменника. | Відповідь більше 1 |
| \(\bf{3 \dfrac{2}{5}}\) | З'єднання | Дріб, який об'єднує ціле число з належним або неправильним дробом. При діленні до цілого числа додається правильний або неправильний дріб. | Відповідь більше цілого числа |
| \(\bf{3 \dfrac{2 / 5}{7}}\) | Комплекс | Дріб, який має дроби всередині дробів, поєднуючи елементи складеного, належного або неправильного дробу разом. Важливо дотримуватися BEDMAS у вирішенні цих фракцій. | Відповідь варіюється в залежності від задіяних фракцій |
| \(\bf{\dfrac{1}{2}}\)і\(\bf{\dfrac{2}{4}}\) | Еквівалент | Дві або більше дробів будь-якого типу, які мають однакове числове значення після завершення ділення. Зверніть увагу, що обидва ці приклади працюють до 0,5. | Відповіді рівні |
* Припускаючи, що всі числа є позитивними.
Як це працює
По-перше, зосередьтеся на правильному визначенні належних, неправильних, складних, еквівалентних та складних дробів. У наступному розділі ви попрацюєте над тим, як точно перетворити ці дроби в їх десяткові еквіваленти.
Еквівалентні дроби вимагають або розв'язати для невідомого терміну, або виражати дріб більшими або меншими термінами.
Рішення для невідомого терміну
Ці ситуації стосуються двох дробів, де відсутній лише один з чисельників або знаменників. Дотримуйтесь цієї чотириетапної процедури, щоб вирішити невідоме:
Крок 1: Налаштуйте два дроби.
Крок 2: Зверніть увагу, що ваше рівняння містить два чисельники та два знаменники. Виберіть пару, для якої ви знаєте обидва значення.
Крок 3: Визначте зв'язок множення або ділення між двома числами.
Крок 4: Застосуйте те саме відношення до пари чисельників або знаменників, що містять невідоме.
Припустімо, що ви влаштовуєте вечірку, і один з ваших друзів каже, що він хотів би з'їсти третину піци. Ви помітили, що піца була розрізана на дев'ять скибочок. Скільки скибочок ви б подарували своєму другові?
Крок 1: Ваш друг хоче одну з трьох штук. Це третина. Ви хочете знати, скільки штук з дев'яти йому дати. Призначте змістовну змінну для представлення вашого невідомого, тому\(s\) уявляйте кількість скибочок, щоб дати; вам потрібно дати йому\(s\) з 9 штук, або\(s/9\).
\[\dfrac{1}{3}=\dfrac{s}{9}\nonumber \]
Крок 2: Працюйте зі знаменниками 3 та 9, оскільки ви знаєте їх обох.
Крок 3: Візьміть більшу кількість і розділіть його на меншу кількість. У нас є\(9 \div 3 = 3\). Тому знаменник праворуч в три рази більше знаменника зліва.
Крок 4: Візьміть 1 і помножте його на 3, щоб отримати\(s\). Тому,\(s = 1 \times 3 = 3\).
\[\dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}\nonumber \]
Слід подарувати подрузі три скибочки піци.
Висловлення дробу у більшому чи меншому значенні
Коли потрібно зробити дріб легше зрозуміти або потрібно висловити її в певному форматі, це допомагає спробувати висловити її більшими або меншими термінами. Щоб висловити дріб більшим числом, помножте і чисельник, і знаменник на одне і те ж число. Щоб висловити дріб більш дрібними словами, розділіть і чисельник, і знаменник на одне і те ж число.
- Більші терміни:\(\dfrac{2}{12}\) виражені термінами вдвічі більшими\(\dfrac{2 \times 2}{12 \times 2}=\dfrac{4}{24}\)
- Менші терміни:\(\dfrac{2}{12}\) виражені термінами наполовину менше, ніж було б\(\dfrac{2 \div 2}{12 \div 2}=\dfrac{1}{6}\)
При вираженні дробів у вищому або нижчому значенні ви не хочете вводити десяткові знаки в дріб, якщо не буде конкретної причини для цього. Наприклад, якщо ви розділили 4 як на чисельник, так і знаменник, у вас буде, що не є типовим форматом. Щоб знайти числа, які поділяються рівномірно на чисельник або знаменник (званий факторингом), виконайте наступні дії:
- Виберіть найменше число в дробі.
- Використовуйте свої таблиці множення і почніть з,\(1\times\) перш ніж приступити до\(2\times\)\(3\times\), і так далі. Коли ви знайдете число, яке працює, перевірте, чи він також ділиться рівномірно на інше число.
Наприклад, якщо дріб є\(\dfrac{12}{18}\), ви б множник чисельник 12. Зверніть увагу, що\(1 \times 12 = 12\); однак, 12 не ділиться рівномірно на знаменник. Далі ви\(2 \times 6\) спробуєте виявити, що 6 ділиться рівномірно на знаменник. Тому ви зменшуєте дріб до менших доданків, діливши на 6, або\(\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6}=\dfrac{2}{3}\).
Речі, на які слід остерігатися
При складних фракціях критично важливо підкорятися правилам БЕДМАС. Як було запропоновано в розділі 2.1, завжди вставляйте приховані символи перед вирішенням. Зауважте в наступному прикладі, що знак додавання та два набори дужок були приховані: Ви повинні переписати,\(3 \dfrac{2 / 5}{7}\) як\(3+\left[\dfrac{(2 / 5)}{7}\right]\) перед спробою вирішити проблему з BEDMAS.
Шляхи до успіху
Що ви робите, коли перед фракцією є негативний знак, наприклад\(-\dfrac{1}{2}\)? Ви ставите негатив з чисельником або знаменником? Загальне рішення полягає в тому, щоб помножити чисельник на від'ємний 1, в результаті чого\(\dfrac{(-1) \times 1}{2}=\dfrac{-1}{2}\). В окремому випадку складеної фракції помножте всю фракцію на\(−1\). Таким чином,\(-1 \dfrac{1}{2}=(-1) \times\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=-1-\dfrac{1}{2}\).
Визначте тип дробу, представленого кожним з наступних:
- \(\dfrac{2}{3}\)
- \(6 \dfrac{7}{8}\)
- \(12 \dfrac{4 / 3}{6 \dfrac{4}{5}}\)
- \(\dfrac{15}{11}\)
- \(\dfrac{5}{6}\)
- \(\dfrac{3}{4} \& \dfrac{9}{12}\)
Рішення
Для кожної з цих шести дробів визначте тип дробу.
Що ви вже знаєте
Існує п'ять типів дробів, включаючи належні, неправильні, складені, складні або еквівалентні
Як ви туди потрапите
Вивчіть кожну фракцію на предмет її характеристик і зіставте ці характеристики з визначенням дробу.
Виконувати
- Чисельник менше знаменника. Це відповідає характеристикам належного дробу.
- Цей дріб об'єднує ціле число з правильним дробом (так як чисельник менше знаменника). Це відповідає характеристикам сполученої фракції.
- Існує безліч дробів за участю дробів, вкладених всередині інших дробів. Дріб в цілому являє собою складний дріб, що містить ціле число з належним дробом (так як чисельник менше знаменника). У межах правильного дробу чисельник - це неправильний дріб,\(\left (\dfrac{4}{3} \right )\) а знаменник - складний дріб, що містить ціле число і правильний дріб\(\left (6 \dfrac{4}{5} \right)\). Це все відповідає визначенню складного дробу: вкладених дробів, що об'єднують елементи складеного, належного та неправильного дробів разом.
- Чисельник більше знаменника. Це відповідає характеристикам неправильного дробу.
- Чисельник менше знаменника. Це відповідає характеристикам належного дробу.
- Тут є два правильних дробу, які рівні один одному. Якщо ви повинні були завершити поділ, обидві фракції обчислюють до 0,75. Це еквівалентні дроби.
З шести досліджуваних фракцій є дві належні фракції (a та e), одна неправильна фракція (d), одна складена фракція (b), одна складна фракція (c) та одна еквівалентна фракція (f).
- Вирішіть за невідомий термін\(x\):\(\dfrac{7}{12}=\dfrac{49}{x}\)
- Висловлюйте цей дріб нижчими словами:\(\dfrac{5}{50}\)
Рішення
- Знайти значення невідомого терміна,\(x\).
- Візьміть належну дріб і висловіть її нижчим терміном.
Що ви вже знаєте
Наведено необхідні фракції в готовому до розв'язання форматі.
Як ви туди потрапите
- Застосовуйте чотириступінчасту техніку для вирішення еквівалентних дробів. Перший крок вже зроблений для вас, в тому, що рівняння вже налаштоване.
- Знайдіть загальний дільник, який ділиться рівномірно як на чисельник, так і на знаменник. Оскільки тільки 1 і 5 входять в число 5, має сенс вибрати 5, щоб розділити як на чисельник, так і на знаменник. Зверніть увагу, що 5 факторів рівномірно в знаменник, 50, що означає, що залишок або десяткових знаків не залишилося.
Виконувати
Крок 2: У вас є обидва чисельники, тому працюйте з цією парою.
Крок 3: Візьміть більшу кількість і розділіть на меншу кількість, або\(49 \div 7 = 7\). Тому помножте дріб зліва на 7, щоб отримати дріб праворуч.
Крок 4: Застосування однакових відносин,\(12 \times 7 = 84\).
- \(\dfrac{5 \div 5}{50 \div 5}=\dfrac{1}{10}\)
Результат
- Невідомий знаменник праворуч - 84, а значить\(\dfrac{7}{12}=\dfrac{49}{84}\).
- У нижчих вираженнях\(\dfrac{5}{50}\) виражається як\(\dfrac{1}{10}\).
Перетворення в десяткові
Хоча фракції поширені, багато людей мають проблеми з інтерпретацією їх. Наприклад,\(\dfrac{27}{37}\) в порівнянні з\(\dfrac{57}{73}\), яке більше число? Рішення не відразу видно. Крім того, уявіть роздрібний світ, де ваш місцевий Walmart мав у продажу! Не так просто усвідомити, що це прирівнюється до 15% знижки. Іншими словами, дроби перетворюються в десяткові числа, виконуючи поділ, щоб полегшити їх розуміння та порівняння.
Як це працює
Правила перетворення дробів у десяткові числа засновані на типах дробів.
Правильні та неправильні дроби
Вирішити поділ. Наприклад,\(\dfrac{3}{4}\) це те ж саме, що і\(3 \div 4 = 0.75\). Так само,\(5/4=5 \div 4=1.25\).
Складені фракції
Десяткове число і дріб з'єднуються прихованим символом додавання. Тому для перетворення в десятковий вам потрібно знову вставити символ додавання і застосувати BEDMAS:
\[3 \dfrac{4}{5}=3+4 \div 5=3+0.8=3.8\nonumber \]
Складні дроби
Важливим навиком тут є повторне вставлення всіх прихованих символів, а потім застосувати правила BEDMAS:
\[2 \dfrac{11 / 4}{11 / 4}=2+\left[\dfrac{(11 \div 4)}{(1+1 \div 4)}\right]=2+\left[\dfrac{(11 \div 4)}{(1+0.25)}\right]=2+\left[\dfrac{2.75}{1.25}\right]=2+2.2=4.2\nonumber \]
Перетворіть наступні дроби в десяткові числа:
- \(\dfrac{2}{5}\)
- \(6 \dfrac{7}{8}\)
- \(12 \dfrac{9 / 2}{1 \dfrac{2}{10}}\)
Рішення
Візьміть ці дроби і конвертуйте їх в десяткові числа.
Що ви вже знаєте
Три дроби надаються і готові до перетворення.
Як ви туди потрапите
- Це правильний дріб, який вимагає від вас завершити поділ.
- Це складний дріб, який вимагає повторного вставлення прихованого символу додавання, а потім застосувати BEDMAS.
- Це складний дріб, який вимагає від вас знову вставити всі приховані символи та застосувати BEDMAS.
Виконувати
- \(\dfrac{2}{5}=2 \div 5=0.4\)
- \(6 \dfrac{7}{8}=6+7 \div 8=6+0.875=6.875\)
- \(12 \dfrac{9 / 2}{10}=12+\left[\dfrac{9 \div 2}{1+2 \div 10}\right]=12+\left[\dfrac{9 \div 2}{1+0.2}\right]=12+\left[\dfrac{4.5}{1.2}\right]=12+3.75=15.75\)
У десятковому форматі дроби перетворилися в 0,4, 6,875 і 15,75 відповідно.
Принцип округлення
Ваша компанія повинна взяти кредит, щоб покрити деякі короткострокові заборгованості. Банк має розміщену ставку 6,875%. Ваш співробітник банку каже вам, що для простоти вона просто округляє вашу процентну ставку до 6,9%. З тобою все гаразд? Цього не повинно бути!
Цей приклад ілюструє важливість округлення. Це трохи хитра концепція, яка певною мірою бентежить більшість студентів. У діловій математиці іноді ви повинні округлити свої розрахунки, а іноді вам потрібно зберегти всі цифри, щоб підтримувати точність.
Як це працює
Щоб округлити число, ви завжди дивитеся на число праворуч від округлення цифри. Якщо це число 5 або більше, ви додаєте один до своєї цифри; це називається округленням вгору. Якщо це число 4 або менше, ви залишаєте свою цифру в спокої; це називається округленням вниз.
Наприклад, якщо ви округляєте 8.345 до двох десяткових знаків, вам потрібно вивчити число в третьому знаку після коми (той, що праворуч). Це 5, тому ви додаєте одну до другої цифри, і число стає 8.35.
Для другого прикладу давайте округляємо 3.6543 до третього знака після коми. Тому ви дивитеся на четверту десяткову позицію, яка дорівнює 3. Як правило говорить, ви б залишити цифру в спокої, і число стає 3.654.
Неприпинення десяткових знаків
Що відбувається, коли ви виконуєте обчислення, а десяткова не закінчується?
1. Потрібно оцінити, чи є закономірність в десяткових знаках:
- Незавершене десяткове число без шаблону: Наприклад,\(\dfrac{6}{17}=0.352941176\)... без видимого закінчення десяткового числа і без шаблону десяткових знаків.
- Незавершене десяткове число з візерунком: Наприклад,\(\dfrac{2}{11}=0.18181818\)... нескінченно. Можна помітити, що цифри 1 і 8 повторюються. Скорочений спосіб вираження цього полягає в розміщенні горизонтальної лінії над цифрами, які повторюються. Таким чином, ви можете переписати 0.18181818... як\(0 . \overline{18}\).
2. Вам потрібно знати, чи є число проміжним або остаточним рішенням проблеми:
- Тимчасове рішення: Ви повинні перенести всі десяткові знаки у своїх розрахунках, оскільки число не слід округлити, поки ви не отримаєте остаточну відповідь. Якщо ви завершуєте питання від руки, випишіть якомога більше десяткових знаків; для економії місця і часу можна використовувати скорочений турнік для повторення десяткових знаків. Якщо ви заповнюєте питання калькулятором, зберігайте все число в осередку пам'яті.
- Остаточне рішення: Щоб округлити це число, повинен застосовуватися галузевий протокол або інша чітка інструкція. Якщо їх не існує, то ви б зробили довільний вибір округлення, за умови, що ви повинні підтримувати достатню точність, щоб дозволити розумну інтерпретацію інформації.
Важливі зауваження
Щоб допомогти у ваших розрахунках, особливо тих, які включають кілька кроків для вирішення, ваш калькулятор має 10 осередків пам'яті. Ваш дисплей обмежений 10 цифрами, але коли ви зберігаєте число в осередку пам'яті, калькулятор зберігає всі десяткові знаки, пов'язані з числом, а не тільки ті, що відображаються на екрані. Ваш калькулятор може, по суті, нести до 13-значних позицій. Настійно рекомендується скористатися цією функцією там, де це необхідно протягом усього цього підручника.
Припустимо, що ви тільки що закінчили введення\(\dfrac{6}{17}\) на калькуляторі, і отримане число - це проміжне рішення, яке вам потрібно для іншого кроку. З 0.352941176 на дисплеї натисніть STO, а потім будь-яку цифру на клавіатурі калькулятора. STO позначає магазин. Щоб зберегти номер в осередку пам'яті 1, наприклад, натисніть STO 1. Число з 13 цифрами тепер знаходиться в постійній пам'яті. Якщо очистити калькулятор (натисніть CE/C) і натисніть RCL # (де # - номер осередку пам'яті), ви повернете збережений номер назад. RCL позначає Відкликання. Натисніть RCL 1. Збережений номер 0.352941176 знову з'являється на екрані.
Перетворіть наступне в десяткові. Округляйте кожен до чотирьох десяткових знаків або використовуйте повторювані десяткові позначення.
- \(\dfrac{6}{13}\)
- \(\dfrac{4}{9}\)
- \(\dfrac{4}{11}\)
- \(\dfrac{3}{22}\)
- \(5 \dfrac{1 / 7}{10 / 27}\)
Рішення
Перетворіть кожен з дробів у десятковий формат, а потім округліть будь-яку остаточну відповідь до чотирьох десяткових знаків або використовуйте повторювані десяткові позначення.
Що ви вже знаєте
Надано фракції та чіткі вказівки щодо їх округлення.
Як ви туди потрапите
Щоб перетворити дроби в десяткові, потрібно завершити ділення, підкоряючись правилам БЕДМАС. Слідкуйте за прихованими символами і дотримуйтеся правил округлення.
Виконувати
- \(\dfrac{6}{13}=0.461538\). П'яте десяткове число - це 3, тому округляйте вниз. Відповідь - 0,4615.
- \(\dfrac{4}{9}=0.444444\). Зверніть увагу на повторюване десяткове число 4. Використовуючи турнік, пишіть\(0 . \overline{4}\).
- \(\dfrac{4}{11}=0.363636\). Зверніть увагу на повторювані десяткові числа 3 і 6. Використовуючи турнік, пишіть\(0 . \overline{36}\).
- \(\dfrac{3}{22}=0.136363\). Зверніть увагу на повторювані десяткові знаки 3 і 6 після 1. Використовуючи турнік, пишіть\(0.1 \overline{36}\).
- \(5 \dfrac{1 / 7}{10 / 27}=5+\dfrac{(1 \div 7)}{(10 \div 27)}=5+\dfrac{0.142857}{0.370}=5+0.385714=5.385714\). Оскільки п'ята цифра дорівнює 1, округляємо вниз. Відповідь - 5.3857.
Згідно з інструкцією округлення, розчини складають відповідно 0,4615\(0 . \overline{4}\)\(0 . \overline{36}\),\(0.1 \overline{36}\),,, і 5,3857.
Правила округлення
Одним з найпоширеніших джерел труднощів в математиці є те, що різні люди іноді використовують різні стандарти для округлення. Це серйозно заважає узгодженості кінцевих рішень і ускладнює оцінку точності. Щоб усі прийшли до одного рішення вправ/прикладів у цьому підручнику, ці правила округлення застосовуються по всій книзі:
- Ніколи не округляйте тимчасове рішення, якщо немає логічної причини або бізнес-процесу, який змушує округлення числа. Ось кілька прикладів логічних причин або бізнес-процесів, які вказують на те, що вам слід округлити:
- Ви знімаєте гроші або переводите їх між різними банківськими рахунками. При цьому ви можете записати лише два десяткових знака, і тому будь-які гроші, що рухаються між фінансовими інструментами, повинні бути округлені до двох десяткових знаків.
- Потрібно записати цифри у фінансовій звітності або стягувати ціну за товар. Оскільки наша валюта знаходиться в доларах і центах, можуть з'явитися лише два десяткових знака.
- Коли ви пишете незавершених десяткових знаків, показуйте лише перші шість (або до шести) десяткових знаків. Використовуйте формат горизонтальної лінії для повторення десяткових знаків. Якщо число не є остаточним рішенням, то припустимо, що всі десяткові знаки або якомога більше ведуться вперед.
- Округляйте всі кінцеві числа до шести десяткових знаків у десятковому форматі та чотирьох десяткових знаків у відсотковому форматі, якщо інструкції не вказують інше.
- Круглі остаточні рішення відповідно до загальних бізнес-практик, практичних обмежень або конкретних інструкцій. Наприклад, округлити будь-яку остаточну відповідь за участю доларової валюти до двох десяткових знаків. Ці типи загальної ділової практики та будь-які винятки обговорюються у міру їх виникнення в різних точках цього підручника.
- Як правило, уникайте запису нулів, які не потрібні в кінці десяткових знаків, якщо вони не потрібні для задоволення стандарту округлення або візуального вирівнювання послідовності чисел. Наприклад, напишіть 6.340 як 6.34, так як немає ніякої різниці в інтерпретації через скидання нуля.
Шляхи до успіху
Чи відрізняється ваше остаточне рішення від фактичного рішення на невелику кількість? Чи включало питання кілька кроків або розрахунків, щоб отримати остаточну відповідь? Було задіяно багато десяткових знаків або дробів? Якщо відповісти «так» на ці питання, то найпоширенішим джерелом помилки є округлення. Ось кілька швидких перевірок помилок для відповідей, які є «закритими»:
- Ви не забули підкорятися правилам округлення, викладеним вище? Найголовніше, ви несете десяткові знаки для проміжних рішень і округлення тільки при кінцевих рішеннях?
- Ви точно вирішували кожну фракцію чи крок? Перевірте наявність неправильних розрахунків або простих помилок, таких як перенесені числа.
- Ви порушували якісь правила BEDMAS?
Посилання
- Ніл, Марсія. Кандидат на 3-й округ Конгресу Колорадо Державної ради освіти, як цитується в Перес, Гейл. 2008. «Викладач школи на пенсії шукає місце в державному правлінні». Вождь Пуебло.