10.1: Додаток А- Проблеми для читача

Проблеми, представлені в розділах 2 - 5, настільки відрізнялися одна від інших, що необхідно було супроводжувати кожну з них рясним коментарем. Для того, щоб дозволити читачеві, який може захотіти досліджувати деякі старовавилонські тексти, не тримаючись міцно за руку, цей додаток містить проблеми лише в перекладі або, щонайбільше, супроводжується найнеобхіднішими уточненнями. Деякі є аналогами проблем, які були представлені вище і походять від тих же планшетів.

ТМС XVI #2

13 4-й ширини до тієї, якою довжина виходить за межі ширини, щоб з'єднати,

14\(15^{\prime}\). Ви,\(15^{\prime}\) до 4 підвищуєте, 1 бачите, що це таке?

15, 4 та 1 позиції.

16\(15^{\prime}\) розкид. \(10^{\prime}\), Виходячи за межі, і\(5^{\prime}\), потім приєднався, позиціонувати. \(20^{\prime}\), ширина,

17 щоб\(10^{\prime}\), що виходить за межі, приєднатися,\(30^{\prime}\) довжина, і\(20^{\prime}\), вирвати, позиціонувати. \(5^{\prime}\)до 4 підвищення,

18\(20^{\prime}\) ви бачите. \(20^{\prime}\), Ширина, до 4 підняти,\(1^{\circ} 20^{\prime}\) ви бачите.

19\(30^{\prime}\), довжина, до 4 підняти, 2 ви бачите. \(20^{\prime}\), ширина,

20 від\(1^{\circ} 20^{\prime}\) вириву, 1 бачиш. 1

21 з 2, довжини, вирвати, 1 бачиш, що це таке?

22 Від 4, четвертого, 1 вирвати, 3 ви бачите. І 4 від'єднати,\(15^{\prime}\) ви бачите.

23\(15^{\prime}\) на 3 підніміть,\(45^{\prime}\) бачите, стільки, скільки (є) ширини позит. Позу вирвати.

24 1 стільки ж, скільки (є) довжини posit. [...] 1 взяти, до 1 довжини

25 підняти,\(30^{\prime}\) погодьтеся. \(20^{\prime}\)ширина,\(20^{\prime}\) до\(45^{\prime}\), (стільки, скільки (є) ширини, підняти,

26\(15^{\prime}\) ви бачите,\(15^{\prime}\) щоб\(15^{\prime}\) приєднатися,\(30^{\prime}\) бачите, 30 довжини.

Коментар: див. #1 того ж планшета, сторінка 27.

ТМС VII #1

1 4-й ширини до довжини я приєднався, його 7 го до 10 я пішов,

2 стільки ж, скільки купи довжини і ширини. Ви, 4 позицію; 7 позицій;

3 - 10 позицій;\(5^{\prime}\) щоб 7 підняти, 35′ ви бачите.

4\(30^{\prime}\) і\(5^{\prime}\) виділити. \(5^{\prime}\), крок, до 10 підняти,

5\(50^{\prime}\) ви бачите. \(30^{\prime}\)і\(20^{\prime}\), посада. \(5^{\prime}\), крок, до 4, четвертої ширини,

6\(20^{\prime}\) підйом: бачите\(20^{\prime}\), ширина. \(30^{\prime}\)до 4, четвертого,

7 підняти, 2 ви бачите. 2 позиції, довжини. \(20^{\prime}\)від\(20^{\prime}\) вирвати,

8 і з 2,\(30^{\prime}\) вирвіть,\(1^{\circ} 30^{\prime}\) бачите.

9 З 4, четвертого, 1 вириваємо, 3 {...} бачиш.

10 і 3 від'єднати,\(20^{\prime}\) бачите. \(20^{\prime}\)\(1^{\circ} 30^{\prime}\)підняти:

11\(30^{\prime}\) ви бачите\(30^{\prime}\), довжина. \(30^{\prime}\)від\(50^{\prime}\) виривають,\(20^{\prime}\) бачите\(20^{\prime}\), ширина.

12 Поверніться назад. 7 на 4, з четвертого підніміть, 28 бачите.

13 10 з 28 вирвати, 18 ви бачите. І 3 від'єднати,

14\(20^{\prime}\) ви бачите. \(20^{\prime}\)до 18 підняти, 6 ви бачите, 6 (для) довжини.

15 6 з 10 вирвати, 4 (за) ширину. \(5^{\prime}\)до 6 підвищення,

16\(30^{\prime}\) довжина. \(5^{\prime}\)на 4 підняти,\(20^{\prime}\) погодьтеся\(20^{\prime}\), ширину.

Коментар: див. #2 того ж планшета, сторінка 34.

ЧАН 8389 #1

Обв. Я

1 З 1 день 4 гур зерна я зібрав,

2 з 1 другий бур 3 гур зерна я зібрав.

3 зерна над зерном,\(8‵20\) воно вийшло за межі

4 Мої змови я накопичив:\(30‵\).

5 Мої змови що?

6\(30‵\), той час, позиція. \(20‵\), зерно, яке він зібрав, позиціонує.

7\(30‵\), другий день, позиція.

8\(15‵\), зерно, яке він зібрав,

9\(8‵20\) що зерно над зерном вийшло,

10 і\(30‵\) скупчення поверхонь ділянок позит:

11\(30‵\) скупчення поверхонь ділянок

12-дві перерви:\(15‵\).

13\(15‵\) і\(15‵\) до двох разів позиціонують:

14 років\(30‵\), з тіла, від'єднати:\(2^{\prime \prime}\).

15\(2^{\prime \prime}\) щоб\(20‵\), зерно, яке він зібрав,

16 підняти,\(40^{\prime}\) помилкове зерно; до\(15‵\) якого до двох разів

17 ви позиціонували,

18 підніміть,\(10‵\) нехай ваша голова тримається!

19 щоб 30, з другої частини, від'єднати,\(2^{\prime \prime}\).

20\(2^{\prime \prime}\) щоб\(15‵\), зерно, яке він зібрав,

21 підняти,\(30^{\prime}\) помилкове зерно; до 15, що до двох разів

22 ви позиціонували, підвищували,\(7‵30\).

23\(10‵\) які тримає ваша голова

24 над\(7‵30\) тим, що виходить за рамки? \(2‵30\)вона виходить за рамки.

25\(2‵30\) який він виходить за межі, від\(8‵20\)

26 що зерно над зерном виходить за межі,

Обв. II

1 вирвати:\(5‵50\) ти йдеш.

2\(5‵50\) який у вас залишився

3 нехай ваша голова тримається!

4\(40^{\prime}\), зміна, і\(30^{\prime}\), зміна,

5 накопичують:\(1^{\circ} 10^{\prime}\). Ігі я не знаю.

6 Що я\(1^{\circ} 10^{\prime}\) можу поставити

7\(5‵50\) що твоя голова тримає мені?

8\(5‵\) позицій. \(5‵\)до 1°10 підняти.

9\(5‵50\) це дає вам.

10\(5‵\) які ви позиціонували, з\(15‵\) яких до двох разів

11 ти позиціонував, від одного розриву,

12 до одного приєднуйтесь:

13 Перше - це\(20‵\), друге -\(10‵\).

14\(20‵\) (є) поверхню першої ділянки,\(10‵\) (є) поверхня другої ділянки.

15 Якщо\(20‵\) (є) поверхня першої ділянки,

16\(10‵\) поверхня другої ділянки, що їх зерна?

17 років\(30‵\), з тіла, від'єднати:\(2^{\prime \prime}\).

18\(2^{\prime \prime}\) щоб\(20‵\), зерно, яке він зібрав,

19 підвищення,\(40^{\prime}\). Для того\(20‵\), щоб поверхня першої ділянки,

20 підняти\(13‵20\), зерно\(20‵\), поверхню ділянки.

21 років\(30‵\), з другого бура, від'єднати:\(2^{\prime \prime}\).

22\(2^{\prime \prime}\) щоб\(15‵\), зерно, що він зібрав, піднімай,\(30^{\prime}\).

23\(30^{\prime}\) до\(10‵\), поверхня другої ділянки

24 піднімаємо, 5 зернистості поверхні другого ділянки.

25\(13‵30\) зерно ^¿поверхні^? першого сюжету

26 над 5 зерно ^¿поверхні^? другої ділянки

27 що виходить за рамки? \(8‵20\)вона виходить за рамки.

Ця проблема належить одній з двох таблеток-близнюків, що містять загалом десять проблем про оренду, сплачену за дві ділянки поля. На одній посилці орендна плата становить 4 гур зерна на бур, на іншій це 3 гур за бур. Ця проблема інформує нас також, що загальна площа становить\(30`\) (sar = 1 день), і що різниця між загальною орендною платою двох посилок є\(8`20\) (sila). Інші проблеми дають, наприклад, дві області, або різницю між районами разом із загальною орендною платою.

Як пояснено на сторінці 17, бур і гур - це одиниці, що належать до практичного життя. Для того, щоб працювати в системі місцевої вартості, нам потрібно перетворити їх в стандартні одиниці сар і сіла (1 бур =\(30‵\) сар, 1 гур =\(5‵\) сіла); як бачимо, різниця між двома орендними платами вже дана в сілі, а загальна площа в сар.

Сучасному читачеві може здатися дивним, що дві ренти на бур, які в рядках I. 1-2 наведені в гур (per br), перекладені на sila в рядках I. 6-7 без множення; загалом, як ми бачимо, текст не пропускає жодного проміжного кроку. Пояснення полягає в тому, що перетворення проводиться за допомогою «метрологічної таблиці» (ймовірно, таблиці, вивченої напам'ять). Саме тому, що такі перетворення доводилося робити так часто, книжники мали таблиці, в яких не тільки вказувалися перетворені значення практичних одиниць, а й їх кратні. Однак у них не було таблиць для комбінованих конверсій, і тому остаточна конвертація в сіла за сар просить розрахунку.

Сучасний читач також може задатися питанням, що текст не вказує раз назавжди значення бур за сіла і його igi. Ще раз причина полягає в тому, що текст описує стару вавилонську обчислювальну техніку: калькулятор пише на невеликій планшеті для грубої роботи три числа 20 (\(20`\)sila per br), 30 (\(30``\)sar per br) і 2 (\(2^{\prime}\), igi\(30`\) - і після цього, за допомогою таблиці множення , продукт 40 (\(20`\cdot 2^{\prime \prime}=40^{\prime}\)сіла за сар).

Невелике пояснення може знадобитися для полегшення розуміння процедури: спочатку текст визначає, якою буде різниця між двома орендними платами, якби дві посилки були рівні за площею, тобто\(15`\) сар кожен. Ця різниця недостатньо велика — вона\(2`30\) сіла,\(5`50\) сіла занадто маленька, і тому першу посилку потрібно збільшити. Щоразу, коли sar переноситься з другої на першу посилку, різниця зростає\(40^{\prime}+30^{\prime}\) сіла (дві «зміни» II.4 ¹); кількість sar, яку потрібно передати, потім знаходить поділом.

В кінці знаходимо числову перевірку. Такі перевірки не рідкісні в старовавилонських текстах, хоча їх наявність не є загальною нормою.

ЧАН 8390 #1

Обв. Я

1 Довжина і ширина я зробив утримання:\(10‵\) поверхня.

2 Довжину собі я зробив утримання:

3 поверхню, яку я побудував.

4 Стільки, скільки довжина по ширині вийшла за межі

5 Я зробив триматися, до 9 повторював:

6 стільки ж, скільки та поверхня, яка сама по собі довжина

7 було зроблено трюм.

8 Довжина і ширина яка?

9\(10‵\) поверхнева позиція,

10 і 9 (до), які він повторив позицію:

11 Рівна сторона 9 (до), яку він повторював що? 3.

12 - 3 до позиції довжини

13 - 3 до положення ширини.

14 Оскільки «стільки, скільки довжина по ширині вийшла за межі

15 Я зробив утримання», - сказав він

16 1 з 3 які до ширини ви позиціонували

17 вирвати: 2 ви залишаєте.

18 2, який ви залишили до ширини позиції.

19 3 яка довжина, яку ви розміщували

20 до 2, який до ширини ви позиціонували підняти, 6.

12 і 6 від'єднати:\(10^{\prime}\).

22\(10^{\prime}\) до\(10‵\) поверхні піднімаємо,\(1‵40\).

23 Рівна сторона\(1‵40\) чого? 10.

Обв. II

1 10 до 3, яка до довжини, яку ви позиціонували

2 підйом, 30 довжина.

3 10 до 2, яка до ширини, яку ви розміщували

4 підняти, 20 по ширині.

5 Якщо 30 довжина, 20 ширина,

6 поверхня що?

7 30 довжини до 20 ширини піднімаємо,\(10‵\) поверхню.

8 30 довжини разом з 30 зробити утримання:\(15‵\).

9 30 довжина понад 20 ширина що виходить за рамки? 10 це виходить за рамки.

10 10 разом з 10 зробити утримання:\(1‵40\).

11\(1‵40\) до 9\(15‵\) повторюємо: поверхню.

12\(15‵\) поверхні, стільки ж, скільки\(15‵\) поверхні, довжина якої

13 сам по собі був зроблений трюм.

Опорою для тлумачення може служити схема (рис. 1). Тоді текст майже пояснює себе, зокрема, якщо мати на увазі БМ 13901 #10 (сторінка 46) і БМ 15285 #24 (стор. 93).

Малюнок\(1\): Геометрія ПДВ 8390 #1.

Слід взяти до уваги використання мультиплікативних операцій «зробити утримання», «підняти» і «повторити». Це «утримання» дійсно означає, що конструкція підкреслена в I.3, як ми також бачили в AO 8862 #2 (сторінка 60). Особливий інтерес представляє «підйом» в I. 20 і II. 7: він знаходить площу прямокутників, але оскільки вони вже на місці, немає необхідності їх конструювати. Тому площа просто розраховується.

ЧАН 8520 #1

Обв.

1 13-го з купи ігюма і ігібіума

2 до 6 Я повторював, з внутрішньої сторони ігюм

3 Я вирвав:\(30^{\prime}\) пішов. 1 поверхню. Ігюм і ігібіум що?

4 З «тринадцятого з купи ігюму і ігібіума

5 щоб 6 я повторював, з внутрішньої сторони ігюм

6 Я вирвався,\(30^{\prime}\) я пішов», - сказав він,

7 13, з тринадцятого, позиція; 6, до якої він повторив позицію;

8 - 1, поверхня, позиція; і\(30^{\prime}\) яку він залишив позицію.

9 З 13, з тринадцятого, 6, до якого він повторив

10 вирвати. 7 ви залишаєте.

11 7 які ви залишаєте і 6 до яких повторювали,

12 нехай ваша голова тримається!

13 7 на 6 підняти, 42 до 1, поверхня, підняти, 42.

14 42, нехай ваша голова тримається!

15 13, з тринадцятого, до\(30^{\prime}\) якого він залишив

16 підвищення,\(6^{\circ} 30^{\prime}\) до двох перерв:\(3^{\circ} 15^{\prime}\).

17\(3^{\circ} 15^{\prime}\) разом з\(3^{\circ} 15^{\prime}\) зробити утримання:\(10^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\).

18 До\(10^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\), 42 яку тримає ваша голова

19 приєднуйтесь,\(52^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\).

20 Рівне\(52^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\) чого? \(7^{\circ} 15^{\prime}\).

21\(7^{\circ} 15^{\prime}\) і\(7^{\circ} 15^{\prime}\), його аналог, ляг:

22\(3^{\circ} 15^{\prime}\), зроблений, від одного розриву, до іншого приєднуйтесь:

23 Перший\(10^{\circ} 30\), інший - 4.

24 Що до 7, який тримає ваша голова, я повинен позиціонувати

25 що\(10^{\circ} 30^{\prime}\) дає мені? \(1^{\circ} 30^{\prime}\)посада. \(1^{\circ} 30^{\prime}\)до 7 підняти,

26\(10^{\circ} 30^{\prime}\) це дає вам. \(1^{\circ} 30^{\prime}\)який ви позиціонували є ігюм.

27 щоб 6, який ваша голова тримає, від'єднати,\(10^{\prime}\).

28\(10^{\prime}\) до 4 підняти,\(40^{\prime}\) це ігібіум.

29 Оскільки\(1^{\circ} 30^{\prime}\) це ігюм,\(40^{\prime}\) це ігібіум, поверхня - це що?

30\(1^{\circ} 30^{\prime}\), тому, щоб\(40^{\prime}\), igibûm, підняти, 1 є поверхнею.

31\(1^{\circ} 30^{\prime}\), ігюм, і\(40^{\prime}\), ігібіум, купи:\(2^{\circ} 10^{\prime}\).

Преподобний

1\(2^{\circ} 10^{\prime}\) Тринадцяте з чого? \(10^{\prime}\).

2\(10^{\prime}\) до 6 повторювати: 1, з\(1^{\circ} 30\),

3 ігюм, вирвати:\(30^{\prime}\) ви залишаєте

Як і YBC 6967 (сторінка 46), ця проблема стосується числової пари з таблиці рекпрокалів. Обидва тексти говорять про свій твір як «поверхню», відповідно до геометричного зображення. Але є різниця: на цей раз продукт дорівнює 1,\(1`\) а не як в YBC 6967.

Що стосується математичної структури та процедури, можна порівняти з TMS IX #3 (сторінка 57).

вул. 368

Обв.

1 Я взяв тростину, міри його не знаю.

2 1 Я відрізав. 1 шістдесят (кроки вздовж) довжина я пішов.

3 (З) те, що я відрізав, я збільшив його

4 з 30 (кроки) того (уздовж) ширини я пішов.

5\(6‵15\) - це поверхня. Голова (початкова довжина) очерету яка?

6 Ви, своїм провадженням,

7\(1‵\) і 30 позицій. (Бо) очерету, якого ви не знаєте

8 1 позиція, щоб 1 шістдесят, який ви пішли

9 ви піднімаєте:\(1‵\) це помилкова довжина.

10 30 до цього 1 підняти, 30 - помилкова ширина.

11 30, помилкова ширина до\(1‵\), помилкова довжина,

12 піднімаємо,\(30‵\) фальш поверхню.

13\(30‵\) до\(6‵15\), справжня поверхня,

Преподобний

1 підвищення:\(3``` 7`` 30`\) це дає вам.

2\(5′\) які ви відрізали до помилкової довжини підняти,

3 5 це дає вам. 5 до помилкової ширини підняти,

4\(2‵30\) це дає вам. \(\frac{1}{2}\)\(2‵30\)перерви,\(1‵15\)

5\(1‵15\) зробити зустріч,\(1`` 33` 45\)

6\(3``` 7`` 30`\) приєднатися,\(3``` 9`` 3` 45\).

7 Що дорівнює? \(13‵45\)дорівнює.

8 з\(1‵15\) якими ви зіткнулися зсередини, приєднуйтесь,

9\(15‵\) це дає вам. Так\(30‵\), помилкова поверхня, від'єднати,\(2^{\prime \prime}\).

10\(2^{\prime \prime}\)\(15‵\) підняти,\(30′\) це голова очерету.

Це прямокутник варіант «зламаного очерету» (див. Стор. 70), аналогічний ПДВ 7532. У цьому варіанті поле прямокутне, а очерет розривається лише один раз.

ТЕБК 6504 #1

Обв.

1 Настільки, скільки довжина по ширині виходить за межі, я змусив протистояти собі, з внутрішньої сторони поверхні

2 Я його вирвав:\(8^{\prime} 20^{\prime \prime}\). Довжина по ширині\(10^{\prime}\) виходить за межі.

3 Своїм провадженням\(10^{\prime}\) ви робите утримання:

4\(1^{\prime} 40^{\prime \prime}\) до\(8^{\prime} 20^{\prime \prime}\) вас приєднатися:\(10^{\prime}\) ваша позиція.

5 Половина\(10^{\prime}\) вашої\(5^{\prime}\) перерви: ваша позиція.

6\(5^{\prime}\) ви робите утримання:\(25^{\prime \prime}\) ваша позиція.

7\(25^{\prime \prime}\), поверхня, до\(10^{\prime}\) вас приєднується:\(10^{\prime} 25^{\prime \prime}\) ваша позиція.

8 За\(10^{\prime} 25^{\prime \prime}\),\(25^{\prime}\) дорівнює. \(5^{\prime}\)до\(25^{\prime}\) вас приєднатися:

9\(30^{\prime}\), довжина, ваша позиція. \(5^{\prime}\)від\(25^{\prime}\) твоєї сльози назовні:

10\(20^{\prime}\), ширина, ви позиціонуєте.

Ця проблема стосується того ж понівеченого прямокутника, що і #4 тієї ж таблетки (див. Стр. 79): Разом, дійсно, чотири проблеми планшета представляють собою цікавий варіант замкнутої групи, де «поверхня» прямокутника дається разом з довжиною; з шириною; з сумою сторін; або з їх різницею (див. Примітку 3, стор. 108). У справжньому планшеті «поверхня» всюди замінена одним і тим же понівеченим прямокутником.

У цій першій проблемі ми знаємо сторону квадрата, яка була «вирвана». Тому він легко зводиться до типу, який ми знаємо з YBC 6967 (сторінка 46). Слідуючи операціям, слід пам'ятати, що число\(10^{\prime}\) відбувається в двох різних ролей.

Виключно в цьому типі «приєднання»\(5^{\prime}\) передує «виривання». Планшет, здається, належить до тієї ж ранньої фази та текстової групи, що і AO 8862, і він поділяє цю особливість з трьома текстами від Eshnunna (таким чином, належать до ще більш ранньої фази). Здається, що школа несе відповідальність за прохання про те, що операції завжди повинні бути конкретно значущими, так само, як вона відповідала за заборону широких ліній - цей запит не є свідченням «примітивного інтелекту, ще не готового до абстракції», як передбачалося, а критичного розуму, що відображає про те, як виправдати те, що робиться.

ТЕБК 6504 #3

Преподобний

1 Стільки, скільки довжина по ширині виходить за межі, зроблена зустріч, зсередини поверхні я вирвав,

2\(8^{\prime} 20^{\prime \prime}\). \(30^{\prime}\)довжина, її ширина яка?

3\(30^{\prime}\) зроблена зустріч:\(15^{\prime}\) ваша позиція.

4\(8^{\prime} 20^{\prime \prime}\) зсередини\(15^{\prime}\)\(6^{\prime} 40^{\prime \prime}\) вириваєш, ти позиціонуєш.

5 Половина з\(30^{\prime}\) вас ламається:

6\(15^{\prime}\) зроблена зустріч:\(3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) ваша позиція.

7\(3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) до\(6^{\prime} 40^{\prime \prime}\) вас приєднатися:\(10^{\prime} 25^{\prime \prime}\) ваша позиція.

8 За\(10^{\prime} 25^{\prime \prime}\),\(15^{\prime}\) дорівнює. \(15^{\prime}\)з\(25^{\prime}\) тебе вирвати:

9\(10^{\prime}\) ваша позиція. \(10^{\prime}\)з\(30^{\prime}\) тебе вирвати:

10\(20^{\prime}\), ширина, ви позиціонуєте.

\(\left(\ell-w, 30^{\prime}\right)\). Їх можна переналаштувати як гномон, як показано на схемі. Ми можемо розглядати процес як на «зміну змінної» - проблема зараз стосується\(\square(\ell-w)\) квадрата та 30 його сторін, і її рішення слід за книгою для таких проблем.

Figure47.png "/>

Малюнок\(2\): Геометрія позаду YBC 6504 #3, в злегка спотворених пропорціях.

БМ 85200+ВАТ 6599 #23

Преподобний I

19 Розкопка. Так багато, як я зробив протистояти собі, і 1 крок, виходячи за рамки, тобто глибина. \(1^{\circ} 45^{\prime}\)бруду я вирвав.

20 Ви\(5^{\prime}\), виходячи за рамки, до 1, перетворення,\(5^{\prime}\) підвищуєте, бачите; до 12 підняти, 1 ви бачите.

21\(5^{\prime}\) змусьте протистояти собі,\(25^{\prime \prime}\) бачите. \(25^{\prime \prime}\)до 1 підняти,\(25^{\prime \prime}\) ви бачите. Ось 25 від'єднати,

22\(2‵24\) ви бачите. \(2‵24\)\(1^{\circ} 45^{\prime}\)підняти,\(4‵12\) погодьтеся.

23 від «рівний, 1 приєднався» 6 ^¿1^? є/рівні (и). 6\(5^{\prime}\) підняти,\(30^{\prime}\) бачите, протистоїть собі. 6 (помилка для 7) глибина.

24 Процедура.

Ця проблема походить від того ж планшета, що і «проблема розкопок» BM 85200+ПДВ 6599 #6, яка була розглянута вище (стор. 89), і її рішення дотримується тих же принципів. Тепер «земля» квадратна, а глибина перевищує сторону 1 куш. В якості «еталонного тіла» вибирається куб сторони 1 kš, який дозволяє використовувати таблицю\(n^{2} \cdot(n+1)\), звану «рівним, 1 з'єднаним». Такі таблиці були знайдені.

Дб ₂ —146

Обв.

1 Якщо, про (прямокутник з) діагоналлю, (хтось) запитує вас

2 таким чином,\(1^{\circ} 15\) діагональ\(45^{\prime}\), поверхня;

3 довжина і ширина, що відповідають чому? Ви, своєю справою,

4\(1^{\circ} 15^{\prime}\), ваша діагональ, її аналог ляг:

5 змусити їх триматися\(1^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\): підходить,

6\(1^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\) ^¿може ваш^? рука ^¿тримати^?

7\(45^{\prime}\) ваша поверхня до двох\(1^{\circ} 30^{\prime}\) приносить: підходить.

8 Від\(1^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\) відрізаємо: {...}\(3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) залишок.

9 Рівні\(3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) взяти:\(15^{\prime}\) приходить. Його половина частина,

10\(7^{\prime} 30^{\prime \prime}\) підходить,\(7^{\prime} 30^{\prime \prime}\) піднімати\(56^{\prime \prime} 15^{\prime \prime \prime}\): підходить

11\(56^{\prime \prime} 15^{\prime \prime \prime}\) ваша рука. \(45^{\prime}\)ваша поверхня над вашою рукою,

12\(45^{\prime} 56^{\prime \prime} 15^{\prime \prime \prime}\) спливає. Рівні\(45^{\prime} 56^{\prime \prime} 15^{\prime \prime \prime}\) взяти:

13\(52^{\prime} 30^{\prime \prime}\) підходить,\(52^{\prime} 30^{\prime \prime}\) його аналог ляже,

14\(7^{\prime} 30^{\prime \prime}\) яких ви зробили притримувати одного

15 приєднуйтесь: від одного

16 відрізати. 1 ваша довжина, 45 ширина. Якщо 1 довжина,

17 45 ширина, поверхня і діагональ, що відповідають?

18 Ти, твоїм твоїм, довжина тримаєш:

19 1 підходить... нехай ваша голова тримається.

Преподобний

20...:\(45^{\prime}\), ширина, зробити утримання:

21\(33^{\prime} 45^{\prime \prime}\) підходить. До вашої довжини приєднуються:

22\(1^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\) підходить. Рівні\(1^{\circ} 33^{\prime} 45^{\prime \prime}\) взяти:

23\(1^{\circ} 15^{\prime}\) підходить. \(1^{\circ} 15^{\prime}\)ваша діагональ. Ваша довжина

24 на ширину підніміть,\(45^{\prime}\) вашу поверхню.

25 Таким чином процедура.

Це один з текстів з регіону Ешнунна, і, таким чином, належить до найранішої фази (і, як ми бачимо, в ньому використовується фраза «до одного приєднання, від одного відрізаного», не дотримуючись «норми конкретності»). З справедливою точністю він може датуватися c. 1775 до н.е. Проблема - одна із загадок, яку Старовавилонська школа запозичила у аккадських геодезистів (див. Сторінки 106 107); вона виявляється, вирішена точно так само, в посібнику з івриту від 116 н.е., тобто 1900 років потому. У тексті ми бачимо кілька спогадів про це походження - наприклад, вступний уривок «Якщо, про (прямокутник з) діагоналлю, (хтось) запитує вас таким чином» і посилання на квадрат на довжині в рядку 21 просто як «ваша довжина»; обидві функції реверберують у BM 13901 #23.

Малюнок\(3\): Геометрія Db ₂ -146.

Лінії 1-9 знаходять різницю між довжиною і шириною прямокутника; метод показаний у верхній частині малюнка 3. Після цього сторони знаходять з цієї різниці та області за процедурою, яку ми вже добре знаємо, наприклад, з YBC 6967 (див. стор. 46), і яка відповідає нижній діаграмі на малюнку. (Однак використання «підняття» в Обв. 10 показує, що процедура повинна підтримуватися вже існуючою верхньою діаграмою.)

«Рука» рядків 6 і 11 - це посилання на розрахункову плату, на якій калькулятор виконував його додавання і віднімання. «Половина» рядка 9 (muttatum) є синонімом «моєті».

Зрештою, ми маємо доказ з безпомилковим слідом «правила Піфагора» в абстрактному формулюванні (довжина зробити утримання, без звичайної ідентифікації його числового значення).

Виноски

1

Таблетка пошкоджена в цей момент, але сліди знаків, які залишаються, цілком могли походити від слова takkirtum, що означає «зміна» або «модифікація», але не зустрічається в інших математичних текстах. У будь-якому випадку це філологічне сумнів не стосується трактування математичної процедури.