5.2: БМ85200 +ПДВ 6599 #6

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65722

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Обв. Я

9 Земляні роботи. Стільки, скільки довжина, тобто глибина. 1 бруд я вирвав. Моя земля і бруд я наворочений,\(1^{\circ} 10^{\prime}\). Довжина і ширина,\(50^{\prime}\). Довжина, ширина, що?

10 Ви,\(50^{\prime}\) до 1, перетворення,\(50^{\prime}\) підвищуєте, бачите. \(50^{\prime}\)до 12 підняти, 10 ви бачите.

11 Зробіть\(50^{\prime}\) протистояння собі,\(41^{\prime} 40^{\prime \prime}\) бачите; до 10 підніміть,\(6^{\circ} 56^{\prime} 40^{\prime \prime}\) бачите. Його igi від'єднати,\(8^{\prime} 38^{\prime \prime} 24^{\prime \prime \prime}\) ви бачите;

12\(1^{\circ} 10^{\prime}\) підняти,\(10^{\prime} 4^{\prime \prime} 48^{\prime \prime \prime}\) погодьтеся\(36^{\prime}\)\(24^{\prime}\),\(42^{\prime}\), рівні.

13\(36^{\prime}\)\(50^{\prime}\) підняти\(30^{\prime}\), довжина. \(24^{\prime}\)\(50^{\prime}\)підняти,\(20^{\prime}\), ширина;\(36^{\prime}\) до 10 підняти, 6, глибину.

14 Процедура.

Це проблема третього ступеня, що походить від планшета, який був розбитий на дві частини, одна з яких знаходиться в Лондоні, а одна в Берліні (звідки складена назва). Він має справу з паралелепіпедальним «виїмком» довжини\(\ell\) [\(\mathrm{NINDAN}\)], ширини\(w\) [\(\mathrm{NINDAN}\)] і глибини\(d\) [\(mathrm{kùš}]. The length is equal to the depth, but because of the use of different metrologies in the two directions that means that \(d=12 \ell\).

Малюнок\(5.5\): Розкопки продовжили 1 kš вниз.

Далі сума довжини і ширини дорівнює\([\ell+w=]\)\(50^{\prime}\), а сума обсягу бруду, який був «вирваний», тобто викопаний ² і «землі» (підстави) дорівнює\([\ell \cdot w \cdot d+\ell \cdot w=]\)\(1^{\circ}10^{\prime}\). Це останнє рівняння може бути перетворено в\(\ell \cdot w \cdot(d+1)=1^{\circ} 10^{\prime}\) —тобто, якби розкопка була викопана на 1 куш глибше, його обсяг дорівнював би\(1^{\circ}10^{\prime}\) [\(\mathrm{NINDAN}^{2} \cdot \mathrm{kùš}\)] (рис. 5.5). ³

Розв'язок заснований на тонкому варіанті помилкової позиції (у належному вигляді цей метод не служив би, оскільки проблема не є однорідною — див. Примітку 7, стор. 50). «Положення» полягає в побудові «еталонного куба» зі стороною\(\ell + w\). У горизонтальному вимірі його сторона є\(1 \cdot 50^{\prime}=50^{\prime}\) [\(\mathrm{NINDAN}\), оскільки «перетворення»\(\mathrm{NINDAN}\) просить множення на 1. У вертикальній мірі, це\(12 \cdot 50^{\prime}=10\) kš, так як «перетворення»\(\mathrm{NINDAN}\) в kš передбачає множення на 12 (обидва перетворення відбуваються в рядку 10).

Рядки 11-12 знаходять обсяг еталонного куба, який повинен бути\(6^{\circ} 56^{\prime} 40^{\prime \prime}\). Цей обсяг міститься\(10^{\prime} 4^{\prime \prime} 48^{\prime \prime \prime}\) раз в розширених котлованах.

Тепер слід уявити, що сторони витягнутої котловану вимірюються відповідними сторонами еталонного куба. Якщо\(p\) кількість разів\(\ell\) вимірюється довжиною\(50^{\prime} \mathrm{NINDAN}\),\(q\) кількість разів ширина\(w\) вимірюється\(50^{\prime} \mathrm{NINDAN}\), а\(r\) кількість разів глибини\(d+1\) kš вимірюється\(10\) kš (\(=50^{\prime} \mathrm{NINDAN}\)), то

\(p \cdot 50^{\prime}+q \cdot 50^{\prime}=\ell+w=50^{\prime}\),

і тому

\(p + q =1\);

далі

\(r \cdot 10=d+1=12 \ell+1=12 \cdot p \cdot 50^{\prime}+1=10 p+1\)

звідки

\(r=p+\frac{1}{10}=p+6^{\prime}\)

і наостанок

\(p \cdot q \cdot r=10^{\prime} 4^{\prime \prime} 48^{\prime \prime \prime}\)

Тому ми повинні висловити\(10^{\prime} 4^{\prime \prime} 48^{\prime \prime \prime}\) як добуток трьох факторів\(p\),\(q\) і\(r\) які виконують ці умови. Це те, що робить текст у рядку 12, де фактори відображаються як «дорівнює»\(36^{\prime}\),\(24^{\prime}\) і\(42^{\prime}\). Після цього рядок 13 знаходить\(\ell\),\(w\) і\(d\).

Факторизація, здається, витягнута з рукавів вчителя-мага, і це, мабуть, так само, як і різні квадратні корені та частки. Оскільки рішення було відомо заздалегідь, це було б легко. але його також можна знайти за допомогою системних міркувань, починаючи з простих чисел - потрібно просто висловити\(10``4`48\) (\(=2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 7\)) як добуток трьох чисел\(P\),\(Q\) і\(R\) де\(P + Q = 60\),\(R = P + 6\). ⁴ Знаючи загальний характер старовавилонської математики, ми можемо навіть стверджувати, що текст може дозволити собі лише намалювати відповідь з рукавів, оскільки було б можливо (хоча і дещо трудомістко) знайти його без магії. Давайте спочатку припустимо, що\(P = 1\); потім\(P + Q = 60\), так як\(59\),\(Q\) буде, що неможливо; гіпотези\(P = 2\) і\(P = 3\) можуть бути відхилені з аналогічних причин;\(P = 4\) дає\(R = 10\), що також виключено— не\(10``4`48\) містить фактора 5;\(P = 5\) є неможливо сам по собі;\(P = 6\) дає\(Q = 54\) і\(R = 12\), який повинен бути відхилений, як тому, що фактор 7 відсутній, так і тому, що контроль показує, що продукт не є тими ж причинами;\(P = 18\) неможливо, тому що продукт становить лише близько половини того, що потрібно. \(P = 24\)і\(P = 30\) повинні бути відхилені з тих же причин, що і\(P = 6\). Нарешті ми приходимо до значення\(P = 36\), яке підходить. Якби ми підрахували прості фактори, це було б ще простіше, але ніщо не говорить про те, що вавилоняни знали цю техніку.

Однак слід підкреслити, що цей метод працює лише тому, що існує просте рішення. Таким чином, проблема принципово відрізняється від проблем другого ступеня, де гарне наближення до того, що «дорівнює», дало б майже правильне рішення (і вавилоняни, таким чином, не змогли вирішити кубічні проблеми взагалі, оскільки вони могли б вирішувати проблеми другого ступеня - для цього потрібно було чекати італійський алгебраїст шістнадцятого століття н.е.

Наш текст говорить про три «рівні», які навіть не рівні. Це використання, очевидно, являє собою узагальнення ідеї, що виходить з боків квадрата і куба, в такому узагальненні немає нічого дивного - наше власне поняття «коренів» рівняння відбувається так само, як і рання арабська алгебра, де фундаментальні рівняння були сформульовані з точки зору сума грошей і його квадратний корінь. Оскільки це походження було забуте, слово стало розуміти як позначення значення невідомого, яке задовольняє рівнянню.

Інші проблеми з тієї ж таблетки говорять про єдине «рівне»; це той випадок, коли обсяг виїмки, виміряний еталонним паралелепіпедом (не завжди кубом), повинен бути факторизований як\(p^{3}\) або як\(p^{2} \cdot(p+1)\). Таблиці дійсно існують для цих двох функцій, і в них\(p\) відображається саме як «дорівнює»; остання таблиця мала назву «рівний, 1 приєднаний» — див. Сторінка 126.

Як і в алгебрі другого ступеня, лікування проблем третього ступеня є аналітичним - те, що ми щойно розглянули, є типовим представником категорії: один передбачає, що рішення існує, і черпає наслідки з того, що потім можна констатувати. Таким же чином, кожне рішення за допомогою помилкової позиції є аналітичним - воно починається з гіпотези рішення.

Крім того, лише досить периферійні характеристики пов'язують другу і третю ступінь: термінологію для операцій, використання таблиць, фундаментальні арифметичні операції.

Інші проблеми на тому ж планшеті (всі мають справу з паралелепіпедальними «розкопками») зводяться до проблем другого або навіть першого ступеня. Вони вирішуються методами, які ми вже знаємо, і ніколи не факторизацією. Таким чином, вавилоняни усвідомлювали володіння іншою (і на їхню думку, як ми бачимо) кращою технікою, і вони прекрасно знали різницю між проблемами, які можна вирішити за допомогою їх алгебраїчних прийомів, і тими, які не піддаються таким атакам. Але вони, здається, не бачили цієї різниці між проблемами, які можуть бути вирішені за допомогою їх алгебраїчних методів, і тими, які не піддаються таким атакам. але вони, схоже, не розглядали цю різницю як фундаментальну - математичний жанр, який визначається вмістом планшета, є скоріше «розкопками». проблеми», так само як жанр, визначений БМ 13901, слід розуміти як «квадратні проблеми», хоча одна з проблем зводиться до проблеми прямокутника. Ще раз, відмінність між «алгеброю» та «квазіалгеброю» здається вторинною, менш важливою, ніж класифікація проблем відповідно до об'єкта, який вони розглядають.