5.1: ПДВ 8512

Обв.

1 Трикутник. 30 ширини. У внутрішній частині дві ділянки,

2 верхня поверхня над нижньою поверхнею,\(7`\) вийшла за межі.

3 Нижній нащадок над верхнім нащадком, 20 вийшов за межі.

4 Нащадки і бар що?

5 А поверхні двох ділянок що?

6 Ви, 30 ширина позиції,\(7`\) яку верхня поверхня над нижньою поверхнею вийшла за межі позиції,

7 і 20, які нижній нащадок над верхнім нащадком вийшов за межі позиції.

8 або 20 який нижній нащадок над верхнім нащадком вийшов за межі

9 від'єднати:\(3^{\prime}\) до\(7`\) якого верхня поверхня над нижньою поверхнею вийшла за межі

10 підніміть, 21 нехай ваша голова тримається!

11 21 до 30 ширина з'єднання: 51

12 разом з 51 зробити утримання:\(43`21\)

13 21, яку ваша голова тримає разом з 21

14 зробити утримання:\(7`21\)\(43`21\) приєднатися:\(50`42\).

15\(50`42\) - два перерви:\(25`21\).

16 Рівні\(25`21\) чого? 39.

17 З 39, 21 зроблений триматися вирвати, 18.

18 18, який у вас залишився, - це бар.

19 Ну а якщо 18 - це планка,

20 нащадки та поверхні двох ділянок що?

21 Ви, 21, що разом з собою ви вчинили, від 51

22 вирвати: 30 ви залишаєте. 30 яких у вас залишилося

23 до двох перерви, від 15 до 30, які ви залишили підняти,

24\(7`30\) нехай ваша голова тримається!

Край

1 18 планка разом з 18 зробити утримання:

2\(7`30\),\(5`24\) від яких тримається ваша голова

3 вириваємо:\(2`6\) йдеш.

Преподобний

1 Що я\(2`6\) можу поставити

2\(7`\) що дає мені верхня поверхня над нижньою поверхнею?

3\(3^{\circ} 20^{\prime}\) позицію. \(3^{\circ} 20^{\prime}\)щоб\(2`6\) підняти,\(7`\) це дає вам.

4 30 ширина над 18 бар що виходить за рамки? 12 це виходить за рамки.

5 12, до\(3^{\circ} 20^{\prime}\) яких ви позиціонували рейз, 40.

6 40 верхній нащадок.

7 Добре, якщо 40 - верхній нащадок,

8 верхня поверхня - це що таке? ти, 30 ширина,

9 18 бар купи: 48 на два перерви: 24.

10 24 на 40 верхній нащадок піднімають,\(16`\).

11\(16`\) верхня поверхня. Добре, якщо\(16`\) верхня поверхня,

12 нижній нащадок і нижня поверхня що?

13 Ви, 40 - верхній нащадок до 20, який нижній нащадок над верхнім нащадком виходить за межі

14 приєднуються,\(1`\) нижній нащадок.

15 18 планка на два перерви: 9

16 до\(1`\) нижнього нащадка підняти,\(9`\).

17\(9`\) нижня поверхня.

Багато старовавилонські математичні задачі стосуються поділу полів. Математична речовина може відрізнятися - іноді форма поля не має значення, і лише площа задається разом із конкретними умовами його поділу; іноді, як тут, просять поділ певної геометричної форми.

Вже до 2200 р. до н.е. Месопотамські геодезисти знали, як розділити трапецію на дві рівні частини за допомогою паралельного поперечного; ми незабаром повернемося до того, як вони це зробили. Подібний поділ трикутника не може бути здійснений точно без використання ірраціональних чисел - це означає, що це не могло бути зроблено старовавилонськими калькуляторами (за винятком наближення, яке не було серед нормальних цілей навчання).

У цій задачі розглядається варіант поділу трикутника, який можна виконати точно. Як ми бачимо в лініях Обв. 1-3 і як показано на малюнку 5.1, трикутне поле ділиться на дві ділянки («верхню поверхню» і «нижню поверхню») «планкою», тобто паралельним поперечним. Для простоти можна вважати трикутник прямокутним. Майже впевнено, що автор тексту зробив стільки ж, і що «нащадки», таким чином, є частиною сторони; але якщо трактувати «нащадків» як висоти, розрахунки справедливі і для косого трикутника.

Малюнок\(5.1\): Трикутне розділене поле ПДВ 8512, з допоміжним прямокутником.

Таким чином, дві ділянки нерівні за площею. Однак нам відома різниця між їх областями, а також різниця між прилеглими «нащадками». Рішення використовує несподівану та елегантну хитрість і тому може бути важко слідувати.

Лінії обв. 8-10 «піднімають» igi різниці між двома «нащадками» до різниці між двома «поверхнями». Це означає, що текст знаходить ширину прямокутника, довжина якого відповідає різниці між частковими висотами і площа якого дорівнює різниці між частковими ділянками. Ця ширина (яка дорівнює 21) спочатку запам'ятовується, а потім «з'єднується» з шириною трикутника.

Результатом є трикутник із прикріпленим прямокутником - все у всій трапеції, показаній на малюнку 5.1. Продовжуючи планку, створюючи паралельну поперечну трапецію, ми виявляємо, що вона ділить трапецію на дві рівні частини - і це проблема, яку геодезисти знали вирішити протягом півтисячоліття або більше.

Лінії Obv. 11-16 показує, як вони це зробили: квадрат на бісекційному поперечному визначається як середнє між квадратами паралельних сторін. Операції, які використовуються («утримання» та «розбиття») показують, що процес дійсно продуманий з точки зору геометричних квадратів та середнього. На малюнку (5.2) показано, чому процедура призводить до правильного результату. За визначенням, середнє рівновіддалене від двох крайнощів. Тому гномон між 21 і 39 повинен дорівнювати між 39 і 51\(\left(39^{2}-21^{2}=51^{2}-39^{2}\right)\); тому половина цих гномонів - дві частини затіненої трапеції - також повинні бути рівними. У першому випадку це стосується лише трапеції, вирізаної уздовж діагоналі квадрата, але ми можемо уявити квадрат, намальований довгий (у прямокутник) і, можливо, скручений у паралелограм; жодна з цих операцій не змінює співвідношення між арами або паралельними лінійними розширеннями, і вони дозволяють створити довільна трапеція. Ця трапеція все одно буде розділена на два рази, а сума квадратів на паралельних сторонам все одно буде вдвічі більше, ніж у паралельного поперечного.

Малюнок\(5.2\) «Бірозріз трапеції БМ 8512.

Ми можемо взяти до уваги, що операція «витягування довгого» така ж, як зміна масштабу в одному напрямку, з яким ми зіткнулися при вирішенні ненормованих проблем, і яка також використовувалася в TMS XIII, торгівлі нафтою (див. Стр. 70); ми зустрінемося з нею знову через мить у цій проблемі.

Можливо, правило було вперше знайдено на основі концентричних квадратів (рис. 5.3) - геометрична конфігурація, представлена двома або декількома концентрично вкладеними квадратами, була високо оцінена у вавилонській математиці і, можливо, була такою вже в третьому тисячолітті (як вона залишилася популярний серед майстрів будівельників аж до епохи Відродження); принцип аргументу, очевидно, залишається колишнім.

Малюнок\(5.3\): Бірозріз трапеції пояснюється концентричними квадратами.

Лінія Obv. 17 таким чином знаходить бісекційний поперечний; виявляється, що це так\(39\), і «планка» між двома початковими ділянками, отже, повинна бути\(39-21=18\).

Наступні кроки можуть здатися дивними. Лінії Obv. 21-22, здається, обчислюють ширину трикутника, але це була одна з заданих величин задачі. це означає, що без сумніву, ми фактично залишили позаду рис. 5.1, і що аргумент тепер базується на чомусь на зразок малюнка 5.2. Коли ми усуваємо додаткову ширину 21, ми залишаємо трикутник, який відповідає початковому трикутнику, але який є рівнобедреним - малюнок 5.4.

Малюнок\(5.4\)

Для того, щоб знайти «верхнього нащадка», текст робить помилкове положення, що скорочений і рівнобедрений трикутник є тим, що ми шукаємо. Її довжина (сума «нащадків») тоді дорівнює ширині, тобто до\(30\). Для того, щоб знайти справжній трикутник, нам доведеться змінити масштаб у напрямку довжини.

Лінії Обв. 23-24 обчислюють, що площа помилкового трикутника дорівнює\(7`30\). Дві області білого кольору рівні, і їх сума повинна бути\(2 \cdot\left(\frac{1}{2} \cdot(18 \cdot 18)\right)=5` 24\). Отже, затінена область, яка відповідає різниці між двома частками, повинна бути\(7` 30-5` 24=2` 6\) (ребро 1-3).

Але ми знаємо, що різниця є\(7`\) і ні\(2`6\). Тому рядки Rev. 1-3 встановлюють,\(2`6\) що різниця, що виникає з помилкової позиції, повинна бути помножена на,\(3^{\circ} 20^{\prime}\) якщо ми хочемо знайти справжню різницю\(7`\). Так як ширина вже така, якою вона повинна бути, саме довжину і «нащадки» необхідно помножити на цей коефіцієнт. Таким чином, буде «верхній нащадок»\(3^{\circ} 20^{\prime} \cdot(30-18)=40\) (рядок Rev. 6). Згодом все досить просто; це могло бути ще простіше, але обрана дорога краще узгоджується з педагогічним стилем, який ми знаємо, наприклад, з TMS XVI #1, і це, мабуть, більш плідно з дидактичної точки зору.

Спосіб вирішення цієї проблеми, безумовно, відрізняється від того, з чим ми стикалися досі. Але є і загальні риси, які стають більш помітними з висоти пташиного польоту.

Зміна масштабу в одному напрямку ми вже знаємо як алгебраїчну техніку. Не менш помітна різниця - відсутність квадратичного завершення, тобто «аккадського методу» - вказує на іншу сімейну характеристику: введення допоміжної фігури, яка спочатку «з'єднується», а потім «виривається».

Менш очевидним, але фундаментальним є «аналітичний» характер методів. Починаючи з грецької античності, рішення математичної задачі називається «аналітичним», якщо воно починається з припущення, що проблема вже вирішена; що дозволяє нам вивчити - «проаналізувати» - характеристики рішення, щоб зрозуміти, як його побудувати. ¹

Розв'язок за рівнянням завжди аналітичний. Для того, щоб зрозуміти, що ми можемо знову подивитися на наше сучасне рішення TMS XIII, торгівля нафтою (стор. 70). Згідно з стартовою гіпотезою, кількість сіла, яка купується за 1 шекель срібла, є відомим числом, і ми його називаємо\(a\). Те ж саме робимо і з тарифом продажів (який ми називаємо\(v\)). Загальні інвестиції - це\(M \div a\), отже, загальна ціна продажу\(M \div v\), і прибуток, отже,\(w=\frac{M}{v}-\frac{M}{a}\). Потім множимо на\(v \times a\), і так далі.

Тобто ми ставимося\(a\) і\(v\) так, ніби вони були відомими числами; ми прикидаємося, що маємо рішення і описуємо його характеристики. Після цього ми виводимо наслідки - і знаходимо врешті-решт\(a=11\), що,\(v=7\).

Навіть старовавилонські розчини для різання та пасти є аналітичними. Припускаючи, що ми знаємо рішення нафтової проблеми, ми виражаємо її як прямокутник площі\(12`50\), частина довжини якого\(40\) відповідає прибутку нафти. Потім вивчаємо характеристики цього рішення, і знаходимо коефіцієнт нормалізації, на який слід помножити, щоб отримати різницю 4 між сторонами і так далі.

Рішення цієї проблеми також є аналітичним. Ми припускаємо, що трикутник був завершений прямокутником таким чином, що затяжна «планка» ділить отриману трапецію на рівні частини, після чого обчислюємо, скільки повинна бути ширина прямокутника, якщо це буде так; і так далі. Незважаючи на те, що це має своє обґрунтування, відмінність між «алгеброю» (Проблеми, які легко перекладені сучасними рівняннями) та «квазіалгеброю» здається менш важливою в перспективі давньовавилонських текстів, ніж у наших.