3,5: БМ 13901 #14

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65758

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Обв. II

44 Поверхні двох моїх протистоянь я наворочував\(25^{\prime} 25^{\prime \prime}\).

45 Протистояння, дві третини протистояння і\(5^{\prime}\),\(\mathrm{NINDAN}\).

46 1\(40^{\prime}\) і\(5^{\prime}\) надмірно\(40^{\prime}\) ви вписуєте.

47\(5^{\prime}\) і\(5^{\prime}\) ти тримаєшся,\(25^{\prime \prime}\) всередині\(25^{\prime} 25^{\prime \prime}\) вириваєш:

Преподобний I

1\(25^{\prime}\) ви вписуєте. 1 і 1 ви робите утримання, 1. \(40^{\prime}\)і\(40^{\prime}\) ви змушуєте триматися,

2\(26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) до 1 ви приєднуєтеся:\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) до\(25^{\prime}\) вас підвищують:

3\(36^{\prime} 6^{\prime \prime} 40^{\prime \prime \prime}\) ви вписуєте. \(5^{\prime}\)до\(40^{\prime}\) вас піднімають:\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\)

4 і\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\) ви робите утримання,\(11^{\prime \prime} 6^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime \prime}\) до\(36^{\prime} 6^{\prime \prime} 40^{\prime \prime \prime}\) вас приєднатися:

5 по\(36^{\prime} 17^{\prime \prime} 46^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime}\),\(46^{\prime} 40^{\prime \prime}\) дорівнює. \(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\)які ви зробили утримання

6 всередині\(46^{\prime} 40^{\prime \prime}\) вас вирве:\(43^{\prime} 20^{\prime \prime}\) ви вписуєте.

7 igi не\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) від'єднується. Що робити\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\)

8 чи можу я позиціонувати, що\(43^{\prime} 20^{\prime \prime}\) дає мені? \(30^{\prime}\)його бандум.

9\(30^{\prime}\) до 1 ви піднімаєте:\(30^{\prime}\) перше протистояння.

10\(30^{\prime}\) до\(40^{\prime}\) вас піднімають:\(20^{\prime}\), і\(5^{\prime}\) ви приєднуєтеся:

11\(25^{\prime}\) друге протистояння.

Навіть ця проблема стосується двох квадратів (ліній Obv. II.44-45). ⁶ Дещо незрозуміле формулювання в рядку 45 означає, що друге «протистояння» дорівнює двом третинам першого, з додатковим\(5^{\prime} \mathrm{NINDAN}\). Якщо\(c_{1}\) і\(c_{2}\) означає два «протистояння», рядок 44 повідомляє нам, що сума областей є\(\square\left(c_{1}\right)+\square\left(c_{2}\right)=25^{\prime} 25^{\prime \prime}\), тоді як рядок 45 стверджує, що\(c_{2}=40^{\prime} \cdot c_{1}+5^{\prime}\).

Цю проблему неможливо вирішити за допомогою простої помилкової позиції, в якій гіпотетичне число умовно приймається як значення невідомого - що працює лише для однорідних задач. ⁷ Числа 1 і\(40^{\prime}\) в рядку 46 показують нам спосіб, який насправді обраний:\(c_{1}\) і\(c_{2}\) виражаються через нову величину, яку ми можемо назвати\(c\):

\(c_{1}=1 \cdot c \quad, \quad c_{2}=40^{\prime} \cdot c+5^{\prime}\).

Це відповідає малюнку 3.6. Він показує, як проблема зводиться до простішої, що стосується одного квадрата\(\square(c)\). Зрозуміло, що площа першого з двох початкових квадратів (\(\square\left(c_{1}\right)\)) дорівнює\((1 \times 1) \square(c)\), але цей розрахунок повинен чекати до рядка Rev. I.1. Текст починається з розгляду\(\square\left(c_{2}\right)\), що є більш складним і породжує кілька внесків. По-перше, квадрат\(\square\left(5^{\prime}\right)\) в правому нижньому кутку:\(5^{\prime}\) і\(5^{\prime}\) ви робите утримання,\(25^{\prime \prime}\). Цей внесок виключається з\(25^{\prime} 25^{\prime \prime}\) суми двох областей:\(25^{\prime \prime}\) всередині\(25^{\prime} 25^{\prime \prime}\) вириваєш:\(25^{\prime}\) вписуєш. Те\(25^{\prime}\), що залишається, тепер має бути пояснено з точки зору площі та сторони нової площі\(\square(c)\).

\(\square\left(c_{1}\right)\), як уже було сказано,\(1 \times 1=1\) раз площа\(\square(c)\): 1 і 1 ви робите утримання, 1. ⁸ Після усунення кута\(5^{\prime} \times 5^{\prime}\) залишається, з одного боку\(\square\left(c_{2}\right)\),\(\square\left(40^{\prime} c\right)\) квадрата, з іншого - два «крила», до яких ми негайно повернемося. Площа квадрата\(\square\left(40^{\prime} c\right)\) така\(\left(40^{\prime} \times 40^{\prime}\right) \square(c)=26^{\prime} 40^{\prime \prime} \square(c)\):\(40^{\prime}\) і\(40^{\prime}\) ви робите утримання,\(26^{\prime} 40^{\prime \prime}\). Загалом у нас, таким чином, є\(1+26^{\prime} 40^{\prime \prime}=1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) раз квадратна площа\(\square(c)\):\(26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) до 1 ви приєднуєтесь:\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\).

Малюнок\(3.6\): Два квадрата БМ 13901 #14.

Кожне «крило» - це прямокутник альт (\(5^{\prime}, 40^{\prime}c\), площа якого можна записати\(5^{\prime} \cdot 40^{\prime} c=3^{\prime} 20^{\prime \prime} c\):\(5^{\prime}\) до\(40^{\prime}\) вас піднімають:\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\). Загалом, ми маємо рівняння

\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime} \square(c)+2 \cdot 3^{\prime} 20^{\prime \prime} c=25^{\prime}\)

Це рівняння стикається з проблемою, яку старий вавилонський автор вже передбачив у рядку преподобного I.2, і яка змусила його відкласти на потім розрахунок крил. У сучасних умовах рівняння не «нормалізується», тобто коефіцієнт члена другого ступеня відрізняється від 1. Старий вавилонський калькулятор міг би відповідно пояснити це, заявивши в термінології TMS XVI, що «стільки, скільки (є) поверхонь» не одне - див. Ліву частину малюнка 3.7, де ми маємо суму\(\alpha\) квадратних площ (білий прямокутник альт ( \(c, \alpha c\))) і\(\beta\) сторони, тобто заштрихований прямокутник (\(c, \beta\)), відповідний рівнянню

\(\alpha \square(c)+\beta c=\Sigma\)

(В дійсному випадку,\(\alpha=1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\),\(\beta=2 \cdot 3^{\prime} 20^{\prime \prime}\),\(\Sigma=25^{\prime}\)). Це заважає нам безпосередньо використовувати нашу звичну процедуру вирізання та вставки. «Зламати»\(\beta\) і зробити два «фрагменти» «утримувати» не дало б нам гномона.

Вавилоняни обійти труднощі за допомогою пристрою, показаного в правій частині малюнка 3.7: масштаб конфігурації змінюється у вертикальному напрямку таким чином, що вертикальна сторона стає\(\alpha c\) замість\(c\); в слідстві сума дві області вже не\(\Sigma\left(=25^{\prime}\right)\) але\(\alpha \Sigma\left(=1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime} \cdot 25^{\prime}=36^{\prime} 6^{\prime \prime} 40^{\prime \prime \prime}\right)\):\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) до\(25^{\prime}\) вас піднімають:\(36^{\prime} 6^{\prime \prime} 40^{\prime \prime \prime}\) ви вписуєте. Як бачимо,\(\beta\) кількість сторін в операції не змінюється, тільки значення сторони, а саме з\(c\) в\(\alpha c\). ⁹

У сучасній символічній мові це перетворення відповідає множенню двох сторін рівняння

\(\alpha c^{2}+\beta c=\Sigma\)

по\(\alpha\), який дає нам нормоване рівняння з невідомим\(\alpha c\):

\((\alpha c)^{2}+\beta \cdot(\alpha c)=\alpha \Sigma\),

рівняння типу, з яким ми стикалися в БМ 13901 #1. Отже, ми дійшли до точки, де ми можемо застосувати звичний метод: «зламати» затінений прямокутник і змусити два отримані «фрагменти» «утримувати» квадратичне доповнення (рис. 3.8); зовнішній «фрагмент» злегка затінений у вихідному положенні і сильніше в положенні до який він принесений). Тепер, і тільки зараз, чи потрібно калькулятору знати кількість сторін в затіненому прямокутнику малюнка 3.7 (тобто визначити\(\beta\)). Як вже було сказано, кожне «крило» вносить\(5^{\prime} 40^{\prime \prime}=3^{\prime} 20^{\prime \prime}\) сторони. Якби калькулятор працював механічно, за фіксованими алгоритмами, то тепер він би помножив на 2, щоб знайти\(beta\). Але він цього не робить! Він дійсно знає, що два крила складають надлишок, який повинен бути «розбитий» на два «фрагменти». Тому він безпосередньо робить\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\) і\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\) «утримувати», що виробляє квадратичне доповнення, і «приєднує» отриману область\(11^{\prime \prime} 6^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime \prime}\) до області гномона\(36^{\prime} 6^{\prime \prime} 40^{\prime \prime \prime}\):\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\) і\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\) ви робите утримання,\(11^{\prime \prime} 6^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime \prime}\) щоб \(36^{\prime} 6^{\prime \prime} 40^{\prime \prime \prime}\)Ви приєднуєтесь: [...] \(36^{\prime} 17^{\prime \prime} 46^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime \prime}\).

Малюнок\(3.8\): БМ 13901 #14, нормована проблема.

\(36^{\prime} 17^{\prime \prime} 46^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime \prime}\)це, таким чином, площа завершеного квадрата, а його сторона\(\sqrt{36^{\prime} 17^{\prime \prime} 46^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime \prime}}=46^{\prime} 40^{\prime \prime}\): по\(36^{\prime} 17^{\prime \prime} 46^{\prime \prime \prime} 40^{\prime \prime \prime \prime}\),\(46^{\prime} 40^{\prime \prime}\) дорівнює. Це число означає\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime} \cdot c+3^{\prime} 20^{\prime \prime}\); отже,\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime} c\) є\(46^{\prime} 40^{\prime \prime}-3^{\prime} 20^{\prime \prime}=43^{\prime} 20^{\prime \prime}\):\(3^{\prime} 20^{\prime \prime}\) що ви зробили тримати всередині\(46^{\prime} 40^{\prime \prime}\) вас вирвати:\(43^{\prime} 20^{\prime \prime}\) ви вписуєте. Далі ми повинні знайти значення\(c\). \(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\)є нерегулярним числом, а\(46^{\prime} 40^{\prime \prime} / 1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) частка задається безпосередньо як\(30^{\prime}\): ¹⁰ igi не\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) від'єднується. Що я\(1^{\circ} 26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) можу позиціонувати, що\(43^{\prime} 20^{\prime \prime}\) дає мені? \(30^{\prime}\)його бандум.

Зрештою,\(c_{1}\) і\(c_{2}\) визначаються\(c_{1}=1 \cdot c=30^{\prime}\),\(c_{2}=40^{\prime} \cdot c+5^{\prime}=25^{\prime}\): ^{11\(30^{\prime}\)} на 1 ви піднімаєте:\(30^{\prime}\) перше протистояння. \(30^{\prime}\)до\(40^{\prime}\) вас піднімають:\(20^{\prime}\) і\(5^{\prime}\) ви приєднуєтеся:\(25^{\prime}\) друге протистояння. Проблема вирішена.