3.1: БМ 13901 #1

Обв. Я

1 Поверхня і моє протистояння я наворочений,\(45^{\prime}\) це. 1, проекція,

2. Ваша позиція. Моєті 1 ви ламаєте,\(30^{\prime}\) і\(30^{\prime}\) ви робите утримання.

3\(15^{\prime}\) до\(45^{\prime}\) вас приєднуються: на 1, 1 дорівнює. \(30^{\prime}\)які ви зробили

4 зсередини 1 вас вирве:\(30^{\prime}\) протистояння.

Це проблема, яку цитували на сторінці 9 в «транслітерації» асиріологів і на сторінці 13 в традиційному перекладі. З перекладом на сучасну математичну символіку можна ознайомитися на сторінці 12.

Незважаючи на те, що ми добре це знаємо з цієї точки зору, ми ще раз детально вивчимо текст і термінологію, щоб мати можливість розібратися з ним в перспективі його автора.

У рядку 1 вказується проблема: вона має справу з поверхнею, тут квадратом, і з відповідним його протистоянням, тобто конфігурацією квадрата, параметризованою його стороною, див. Сторінка 22. Саме поява «протистояння» говорить нам про те, що «поверхня» - це квадрат.

«Поверхня» і «протистояння» наворочені. Це доповнення є тим, яке потрібно використовувати, коли задіяні різнорідні величини, тут площа (два виміри) та сторона (один вимір). Текст повідомляє суму двох величин - тобто їх вимірювальних чисел:\(45^{\prime}\). Якщо\(c\) позначає сторону квадрата та (\(c\)) для його площі, то проблема може бути виражена символами таким чином:

\(\square(c)+c=45^{\prime}\left(=\frac{3}{4}\right)\).

Малюнок\(3.1\): Процедура БМ 13901 #1, в злегка спотворених пропорціях.

На малюнку 3.1 показані етапи процедури, що ведуть до вирішення, як вони пояснюються в тексті:

A: 1, проекція, ви позиціонуєте. Це означає, що прямокутник (\(c\),1) малюється поряд з квадратом\(\square\) (\(c\)). Тим самим сума довжини і площі, абсурдна сама по собі, робиться геометрично значущою, а саме у вигляді прямокутної області\((c, c+1)=\frac{3}{4}=45^{\prime}\). Ця геометрична інтерпретація пояснює зовнішній вигляд «проекції», оскільки прямокутник (\(c\),1) «проектує» з квадрата як проекцію, що виступає з будівлі. Ми пам'ятаємо (див. стор. 15), що слово спочатку перекладалося як «єдність» або «коефіцієнт» просто тому, що перекладачі не розуміли, як цифра 1 може «проектувати».

B: Моєті 1 ви ламаєте. «Проекція» з сусіднім прямокутником (\(c\),1) «розбивається» на дві «природні» половини.

C:\(30^{\prime}\) і\(30^{\prime}\) ви робите утримання. Зовнішня половина проекції (затінена сірим кольором) переміщується таким чином, щоб дві її частини (кожна довжиною\(30^{\prime}\)) «утримували» квадрат з пунктирною рамкою внизу ліворуч. Таким чином, ця процедура вирізання та вставки дозволила нам перетворити прямокутник (\(c\),\(c+1\)) на «гномон», квадрат, з якого в кутку бракує меншого квадрата.

D:\(15^{\prime}\) до\(45^{\prime}\) вас приєднатися: 1. \(15^{\prime}\)площа квадрата, що утримується двома половинами (\(30^{\prime}\)і\(30^{\prime}\))\(45^{\prime}\), і площа гномона. Як ми пам'ятаємо зі сторінки 18, «об'єднати» одну величину до іншої - це збільшення останньої і можливе лише в тому випадку, якщо обидва конкретні та однакові, наприклад, області. Ми таким чином «приєднуємося» до відсутнього квадрата, добудовуючи таким чином гномона для того, щоб отримати новий квадрат. Площа завершеного квадрата буде\(45^{\prime}+15^{\prime}=1\).

на 1, 1 дорівнює. Загалом, словосполучення «по\(Q\),\(s\) дорівнює» означає (див. стор. 23), що площа,\(Q\) викладена у вигляді квадрата, має\(s\) як одну зі своїх рівних сторін (арифметичною мовою\(s=\sqrt{Q}\)). У даному випадку текст таким чином говорить нам, що сторона завершеного квадрата дорівнює 1, як зазначено в D відразу ліворуч від квадрата.

\(30^{\prime}\)який ви зробили тримати зсередини 1 ви вирвати. Для того, щоб знайти сторону\(c\) оригінального квадрата, ми повинні тепер видалити той шматок довжини,\(\frac{1}{2}=30^{\prime}\) який був доданий до нього нижче. «Вирвати»\(a\) з\(H\), як ми бачили на сторінці 18, - це зворотна операція «приєднання», конкретної ліквідації, яка передбачає, що насправді\(a\) є частиною\(H\). Як зазначалося вище (стор. 15), фраза «зсередини» була опущена з ранніх перекладів, будучи безглуздою до тих пір, поки все повинно було мати справу з абстрактними числами. Якщо замість цього число 1 представляє сегмент, фраза має сенс.

\(30^{\prime}\)протистояння. Прибравши з 1 відрізка,\(\frac{1}{2}=30^{\prime}\) який був доданий, отримуємо початкову сторону\(c\), «протистояння», яка звідси дорівнює\(1-30^{\prime}=30^{\prime}=\frac{1}{2}\) (крайня ліва в D).

Це вирішує проблему. У цій геометричній інтерпретації пояснюються не тільки цифри, а й слова та пояснення, використані в тексті.

Новий переклад вимагає деякого спостереження. Зауважимо, що немає явного аргументу про те, що процедура вирізання та вставки призводить до правильного результату. З іншого боку інтуїтивно зрозуміло, що так і повинно бути. Ми можемо говорити про «наївний» підхід, маючи на увазі, що наш звичайний спосіб роботи з рівняннями, наприклад, у прикладі вирішення тієї ж проблеми на сторінці 12, не менш наївний. Так само, як Старий вавилонський калькулятор, ми переходимо від кроку до кроку, не даючи жодних явних доказів того, що операції, які ми робимо, виправдані, «бачачи» лише те, що вони доречні.

Малюнок\(3.2\)

Істотною стратагемою старовавилонського методу є завершення гномона, як показано на малюнку 3.2. Ця стратагема називається «квадратичним завершенням»; цей же термін використовується щодо відповідного кроку в нашому розв'язанні за допомогою символів

\ (\ почати {вирівняний}
x^ {2} +1\ cdot x=\ frac {3} {4} &\ Ліва стрілка x ^ {2} +1\ cdot x+\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {2} =\ frac {3} {4} +\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {2}} ^ {2}}\\
&\ Стрілка вліво x ^ {2} +1\ cdot x+\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {2} =\ frac {3} {4} +\ frac {1} {4} =1\\
&\ Стрілка вліворуч\ ліворуч (x+\ frac {1} {2}\ праворуч) ^ {2} =1
\ end {вирівняний}\).

Однак назва, здається, ще краще відноситься до геометричної процедури.

Очевидно, що негативне рішення не мало б сенсу в цій конкретній інтерпретації. Стара вавилонська алгебра базувалася на відчутних кількостях навіть у тих випадках, коли її проблеми насправді не були практичними. Жодна довжина (ні поверхня, ні об'єм, ні вага) не може бути негативною. Єдина ідея, знайдена в старовавилонських текстах, яка наближається до негативу, полягає в тому, що величина може бути відніманою, тобто заздалегідь визначеною, щоб бути вирваною. Ми стикалися з такими величинами в тексті TMS XVI #1 (рядки 3 і 4 — див. стор. 27), а також TMS VII #2 (рядок 35, «to-be-torn-out ширини"—див. стор. 34). У рядку 25 останнього тексту ми також спостерігаємо, що вавилоняни не розглядали результат віднімання\(20^{\prime}\) від\(20^{\prime}\) числа, а буквально як щось, про що не варто говорити.

Деякі загальні експозиції історії математики стверджують, що вавилоняни знали про негативні числа. Це легенда, заснована на неакуратному читанні. Як уже згадувалося, деякі тексти стверджують з міркувань стилю не те, що величина\(A\) перевищує іншу на суму,\(d\) але яка не\(B\) вистачає\(d\); ми зустрінемо приклад у BM 13901 #10, див. примітку 4, сторінка 46.\(A\) У своїх математичних коментарях Нойгебауер висловив їх відповідно\(A-B=d\)\(A=B+d\) і\(B-A=-d\) (і був\(B=A-d\) би ближче до стародавніх текстів, але навіть Нойгебауер мав свої причини стилю). Таким чином математики, які читали лише переклади у формули, а не пояснення значення цих (і, звичайно, не перекладених текстів), знайшли свої «вавилонські» негативні числа.

Як писав французький сходознавець Леон Роде в 1881 році, критикуючи модернізацію інтерпретацій давньоєгипетського математичного папірусу:

Для вивчення історії науки, як і коли людина хоче щось отримати, «краще мати справу з Богом, ніж з його святими». ¹