2.2: ТМС VII #2

Цей текст досить хитромудрий. Хто вважає його занадто непрозорим, може пропустити його і врешті-решт повернутися до нього, коли ознайомився з вавилонським способом думки.

17 Четверта ширина до довжини, яку я з'єднав, сьомий її

18 до 11 я пішов, через купу

19 довжини і ширини\(5^{\prime}\) вона вийшла за межі. Ви, 4 позиції;

20 - 7 позицій; 11 позицій; 4 і\(5^{\prime}\) позиція.

21\(5^{\prime}\) до 7 підніміть,\(35^{\prime}\) бачите.

22\(30^{\prime}\)\(5^{\prime}\) і пост. \(5^{\prime}\)до 11 підняти,\(55^{\prime}\) бачите.

23\(30^{\prime}\), і\(20^{\prime}\)\(5^{\prime}\), щоб вирвати, позит. \(5^{\prime}\)до 4

24 підніміть,\(20^{\prime}\) бачите, 20 по ширині. \(30^{\prime}\)до 4 підвищення:

25 2 бачите, 2, довжини. \(20^{\prime}\)від\(20^{\prime}\) виривання.

26\(30^{\prime}\) з 2 вирвати,\(1^{\circ} 30^{\prime}\) posit, і\(5^{\prime}\) ^¿50′, купа довжини і ширини, приєднатися^?

27 7 на 4, з четвертого підніміть, 28 ви бачите.

28 11, купи, з 28 вириваємо, 17 бачиш.

29 З 4, четвертого, 1 вирвати, 3 ви бачите.

30 щоб 3 від'єднати,\(20^{\prime}\) бачите. \(20^{\prime}\)до 17 підвищення,

31\(5^{\circ} 40^{\prime}\) ви бачите\(5^{\circ} 40^{\prime}\), (для) довжини. \(20^{\prime}\)щоб\(5^{\prime}\), що виходить за межі, підняти,

32\(1^{\prime} 40^{\prime \prime}\) Ви бачите\(1^{\prime} 40^{\prime \prime}\), щоб бути з'єднані довжини. \(5^{\circ} 40^{\prime}\), (для) довжини,

33 з 11, купи, вирвіть,\(5^{\circ} 20^{\prime}\) бачите.

34\(1^{\prime} 40^{\prime \prime}\) до\(5^{\prime}\), що виходить за межі, приєднуйтесь,\(6^{\prime} 40^{\prime \prime}\) бачите.

35\(6^{\prime} 40^{\prime \prime}\), щоб бути зірваним з ширини. \(5^{\prime}\), крок,

36 до\(5^{\circ} 40^{\prime}\), довжини, підняти,\(28^{\prime} 20^{\prime \prime}\) бачите.

37\(1^{\prime} 40^{\prime \prime}\), щоб бути з'єднані довжини, щоб\(28^{\prime} 20^{\prime \prime}\) приєднатися,

38\(30^{\prime}\) бачите,\(30^{\prime}\) довжина. \(5^{\prime}\)до\(5^{\circ} 20^{\prime}\)

39 підвищення:\(26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) бачиш. \(6^{\prime} 40^{\prime \prime}\),

40 щоб бути вирваним з ширини, від\(26^{\prime} 40^{\prime \prime}\) вириву,

41\(20^{\prime}\) бачите,\(20^{\prime}\) ширина.

Це друга, складна проблема від планшета. Перший, легкий (знайдений на сторінці 118 в перекладі англійською мовою) може бути виражений символами таким чином:

\(10 \cdot\left(\frac{1}{7}\left[\ell+\frac{1}{4} w\right]\right)=\ell+w\).

Після скорочення це дає рівняння

\(\ell \cdot 10=6 \cdot(\ell+w)\).

Це «невизначене» рівняння, і має нескінченність розв'язків. Якщо ми знайшли один з них (\(\ell_{o}, w_{o}\)), всі інші можна записати (\(k \cdot \ell_{o}, k \cdot w_{o}\)). Текст знаходить один, взявши перший множник зліва, щоб дорівнювати першому фактору праворуч (таким чином\(\ell=6\)), а другий фактор праворуч дорівнює другому фактору праворуч (таким чином\(\ell+w=10\), звідки\(w=4\)). Згодом рішення, на яке було мовчазно спрямоване з самого початку, отримується шляхом «підняття» до\(5^{\prime}\) («крок»\(\frac{1}{7}\left[\ell+\frac{1}{4} w\right]\), який був «пішов» 10 разів). Дійсно\(\ell=6\), якщо\(w=4\), то «крок» дорівнює 1; якщо ми хочемо, щоб він був\(5^{\prime}\) (що відповідає нормальним розмірам «шкільного прямокутника»\(\ell=30^{\prime}, w=20^{\prime}\)), то рішення потрібно помножити на це значення. Все це, що не очевидно, корисно для розуміння другої проблеми.

Перша проблема «однорідна» —всі її терміни знаходяться в першому ступені в\(\ell\) і\(w\). Другий, той, що перекладено вище, неоднорідний, і може бути виражений символами таким чином:

\(11 \cdot\left(\frac{1}{7}\left[\ell+\frac{1}{4} w\right]\right)=[\ell+w]+5^{\prime}\).

Малюнок\(2.7\): Інтерпретація ТМС XII, рядки 21—23.

Ми беремо на замітку,\(\frac{1}{4} w\) що «приєднався» до довжини; що ми\(\frac{1}{7}\) беремо результат; і що після цього ми «йдемо» цей відрізок 11 разів. Те, що результати «виходить за рамки» «купи» довжини і ширини по\(5^{\prime}\). Таким чином, «купа» не є частиною того, що є результатом повторення кроку - якби це було, його можна було б «вирвати».

Рішення починається з педагогічного пояснення в стилі TMS XVI #1, попередньої квазі-проблеми. Добре читаючи, ми бачимо, що те, що «піднято» до 7 у рядку 21, повинно бути «\(\frac{1}{7}\left[\ell+\frac{1}{4} w\right]\)кроком» - підвищення - це перевірка того, що це дійсно 7-й, а не «вихід за межі», про який йдеться в рядку 20.\(5^{\prime}\) Ще раз учень повинен зрозуміти, що текст заснований на прямокутнику (\(30^{\prime}\),\(20^{\prime}\)). Маючи на увазі цю конфігурацію, ми зможемо слідувати поясненню рядків 21\(5^{\prime}\) - 23 на малюнку 2.7: коли «крок» буде «піднятий» до 7, ми отримуємо\(35^{\prime}\) (A), який можна розкласти як\(\ell\) і\(\frac{1}{4} w\) (B). Коли він «піднятий» до 11 ми знаходимо\(55^{\prime}\) (C), який можна розкласти як\(\ell\)\(w\), так і\(5^{\prime}\) (D).

Далі слід рецепт вирішення рівняння; чи все ще сформульовано воно таким чином, що рішення повинно бути відомим. «Підвищення» до 4 (рядки від 23 до 25) дає еквівалент символічного рівняння

\(11 \cdot\left(\frac{1}{7}\left[4 \ell+4 \cdot \frac{1}{4} w\right]\right)=4 \cdot\left([\ell+w]+5^{\prime}\right)\).

Не маючи доступу до наших символів, текст говорить\(\frac{1}{4} w\) як\(5^{\prime}\), знаходить, що\(4 \cdot \frac{1}{4} w\) дорівнює\(20^{\prime}\), і ідентифікує це з шириною (лінія 24); потім\(4 \ell\) з'являється як 2, кажуть, представляє довжини (лінія 25).

Тепер, за допомогою хитрості, яка є елегантною, але нелегко слідувати, рівняння робиться однорідним. Текст розкладається\(4 \ell+w\) як

\((4-1) \ell-5^{\prime}+(w-w)+\left(\ell+w+5^{\prime}\right)\)

і «піднімає» все рівняння до 7. Ми можемо слідувати розрахункам в сучасному символічному перекладі:

\ (\ почати {вирівняний}
1\ cdot\ ліворуч ([4-1]\ ell-5^ {\ прайм} +0+\ лівий [\ ell+w+5^ {\ правий}\ праворуч]\ праворуч) & =( 7\ cdot 4)\ cdot\ ліворуч ([\ ell+w] +5^ {\ правий}\ праворуч)
\\ ліворуч\ quad 1\ cточка\ ліворуч ([4-1]\ елл-5^ {\ правий}\ праворуч) & =( 28-11)\ cdot\ ліворуч ([\ ell+w] +5^ {\ правий}\ праворуч)\\
&= 17\ cdot\ ліворуч ([\ ell+w] +5^ {\ правий}\ праворуч)\\
\ Стрілка вліво\ квадрад 1\ cdot\ ліворуч (\ ell-\ frac {1} {3}\ cdot 5^ {\ правий}\ правий}) &=\ frac {1} {3}\ cdot\ cdot\ ліворуч (\ ell+w+5^ {\ prime}\ праворуч)\\\ Стрілка вліворуч
\ quad\ ліворуч (\ ell-1^ {\ prime} 40^ {\ правий\ правий}\ правий}\ праворуч)\ cdot 11 &=5^ {\ circ} 40^ {\ прайм}\ cdot\ ліворуч (\ ell+w+5^ {\ правий}\ правий)
\ кінець {вирівняний}\).

Однак вавилоняни не оперували такими рівняннями; вони, ймовірно, вписали числа уздовж ліній діаграми (рис. 2.8); це причина того, що «коефіцієнт»\((4-1)\) не повинен з'являтися перед рядком 29.

Як і в першій задачі тексту, рішення однорідного рівняння знаходять шляхом ідентифікації факторів «зліва» з тими «праворуч» (що є причиною того, що множники були перевернуті з лівого боку останнього рівняння):\(\ell-1^{\prime} 40^{\prime \prime}\) (тепер називається «довжина» і тому \(\lambda\)позначена на рис. 2.8 таким чином відповідає\(5^{\circ} 40^{\prime}\), тоді як\(\ell+w+5^{\prime}\) (іменована як «купа» нової довжини\(\lambda\) і нової ширини\(\phi\), тобто\(\lambda+\phi\)) дорівнює 11; отже,\(\phi\) повинен бути\(11-5^{\circ} 40^{\prime}=5^{\circ} 20^{\prime}\). Далі текст визначає «to-be-joined» (wāschbum) довжини, тобто тієї, яка повинна бути з'єднана з довжиною,\(\lambda\) щоб отримати початкову довжину\(\ell\): вона дорівнює\(1^{\prime} 40^{\prime \prime}\), оскільки\(\lambda=t-1^{\prime} 40^{\prime \prime}\). Далі він знаходить «to-be-torn-out» (nāsum) ширини, тобто тієї, з якої потрібно «вирвати»,\(\phi\) щоб отримати\(w\). Оскільки\(\ell+w+5^{\prime}=11\),\(w\) повинен дорівнювати\(11-\ell-5^{\prime}=11-\left(\lambda+1^{\prime} 40^{\prime \prime}\right)-5^{\prime}=(11-\lambda)-\left(1^{\prime} 40^{\prime \prime}+5^{\prime}\right)=\phi-6^{\prime} 40^{\prime \prime}\); «щоб бути зірваним», таким чином\(6^{\prime} 40^{\prime \prime}\).

Але «приєднання» до\(\lambda\) і «виривання»\(\phi\) лише дає можливе рішення, а не те, яке призначене. Для того, щоб мати значення для\(\ell\) і на\(w\) які спрямовані, крок\(5^{\prime}\) «піднімається» (як у першій задачі) до\(5^{\circ} 40^{\prime}\) і\(5^{\circ} 20\). Це дає, відповідно,\(28^{\prime} 20^{\prime \prime}\) і\(26^{\prime} 40^{\prime \prime}\); шляхом «приєднання» до першого його «до приєднання» і шляхом «виривання» з останнього його «щоб бути розірваним», ми нарешті отримуємо\(\ell=30^{\prime}, w=20^{\prime}\).

Малюнок\(2.8\): Дозвіл TMS VII #2.

Ми повинні взяти до уваги майстерність, з якою автор уникає використовувати в процедурі свого знання рішення (за винятком врешті-решт, де йому потрібно знати «крок», щоб вибрати рішення, яке спрямоване серед усіх можливих рішень). Чисельні значення, які відомі без надання, служать у педагогічних поясненнях; згодом їх функція полягає у наданні імен - не маючи таких символів\(\lambda\), як\(\ell\) і вавилонський повинен використовувати ідентифікатори, такі як «довжина\(30^{\prime}\)» та» довжина 5^ {\ prime} 40^ {\ prime\ prime}» (обидві довжини, тому назви «length» без будь-якого класифікатора буде недостатньо).

Числові значення служать ідентифікаторами у багатьох текстах; проте непорозуміння, що виникають внаслідок змішування заданих та просто відомих чисел, надзвичайно рідкісні.