2.1: ТМС ХVI #1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65801

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

1 4 частина ширини, від довжини і ширини, яку я вирвав,$45^{\prime}$. Ви,$45^{\prime}$

2 до 4 підвищення, 3 ви бачите. 3, що це? 4 і 1 посади,

3$50^{\prime}$ і$5^{\prime}$, щоб вирвати, позиціонувати. $5^{\prime}$до 4 підняття, 1 ширина. $20^{\prime}$до 4 підвищення,

4$1^{\circ} 20^{\prime}$ альт бачите, ² 4 ширини. $30^{\prime}$до 4 підняти, 2 ви бачите, 4 довжини. $20^{\prime}$, 1 ширина, щоб вирвати,

5 з$1^{\circ} 20^{\prime}$, 4 ширини, вириваємо, 1 см. 2, довжини, і 1, 3 ширини, купа, 3 ви бачите.

6 і 4 від'єднати,$15^{\prime}$ бачите. $15^{\prime}$до 2, довжини, підніміть альт ,$30^{\prime}$ бачите$30^{\prime}$, довжину.

7$15^{\prime}$ до 1 підвищення$15^{\prime}$, внесок ширини. $30^{\prime}$і$15^{\prime}$ утримувати.

8 Так як «4-й ширини, щоб вирвати», тобі сказано, з 4, 1 вирвати, 3 ти бачиш.

9 і 4 de альт tach,$15^{\prime}$ ви бачите,$15^{\prime}$ щоб 3 підняти,$45^{\prime}$ ви бачите,$45^{\prime}$ стільки, скільки (є) ширини.

10 1 стільки ж, скільки (є) довжини posit. 20, істинна ширина взяти, 20$1^{\prime}$ підняти,$20^{\prime}$ ви бачите.

11$20^{\prime}$$45^{\prime}$ підняти,$15^{\prime}$ погодьтеся. $15^{\prime}$від$30_{15^{\prime}}$ вирвати,

12$30^{\prime}$ ви бачите$30^{\prime}$, довжина.

Цей текст відрізняється за характером від величезної більшості старовавилонських математичних текстів: він не стверджує проблеми, і він не вирішує жодної. Натомість він дає дидактичне пояснення понять та процедур, які служать для розуміння та зменшення певного часто зустрічається типу рівняння.

$bigImagesFigure4.png$

Малюнок$2.1$: Геометрія TMS XVI #1.

Незважаючи на те, що багато термінів, які з'являються в перекладі, вже були пояснені в розділі «Нове тлумачення», може бути корисно пройти текст слово в слово.

Лінія 1 формулює рівняння: 4-я ширина, від довжини і ширини, яку я вирвав,$45^{\prime}$.

Рівняння, таким чином, стосується довжини і ширини. Це говорить нам про те, що об'єкт є прямокутником - з давньо-вавилонської точки зору прямокутник - це найпростіша фігура, що визначається лише довжиною та шириною. ³ Щодо позначення числа див. У графі «Шестигранна система», сторінка 14. Якщо$\ell$ довжина і$w$ ширина, ми можемо висловити рівняння в символах таким чином:

$(\ell+w)-\frac{1}{4} w=45^{\prime}$.

Щось, однак, втрачено в цьому перекладі. Дійсно, довжина і ширина - це стислий вираз для «нагромадження», симетричного додавання двох величин (або їх вимірювальних чисел; див. стор. 18). Довжина, таким чином, не подовжується на ширину, дві величини об'єднуються на рівних, незалежно від прямокутника. Єдина роль прямокутника полягає в тому, щоб поставити його розміри в розпорядження як невідомі величини (рис. 2.1).

$bigImagesFigure5.png$

Малюнок$2.2$: «Рівняння» ТМС XVI #1.

Після того, як довжина і ширина були «наворочені», можна «вирвати»$\frac{1}{4} w$, оскільки ця сутність є частиною ширини, а отже, і загальної. «Виривати», як ми пам'ятаємо, - це зворотна операція «з'єднання», і, таким чином, видалення величини з іншої, частиною якої вона є (рис. 2.2).

У рядку 1 показана природа вавилонського рівняння: комбінація вимірюваних величин (часто, як тут, геометричних величин), для яких дається загальна сума. Крім того, в тексті зазначено, що міра однієї комбінації дорівнює показнику іншої, або на те, наскільки одна перевищує іншу. Це не зовсім той тип рівняння, який викладається в сучасній шкільній математиці, яка зазвичай має справу з чистим числом, але це дуже схоже на рівняння, якими маніпулюють інженери, фізики чи економісти. Говорити про «рівняння» у вавилонському контексті, таким чином, зовсім не анахронічно.

Далі рядки 1 і 2 просять учня помножити$45^{\prime}$ (з правого боку версії в символах) на 4: Ви,$45^{\prime}$ до 4 підвищуєте, 3 бачите. Щоб «підняти», ми пам'ятаємо з сторінки 13, означає множення конкретної величини - тут число, яке представляє складований відрізок лінії. Результат цього множення - 3, і текст задає риторичні питання: 3, що це?

$bigImagesFigure6.png$

Малюнок$2.3$: Інтерпретація ТМС XVI, рядки 1-3.

Відповідь на це питання знаходиться в рядках 2—5. 4 і 1 позиції: По-перше, студент повинен «позиціонувати» 4 і 1. «posit» означає дати матеріальне уявлення; тут цифри, ймовірно, повинні бути записані у відповідному місці на схемі (рис. 2.3 є можливою інтерпретацією). Число «1» відповідає тому, що число$45^{\prime}$ праворуч у початковому рівнянні, а також величини зліва використовуються за один раз. Число «4» є «позиційним», тому що ми повинні пояснити, що відбувається, коли$45^{\prime}$ і відповідні величини приймаються 4 рази.

$50^{\prime}$і$5^{\prime}$, щоб вирвати, позиціонують: цифри$50^{\prime}$ і$5^{\prime}$ розміщуються на рівні «1» діаграми. Це повинно нас здивувати: це показує, що студент повинен вже знати, що ширина є,$20^{\prime}$ а довжина є$30^{\prime}$. Якби він цього не зробив, він би не зрозумів того$\ell+w=50^{\prime}$ і того$\frac{1}{4} w$ (того, що належить вирвати) є$5^{\prime}$. Для наочності не тільки цифри,$5^{\prime}$ а й$50^{\prime}$ і$30^{\prime}$ і$20^{\prime}$ вказуються на рівні «1» в нашій діаграмі, навіть якщо в тексті про них не йдеться.

Рядки 3—5 ще переконливіше доводять, що студент повинен знати вже рішення проблеми (яка, таким чином, є лише квазі-задачею). Мета тексту полягає в тому, щоб не знайти рішення. Як вже було сказано, це пояснити поняття та процедури, які служать для розуміння та зменшення рівняння.

Ці рядки пояснюють, як і чому початкове рівняння

$(\ell+w)-\frac{1}{4} w=45^{\prime}$

трансформується в

$4 \ell+(4-1) w=3$

через множення на 4.

$bigImagesFigure7.png$

Малюнок$2.4$: Інтерпретація ТМС XVI, рядки 3—5.

Цей розрахунок можна слідувати на малюнку 2.4, де числа на рівні «1» множаться на 4, даючи тим самим зростання до рівня «4»:

$5^{\prime}$до 4 підняття, 1 ширина:$5^{\prime}$, тобто ширина, множиться на 4, з чого виходить$20^{\prime}$, тобто одна ширина.$\frac{1}{4}$

$20^{\prime}$на 4 підняти,$1^{\circ} 20^{\prime}$ бачите, 4 ширини:$20^{\prime}$, тобто 1 ширина, множиться на 4, з яких виходить, таким чином$1^{\circ} 20^{\prime}$, 4 ширини.

$\(30^{\prime}$\) до 4 підвищення, 2 ви бачите, 4 довжини:$\(30^{\prime}$\), тобто 1 довжина, множиться на 4. Це дає 2, 4 довжини.

Помноживши всі числа рівня «1» на 4, і знайшовши таким чином їх аналоги на рівні «4», текст вказує (рядки 4 і 5), що залишається, коли 1 ширина усувається з 4 ширини:$\(20^{\prime}$\), 1 ширина, вирвати, від$1^{\circ} 20^{\prime}$, 4 ширини, виривати, 1 бачите.

Нарешті, окремі складові суми альт ідентифікуються, як показано на малюнку 2.5 2, додаються довжини, і 1, 3 ширини, купи, 3 ви бачите: 2, тобто 4 довжини, і 1, тобто ширини. Це дає число 3. Тепер ми знайшли відповідь на питання рядка 2, 3 ви бачите. 3, що це таке?.

$bigImagesFigure8.png$

Малюнок$2.5$: Інтерпретація ТМС XVI, рядок 5.

Але урок на цьому не зупиняється. У той час як лінії 1—5 пояснюють, як рівняння$(\ell+w)-\frac{1}{4} w=45^{\prime}$ може бути перетворено в$4 \cdot \ell+(4-1) \cdot w=3$, що випливає в рядках 6—10 призводить, через ділення на 4, до перетворення цього рівняння в

$1 \cdot \ell+\frac{3}{4} \cdot w=45^{\prime}$.

Для вавилонян ділення на 4 дійсно здійснюється як множення на$\frac{1}{4}$. Тому, рядок 6 стверджує, що$\frac{1}{4}=15^{\prime}$: igi 4 від'єднати,$15^{\prime}$ ви бачите. igi 4 можна знайти в таблиці igi, тобто зворотних (див. стор. 20).

На малюнку 2.6 видно, що це відповідає поверненню до рівня «1»:

$15^{\prime}$на 2, довжини, підніміть,$30^{\prime}$ бачите,$30^{\prime}$ довжину: 2, тобто 4 довжини, при множенні на$\frac{1}{4}$ дає$30^{\prime}$, тобто 1 довжину.

$bigImagesFigure9.png$

Малюнок$2.6$: Інтерпретація ТМС XVI, рядки 6—12.

$15^{\prime}$до 1 підвищення$15^{\prime}$, внесок ширини. (рядок 7): 1, тобто 3 ширини, множиться на$\frac{1}{4}$$15^{\prime}$, що дає, внесок ширини в суму$45^{\prime}$. Кількість ширин, яким відповідає цей внесок, визначається в рядках 8 і 9. Тим часом запам'ятовуються внески довжини та ширини:$30^{\prime}$ і$15^{\prime}$ утримуйте - коротший вираз, щоб ви могли головою утримувати, формулювання, яке використовується в інших текстах. Ми помічаємо контраст з матеріалом, беручи до уваги цифри 1, 4,$50^{\prime}$ і$5^{\prime}$ шляхом «позиціонування» на початку.

Таким чином, внесок ширини$15^{\prime}$. Кінець рядка 9 вказує на те, що кількість ширини, якій відповідає - коефіцієнт ширини, нашою мовою - є$\frac{3}{4}$ (=$45^{\prime}$):$45^{\prime}$ стільки, скільки (є) ширини. аргумент, що веде до цього, має тип, відомий як «просте помилкове положення». ⁴

Рядок 8 цитує постановку квазізадачі як обгрунтування того, що зроблено (такі обгрунтування цитатами стандартні): Оскільки «4-й ширини, щоб вирвати», це вам сказано. Тому ми повинні з'ясувати, скільки залишається ширини при$\frac{1}{4}$ видаленні.

Для зручності «позиціонується», що кількість ширин дорівнює 4 (це «помилкове положення»). $\frac{1}{4}$з 4 дорівнює 1 (текст дає це число без розрахунку). При її усуненні залишається 3: з 4, 1 сльозу, 3 ви бачите.

Для того щоб побачити, якій частині помилково поставленої 4 відповідає ця 3, множимо на$\frac{1}{4}$. Незважаючи на те, що це вже було сказано в рядку 6, він повторюється в рядку 9, що$\frac{1}{4}$ відповідає$15^{\prime}$: igi 4 de альт tach,$15^{\prime}$ ви бачите.

Ще в рядку 9 множення на 3 дає коефіцієнт ширини як$45^{\prime}$ (=$\frac{3}{4}$):$15^{\prime}$ до 3 підняти,$45^{\prime}$ бачите,$45^{\prime}$ стільки ж (є) ширини.

Не обчисливши його лінія 10 оголошує, що коефіцієнт довжини дорівнює 1. Ми знаємо дійсно з лінії 1 що єдиною довжиною входить в$45^{\prime}$, без додавання і віднімання. Таким чином, ми пояснили, як рівняння$4 \cdot \ell+(4-1) \cdot w=3$ перетворюється в

$1 \cdot \ell+\frac{3}{4} \cdot w=45^{\prime}$.

Кінець рядка 10 представляє нам невелику загадку: яке відношення між «істинною шириною» і шириною, яка цифри в рівняннях?

Пояснення може бути наступним: справжнє поле може вимірювати 30 [$\mathrm{NINDAN}$] на 20 [$\mathrm{NINDAN}$] (c. 180 м на 120 м, тобто$\frac{1}{3}$ br), але, звичайно, не$30^{\prime}$ по$20^{\prime}$ (3 м на 2 м). З іншого боку, неможливо було б намалювати поле з розмірами$30 \times 20$ у дворі будинку учителя школи (або будь-якої іншої школи; власне, посипаний піском двір є найбільш правдоподібною опорою для схем, використовуваних у навчанні). Але$30^{\prime}$ по підходив$20^{\prime}$ би ідеально (ми знаємо з викопаних будинків), і цей порядок є тим, який зазвичай фігурує в математичних задачах. Оскільки немає різниці в написанні між 20 і$20^{\prime}$, це не що інше, як можливе пояснення, але правдоподібне, оскільки, здається, немає альтернативи.

У будь-якому випадку, в рядку 11 знову виявляється, що ширина сприяє з$15^{\prime}$, а саме множенням$20^{\prime}$ (1 ширина) на коефіцієнт$45^{\prime}$:$20^{\prime}$ $45^{\prime}$підняти,$15^{\prime}$ ви бачите.

Зрештою, внесок ширини виключається з$45^{\prime}$ (вже написано 30^ {15}, тобто як сума$30^{\prime}$ і$15^{\prime}$, відповідно до розділу, запам'ятовується в кінці рядка 7). $30^{\prime}$залишається, тобто довжина:$15^{\prime}$ від ³⁰ _15′ вириваємо,$30^{\prime}$ бачите,$30^{\prime}$ довжину.

Загалом, приємне педагогічне пояснення, яке направляє учня за руку хрест-навхрест через тему «як перетворити рівняння першого ступеня, і як зрозуміти, що відбувається».

Перш ніж залишити текст, ми можемо затриматися на акторах, які з'являються, і які повторюються у більшості тих текстів, які заявляють про проблему разом із процедурою, що призводить до її вирішення. ⁵ По-перше, «голос», що говорить від першої особи однини, описує ситуацію, яку він встановив, і формулює питання. Далі інший голос звертається до учня, даючи накази в імперативі або в другій особі однини, теперішнього часу; цей голос не може бути ідентичним тому, який заявив про проблему, оскільки він часто цитує її від третьої особи, «оскільки він сказав».

У шкільному контексті можна уявити, що голос, який стверджує проблему, - це голос шкільного майстра, і що той, який звертається до учня, є помічником або інструктором— «тексти edubba», ⁶ літературних текстів про школу та про шкільне життя, часто посилаються на» старший брат», завдання якого полягає в тому, щоб дати вказівки. Однак походження схеми, як видається, відрізняється. Деякі тексти початку вісімнадцятого століття починаються: «Якщо хтось запитає вас таким чином, «Я маю...». У цих текстах той, хто запитує, є гіпотетичною людиною, що не належить до дидактичної ситуації—привід для математичної загадки. Тоді анонімний гід є майстром, спочатку, ймовірно, буде ідентифікований з майстром-геодезистом, пояснюючи методи торгівлі своєму учню.