5.2: Матриця «суміжності»

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67609

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Найпоширенішою формою матриці в аналізі соціальних мереж є дуже проста квадратна матриця з такою кількістю рядків і стовпців, скільки в нашому наборі даних є актори. «Елементи» або бали в осередках матриці записують інформацію про зв'язки між кожною парою акторів.

Найпростіша і поширена матриця - двійкова. Тобто, якщо краватка присутній, то в клітинку вводиться одиниця; якщо немає краватки, то вводиться нуль. Цей вид матриці є відправною точкою майже для всього мережевого аналізу і називається «матрицею суміжності», оскільки вона представляє, хто поруч, або поруч з ким у «соціальному просторі», відображеному відносинами, які ми виміряли.

Матриця суміжності може бути «симетричною» або «асиметричною». Соціальна дистанція може бути як симетричною, так і асиметричною. Якщо Боб і Керол є «друзями», вони поділяють «зв'язаний краватку» і запис у X _{i, j} клітина буде такою ж, як запис у клітинці X _{j, i}.

Але соціальна дистанція може бути смішною (не евклідовою) річчю. Боб може відчувати себе близько до Керол, але Керол може не відчувати себе так само щодо Боба. У цьому випадку елемент, що показує відношення Боба до Керол, буде оцінений «1», тоді як елемент, що показує відношення Керол до Боба, буде оцінений «0». Тобто в «асиметричній» матриці X _{i, j} не обов'язково дорівнює X _{j, i}.

За умовністю, у спрямованій (тобто асиметричній) матриці відправником краватки є рядок, а ціллю краватки є стовпчик. Давайте розглянемо простий приклад. Орієнтований графік вибору дружби між Бобом, Керол, Тедом та Алісою показаний на малюнку 5.4.

$Ганнеман Скріншот 5-1.png$

Малюнок 5.4. Боб, Керол, Тед і Аліса

Ми можемо, оскільки зв'язки вимірюються на номінальному рівні (тобто дані є двійковими даними вибору), ми можемо представляти ту ж інформацію в матриці, яка виглядає так:

	Боб	Керол	Тед	Аліса
Боб	—	1	1	0
Керол	0	—	1	0
Тед	1	1	—	1
Аліса	0	0	1	—

Малюнок 5.5. Асиметрична матриця суміжності графіка показана на малюнку 5.4.

Пам'ятайте, що рядки представляють джерело спрямованих зв'язків, а стовпці - цілі; Боб вибирає тут Керол, але Керол не вибирає Боба. Це приклад «асиметричної» матриці, яка представляє спрямовані зв'язки (зв'язки, які йдуть від джерела до приймача). Тобто, елемент i, j не обов'язково дорівнює елементу j, i Якщо зв'язки, які ми представляли в нашій матриці, були «зв'язками» (наприклад, зв'язки, що представляють відношення «є діловим партнером» або «спільне виникнення або спільне присутність», (наприклад, де зв'язки представляють відношення на кшталт: «служить на тому ж рада директорів як») матриця обов'язково буде симетричною; тобто елемент i, j буде дорівнює елементу j, i.

Двійкові дані вибору зазвичай представляються нулями і одиницями, що вказують на наявність або відсутність кожної логічно можливої залежності між парами акторів.

Знакові графіки представлені у вигляді матриці (зазвичай) з -1, 0 та +1 для позначення негативних відносин, відсутніх або нейтральних відносин та позитивних відносин. «Підписані» графіки насправді є спеціалізованим варіантом порядкового відношення.

При вимірюванні зв'язків на порядковому або інтервальному рівні числову величину вимірюваної краватки вводять як елемент матриці. Як ми вже обговорювали раніше, можливі й інші форми даних (багаторозрядні номінальні, порядкові з більш ніж трьома рядами, повноранговий порядок номінальний). Однак ці інші форми рідко використовуються в соціологічних дослідженнях, і ми не будемо приділяти їм дуже багато уваги.

При представленні даних соціальних мереж у вигляді матриць завжди виникає питання: що робити з елементами матриці де i = j? Тобто, наприклад, чи вважає Боб себе близьким другом Боба? Ця частина матриці називається головною діагоналлю. Іноді значення головної діагоналі безглуздо, і його ігнорують (і залишають порожнім або заповнюють нулями або одиницями). Іноді, однак, основна діагональ може бути дуже важливою, і може приймати значущі значення. Це особливо вірно, коли рядки та стовпці нашої матриці є «супер-вузлами» або «блоками». Детальніше про це за хвилину.

Часто зручно посилатися на певні частини матриці, використовуючи скорочену термінологію. Якщо я візьму всі елементи рядка (наприклад, кого Боб обрав друзями: —,1,1,0), я вивчаю "вектор рядка" для Боба. Якщо я дивлюся лише на того, хто вибрав Боба в якості друга (перший стовпець, або —,0,1,0), я розглядаю "вектор стовпця" для Боба. Іноді корисно виконувати певні операції над векторами рядків або стовпців. Наприклад, якби я підсумував елементи векторів стовпців у цьому прикладі, я б вимірював, наскільки «популярним» був кожен вузол (з точки зору того, як часто вони були мішенню спрямованої дружби). Таким чином, «вектор» може бути цілою матрицею (1 x... або... x 1), або частиною більшої матриці.