Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.3: Теорема про коло Монжа

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    64904

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Існує хороша послідовність головоломок із сірниками, яка починається з «Використовуйте дев'ять сірників, що не перекриваються, щоб сформувати\(4\) трикутники (всі однакового розміру)». Це не так вже й складно, і через деякий час більшість людей придумують.

    clipboard_e8fe9306fabbae06ab227cb1e3dcc366f.png

    Кікер приходить, коли ви наступного попросите їх «використовувати шість сірників, щоб сформувати\(4\) (рівного розміру) трикутники». Там є картина рішення цієї нової головоломки в задній частині цього розділу. Відповідь передбачає тривимірне мислення, тому - з цим натяком - спробуйте на деякий час, перш ніж дивитися в спину.

    Теорема про коло Монжа не має нічого спільного з сірниками, але це солодкий приклад доказу, який працює, переходячи до вищого виміру. Люди часто говорять про «нестандартне мислення» при обговоренні критичного мислення, але математична ідея переходу до вищого виміру ще більш потужна. Коли у нас є «коробка» в\(2\) -мірному просторі, який ми потім розглядаємо як сидячи в\(3\) -мірному просторі, ми виявляємо, що коробка навіть не має всередині або зовні більше! Ми отримуємо «за межами коробки», буквально стираючи уявлення про те, що всередині коробки є!

    Налаштування теореми про коло Монжа складається з трьох випадкових кіл, намальованих на площині. Ну, чесно кажучи, вони не можуть бути абсолютно випадковими - ми не можемо дозволити коло, яке повністю знаходиться всередині іншого кола. Тому що, якби коло було повністю всередині іншого, не було б зовнішніх дотичних, а теорема Монжа про зовнішні тангенси.

    Я міг би, напевно, написати кілька сотень слів, щоб пояснити поняття зовнішніх дотичних до пари кіл, або ви могли б просто подивитися на Малюнок\(9.3.1\). Отже, хмм, просто подивіться.

    clipboard_eaff1792c154755d83ea6be926b84eadc.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Налаштування теореми Монжа про коло: три випадково розміщені кола - ми також показуємо зовнішні дотичні до однієї пари кіл. (Авторське право; автор через джерело)

    Зверніть увагу, як зовнішні дотичні 1 до двох кіл зустрічаються в точці? Якщо кола просто випадково мають точно такий же розмір (І які шанси на це?) це буде так. Кожна пара зовнішніх дотичних збираються зустрітися в точці. Існує три таких пари зовнішніх дотичних і тому вони визначають три точки. Я припускаю, оскільки ці три точки визначаються досить складним способом з трьох випадково обраних кіл, ми очікуємо, що три точки будуть досить випадковими. Теорема про коло Монге говорить, що це не так.

    Теорема\(\PageIndex{1}\): Monge's Circle Theorem

    Якщо три кола різних радіусів в евклідовій площині обрані так, щоб жодне коло не лежало всередині іншого, три пари зовнішніх дотичних до цих кіл зустрічаються в колінеарних точках.

    На малюнку\(9.3.2\) ми бачимо повний приклад теореми Коло Монжа в дії. Є три випадкових кола. Існує три пари зовнішніх дотичних. Три точки, визначені перетином пар зовнішніх дотичних, лежать на прямій (показані пунктирною на малюнку).

    Ми навіть не будемо намагатися написати формальний доказ теореми кола. Не те, що це неможливо зробити - це просто те, що ви, мабуть, можете отримати кращу думку через неформальну дискусію.

    Основна ідея полягає в тому, щоб просто перейти в\(3\) -мірний простір. Уявіть собі оригінальну плоску площину, яка містить наші три випадкові кола, як площину\(z=0\) в\(3\) евклідовому просторі. Замініть три кола на три сфери однакового радіуса і мають однакові центри — явно перетину цих сфер з площиною\(z=0\) будуть нашими первісними колами. Хоча пари кіл охоплюються двома лініями (зовнішніми дотичними, які ми так багато обговорювали), коли у нас є пара сфер у\(3\) -space, вони охоплюються конусом, який лежить дотичною до обох сфер 2. Зверніть увагу, що конуси, які лежать по дотичній до пари сфер, перетинають площину саме в тих сумнозвісних зовнішніх дотичних.

    clipboard_e4e97a684d919062268c7db00371d4870.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Приклад теореми про коло Монжа. Три пари зовнішніх дотичних до кіл перетинаються в колінеарних точках. (Авторське право; автор через джерело)

    Ну, гаразд, ми перейшли до\(3\) -d. Ми замінили наші кола сферами, а зовнішні тангенси - дотичними конусами. Точками перетину зовнішніх дотичних тепер є кінчики конусів. Але, що хорошого це все зробило? Чи є підстави вважати, що кінчики тих шишок лежать в черзі?

    Власне, так! Є площина, яка торкається всіх трьох сфер по дотичній. Насправді, таких площин дві, одна, яка торкається їх усіх на верхніх поверхнях, і одна, яка торкається їх усіх на нижніх поверхнях. О чорт! Насправді є багато площин, які дотичні до всіх трьох сфер, але лише одна, яка лежить над трьома з них. Ця площина перетинає площину\(z=0\) в лінії - нічого фантазійного там; будь-яка пара непаралельних площин перетинається в лінію (і єдиний спосіб площини, про які ми обговорюємо, були б паралельними, це якби всі три сфери були однакового розміру). Але ця площина також лежить дотичною до конусів, які огинають наші сфери, і так що площина (як і площина\(z=0\)) містить кінчики конусів!

    clipboard_e1ca21b73917d9006b0d560bc648afeda.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Шість сірників (насправді олівці набагато легше тримати) можна розташувати тривимірно, щоб створити чотири трикутники. (Авторське право; автор через джерело)

    Вправи:

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Існує сценарій, коли доказ, який ми намалювали для теореми про коло Монге, насправді не працює. Чи можете ви собі це уявити?

    Підказка

    Розглянемо дві відносно великі сфери і одну, яка досить мала.