9.1: Чудо Морлі
- Page ID
- 64893
Напевно, ви чули про неможливість перетину кута. (Тримайтеся за швидкий розголос про важливість розуміння ваших гіпотез) Що насправді вірно полягає в тому, що ви не можете перетнути загальний кут, якщо ви приймаєте обмеження використання старомодних інструментів евклідової геометрії: компас і прямий край. Є багато конструкцій, які не можна зробити, використовуючи тільки прямий край і компас - кутова трисекція, дублювання куба 1, квадрат кола, побудова регулярного гептагону, і так далі.
Якщо ви дозволяєте собі використовувати лінійку - тобто прямий край з позначками на ньому (дійсно вам дійсно потрібні лише дві позначки на одиничній відстані один від одного), то трисекція кута проводиться за допомогою того, що відомо як конструкція neusis. Тим не менш, через центральне місце елементів Евкліда в математичній підготовці протягом століть, і тим самим, дуже сильна пристрасть до того, що можливо через компас і прямий край поодинці, можливо, не дивно, що абсолютно красивий результат, який бере участь трисекційні кути пішли невідкритими до тих пір\(1899\), поки Френк Морлі не заявив про свою теорему трисектора. У цьому результаті набагато більше, ніж ми скажемо тут - набагато більше, що назва «Чудо Морлі», яке було дано теоремі Трисектора, справді виправдано - але навіть проста, початкова частина цієї прекрасної теорії, можливо, чудотворна! Щоб дізнатися більше про теорему Морлі та її розширення див. [8].
Отже, викладемо теорему!
Почніть з довільного трикутника\({\triangle}ABC\). Трисекція кожного з його кутів, щоб отримати діаграму щось подібне на малюнку\(9.1.1\).
Шість кутових трисекторів, які ми щойно намалювали, перетинаються один з одним у досить багатьох точках.
Ви можете буквально підрахувати кількість точок перетину між кутовими трисекторами на діаграмі, але ви також повинні вміти їх рахувати (можливо, ми повинні сказати «подвійний підрахунок їх») комбінаторно. Дайте йому спробувати!
Серед точок перетину кутових трисекторів є три, які ми виділимо — перетину сусідніх трисекторів. На малюнку\(9.1.2\) вказано перетин сусідніх трисекторів, додатково ми з'єднали їх разом, щоб утворити невеликий трикутник в центрі нашого вихідного трикутника.
Чи готові ви до чудотворної частини? Гаразд, ось йде!
Точки перетину сусідніх трисекторів в довільному трикутнику\(\triangle ABC\) утворюють вершини рівностороннього трикутника.
Іншими словами, що маленький синій трикутник на малюнку такий\(9.1.2\), як це може бути рівностороннім насправді має всі три сторони рівні один одному. Крім того, неважливо, з якого трикутника ми починаємо, якщо ми зробимо конструкцію вище, ми отримаємо ідеальний\(60^\circ - 60^\circ - 60^\circ\) трикутник посередині!
Джерела відрізняються, але незрозуміло, чи доводив Морлі коли-небудь свою теорему. Перше достовірне доказ (за словами Р.К. Гая в [8] було опубліковано в\(1909\) М.Сатьянараяна [15]. Зараз відомі й інші докази, наприклад, веб-сайт «вирізаний вузол» (http://www.cut-the-knot.org/) містить не менше дев'яти різних доказів. Доказом Сатьянараяна використовувалася тригонометрія. Доказ, який ми розглянемо тут, є, мабуть, найкоротшим, коли-небудь виробленим, і це пов'язано з Джоном Конвеєм. Це, безумовно, «Книжковий доказ»!
Припустимо, що задано\(\triangle ABC\) довільний трикутник. Ми хочемо показати, що трикутник, вершини якого є перетинами сусідніх трисекторів, є рівностороннім — цей трикутник буде називатися трикутником Морлі. Давайте також позначимо по\(A\),\(B\) і\(C\) міри кутів\(\triangle ABC\). (Це те, що прийнято називати «зловживанням позначеннями» - ми навмисно плутаємо вершини (\(A\),\(B\) і\(C\)) трикутника з мірою кутів у цих вершині.) Виявляється, досить важко міркувати з нашого знання про те, що таке кути\(A\),\(B\) і\(C\) є зробити висновок, що трикутник Морлі рівносторонній. Як звучить наступний план: припустимо, ми будуємо трикутник, який, безумовно, має рівносторонній трикутник Морлі, кути якого також трапляються\(A\),\(B\) і\(C\). Такий трикутник був би подібним 2 до початкового трикутника\(\triangle ABC\) - якщо ми будемо слідувати перетворенню подібності від побудованого трикутника назад до\(\triangle ABC\) ми побачимо, що їх трикутники Морлі повинні збігатися; отже, якщо один рівносторонній, так і інший!
Однією з особливостей доказу Конвея, що призводить до його великої лаконічності та краси, є його введення деяких дуже приємних позначень. Оскільки ми маємо справу з кутом трисекторів, нехай\(a\),\(b\) і\(c\) бути кути такі\(3a = A\), що,\(3b = B\) і\(3c = C\). Крім того, нехай надіндексна зірка позначає кут, який\(\dfrac{π}{3}\) (або,\(60^{\circ}\) якщо ви віддаєте перевагу) більше заданого кута. Так, наприклад,
\[ a^{\star}= a + \dfrac{\pi}{3} \]
і
\[ a^{\star\star} = a + \dfrac{2}{3}. \]
Тепер зверніть увагу, що сума\(a+b+c\) повинна бути\(\dfrac{\pi}{3}\). Це безпосереднє наслідок\(A+B+C=\pi\), яке справедливо для будь-якого трикутника в площині. Звідси випливає, що розподіляючи дві зірки між трьома числами\(a\),\(b\) і\(c\) ми придумаємо три величини, які підсумовуються\(\pi\). Іншими словами, існують евклідові трикутники, які мають такі трійки як кути вершин:
\((a, b, c^{\star\star}) \;\;\;\;\;\;\;\;(a, b^{\star} , c^{\star} ) \\ (a, b^{\star\star}, c) \;\;\;\;\;\;\;\;(a^{\star} , b^{\star} , c) \\ (a^{\star\star}, b, c) \;\;\;\;\;\;\;\;(a^{\star}, b, c^{\star} )\)
У двох словах, доказ Конвея складається з того, щоб почати з рівностороннього трикутника одиниці довжини сторони, додавання відповідним чином масштабованих версій шести трикутників вище і закінчуючи фігурою (що має рівносторонній трикутник Морлі), подібний до\({\triangle}ABC\). Родова картина приведена на рис\(9.1.3\). Перш ніж ми зможемо дійсно вважати цей аргумент доказом, нам потрібно сказати трохи більше про те, що означає фраза «відповідним чином масштабований». Для того, щоб належним чином масштабувати трикутники (маленькі гострі), які виглядають зеленими на малюнку,\(9.1.3\) ми маємо відносно легку роботу - просто масштабуйте їх так, щоб сторона, протилежна трисекційному куту, мала довжину один; таким чином вони ідеально з'єднаються з центральним рівностороннім трикутником.
Трикутники (це більші тупі), які виглядають фіолетовими на малюнку\(9.1.3\), трохи більше спантеличують. Нібито, нам потрібно виконати дві різні завдання - ми повинні масштабувати їх так, щоб обидва краю, які вони поділятимуть із зеленими трикутниками, мали правильну довжину. Як ми знаємо, що це не потребує двох різних факторів масштабування? Конвей також розробив елегантний аргумент, який також обробляє це питання. Розглянемо фіолетовий трикутник внизу діаграми на малюнку\(9.1.3\) — він має кути вершин\((a,b,c^{\star\star})\). Можна побудувати трикутники, подібні (через відбиття) до сусідніх зелених трикутників\((a, b^\star, c^\star)\) і\((a^\star, b, c^\star)\) трикутника\((a,b,c^{\star\star})\). Для цього просто побудуйте дві лінії, які проходять через верхню вершину (де кут\(c^{\star\star}\)), які розрізають протилежний край під кутом\(c^\star\) у двох можливих сенсах - ці дві лінії будуть збігатися, якщо це має відбутися,\(c^\star\) це точно \(\dfrac{\pi}{2}\)але загалом їх буде два, і очевидно, що два сформовані відрізки лінії мають однакову довжину. Масштабуємо фіолетовий трикутник так, щоб ця загальна довжина була\(1\). Див\(9.1.4\). Малюнок.
Якщо це повинно статися так\(c^{\star} = \dfrac{π}{2}\), що ми можемо сказати про\(C\)?
Звичайно, інші два тупих трикутника можна обробляти аналогічним чином.
Вправи:
Яке значення ми повинні отримати, якщо підсумувати всі кути, які з'являються навколо однієї з внутрішніх вершин на готовій діаграмі? Переконайтеся, що всі три мають правильну суму.
У цьому розділі ми говорили про схожість. Дві фігури в площині схожі, якщо є можливість перетворити одну в іншу послідовністю відображень: перекладом, поворотом і масштабуванням.
Геометрична подібність - це відношення еквівалентності. Щоб виправити наші позначення, давайте\(T(x, y)\) представляємо загальний переклад,\(R(x, y)\) обертання та\(S(x, y)\) масштабування — таким чином загальна подібність є функцією від\(\mathbb{R}^2\) до\(\mathbb{R}^2\), яку можна записати у формі\(S(R(T(x, y)))\).
Обговоріть три властивості співвідношення еквівалентності (рефлексивність, симетрія та транзитивність) з точки зору геометричної подібності.