3.2: Більше прямих доказів
- Page ID
- 64817
Створюючи прямий доказ, нам потрібно дивитися на наші гіпотези, розглянути бажаний висновок, розробити стратегію трансформації\(\text{A}\) в\(\text{B}\). Досить часто вам буде легко зробити кілька відрахувань з гіпотез, але жодна з них, здається, не спрямована в сторону бажаного висновку. Звичайна порада на цьому етапі - «Спробуйте працювати назад від висновку». 1
Існує чудовий результат, відомий як «середнє арифметико-геометричне нерівність», доказ якого втілює цей підхід. В основному ця нерівність порівнює два різних способи отримання «середнього» між двома дійсними числами. Середнє арифметичне двох дійсних чисел\(a\) і\(b\) є тим, до якого ви, ймовірно, звикли,\(\dfrac{(a+b)}{2}\). Багато людей просто називають це «середнє»\(a\) і\(b\) без використання модифікатора «арифметика», але, як ми побачимо, наше уявлення про те, що проміжне значення використовувати між двома числами залежить від контексту. Розглянемо наступні дві послідовності чисел (обидві з яких мають відсутній запис)
\(2\; 9\;16\; 23\; \underline{\;\;} \;37\; 44\)
і
\(3 \;6\; 12\; 24\; \underline{\;\;} \;96\; 192.\)
Як ми повинні заповнювати пропуски?
Перша послідовність - арифметична послідовність. Арифметичні послідовності характеризуються властивістю того, що різниця між послідовними долями є постійною. Друга послідовність - геометрична послідовність. Геометричні послідовності мають властивість, що відношення послідовних членів є постійною. Бланк в першій послідовності слід заповнити середнім арифметичним оточуючих записів\(\dfrac{(23 + 37)}{2} = 30\). Бланк у другій послідовності слід заповнити, використовуючи середнє геометричне його оточуючих записів:\(\sqrt{24 · 96} = 48\).
З огляду на, що ми приймаємо корисність мати два нееквівалентних поняття середнього, які можуть використовуватися в різних контекстах, цікаво подивитися, як ці два засоби порівнюються один з одним. Середнє арифметико-геометричне нерівність стверджує, що середнє арифметичне завжди більше.
\[∀a, b ∈ \mathbb{R}, a, b ≥ 0 \implies \dfrac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab}\]
Доводячи це твердження, у нас мало вибору, окрім як працювати назад від висновку, оскільки єдина гіпотеза, з якою ми маємо працювати, полягає в тому, що\(a\) і\(b\) є невід'ємними дійсними числами - що не є особливо потужним інструментом. Але що нам робити? Там немає гарної відповіді на це питання, ми просто повинні спробувати купу різних речей і сподіватися, що щось вийде. Коли ми нарешті обійдемо до написання нашого доказу, хоча, нам доведеться переставити заяви в протилежному порядку від того, як вони були виявлені. Це означає, що нам не рекомендується робити будь-які однонаправлені висновки, ми повинні прагнути зробити двозастережні зв'язки між нашими твердженнями (або ж намагатися навмисно робити зворотні помилки).
Перше, що звертається до вашого скромного автора - усунути як фракції, так і радикали.
\[\dfrac{a + b}{2} ≥ \sqrt{ab} \\ \iff a + b ≥ 2 \sqrt{ab} \\ \iff (a + b)^2 ≥ 4ab \\ \iff a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab \]
Один з кроків вище передбачає квадратування обох сторін нерівності. Нам потрібно запитати себе, чи дійсно цей крок є оборотним. Іншими словами, чи вірно наступне умовне?
\[∀x, y ∈ \mathbb{R}^{\text{noneg}}, x ≥ y \implies \sqrt{x} ≥ \sqrt{y}\]
Надайте обґрунтування попереднього підтексту.
Що ми повинні спробувати далі? Насправді немає хорошого обґрунтування для цього, але досвід роботи з квадратичними поліномами або в рівності або нерівності змушує більшість людей спробувати «перемістити все в одну сторону», тобто маніпулювати речами так, щоб одна сторона рівняння або нерівності дорівнювала нулю.
\[a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab \\ \iff a^2 − 2ab + b^2 ≥ 0 \]
Вау! Ми закінчили! Ви розумієте чому? Якщо ні, то я дам вам одну підказку: квадрат будь-якого дійсного числа більше або дорівнює нулю.
Зберіть всі кроки, зроблені в попередніх кількох параграфах, в доказ середньої арифметико-геометричної нерівності.
Вправи:
Припустимо, у вас є ощадний рахунок, який щомісяця нараховує відсотки. Липневий звіт показує баланс,\($2104.87\) а вересневий звіт показує баланс\($2125.97\). Яким був би баланс за (відсутнім) серпневою заявою?
Нагадаємо, що квадратне рівняння\(ax^2 +bx+c = 0\) має два реальних рішення тоді і тільки тоді, коли дискримінант\(b^2 −4ac\) позитивний. Доведіть, що якщо a і c мають різні знаки, то квадратне рівняння має два реальних рішення.
Доведіть, що якщо\(x^3 − x^2\) негативний, то\(3x + 4 < 7\).
Доведіть, що для всіх цілих чисел\(a\)\(b\)\(c\), і, якщо\(a|b\) і\(a|(b + c)\), то\(a|c\).
Показати, що якщо\(x\) є додатним дійсним числом, то\(x + \dfrac{1}{x} ≥ 2\).
Доведіть, що для всіх дійсних чисел\(a\)\(b\)\(c\), і\(ac < 0\), якщо, то квадратне рівняння\(ax^2 + bx + c = 0\) має два дійсних рішення.
- Підказка
-
Квадратне рівняння\(ax^2 + bx + c = 0\) має два дійсних розв'язки, якщо і тільки якщо\(b^2 − 4ac > 0\) і\(a \neq 0\).
Показати that\(\binom{n}{k} · \binom{k}{r} = \binom{n}{r} · \binom{n−r}{k−r}\) (для всіх цілих чисел\(r\),\(k\) і\(n\) з\(r ≤ k ≤ n\).
Доводячи правило продукту в обчисленні, використовуючи визначення похідної, ми можемо почати наш доказ з:
\(\dfrac{d}{dx} (f(x) · g(x)) \\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x + h) · g(x + h) − f(x) · g(x)}{h} \)
Останні два рядки нашого доказу повинні бути:
\(\lim_{h→0} \dfrac{f(x + h) − f(x)}{h} · g(x) + f(x) · \lim_{h→0} \dfrac{g(x + h) − g(x)}{h} \\ = \dfrac{d}{dx} (f(x)) · g(x) + f(x) · \dfrac{d}{dx} (g(x))\)
Заповніть решту доказів.