3: Доказ техніки I
- Page ID
- 64793
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Любов снігохід мчить по тундрі, а потім раптом він перевертається, прищипуючи вас під. Вночі приходять крижані ласки.
—Метт Грінінг
- 3.1: Прямі докази універсальних тверджень
- Взагалі, перше, що потрібно зробити, доводячи універсальне твердження, - це перефразувати його як умовне. Отриманий оператор є універсальним умовним оператором або ПСК. Причина цього кроку полягає в тому, що гіпотези тоді будуть зрозумілі — вони формують попередник ПСК. Отже, хоча ви дійсно не досягли жодного прогресу в доказі, скориставшись цією порадою, ви принаймні будете знати, які інструменти у вас є під рукою.
- 3.2: Більше прямих доказів
- Створюючи прямий доказ, нам потрібно подивитися на наші гіпотези, розглянути бажаний висновок і розробити стратегію перетворення А в Б. Досить часто вам буде легко зробити кілька відрахувань з гіпотез, але жодна з них ніби не спрямована в сторону бажаного висновку. Звичайна порада на цьому етапі - «Спробуйте працювати назад від висновку».
- 3.3: Непрямі докази - протиріччя та протиставлення
- Непрямі докази приймають зовсім іншу прихватку від прямих доказів. Якщо ми намагаємося довести, що всі тремтіння поліциклічні, ми почнемо з припущення, що у вас була тріщина, яка не була поліциклічною, і, крім того, покажемо, що це припущення призводить до чогось справді неможливого. Ну а якщо не можна, щоб трекіл не був поліциклічним, то повинно бути так, що всі вони є. Такий аргумент відомий як доказ протиріччям.
- 3.4: Відхилення
- Ідея «спростування» насправді просто семантика — для того, щоб спростувати твердження, нам потрібно довести його заперечення. Якщо нам дано загальне кількісне твердження, перше, що потрібно зробити, це спробувати його для деяких випадкових елементів Всесвіту, в якому ми працюємо. Якщо ми трапляємося через значення, яке задовольняє гіпотези твердження, але не задовольняє висновку, ми знайшли те, що відомо як контрприклад.
- 3.5: Ще більше прямих доказів - за випадками та виснаженням
- Доказ виснаження є найменш привабливим методом доказів з естетичної точки зору. Вичерпний доказ складається з буквально (і вичерпно) перевірки кожного елемента Всесвіту, щоб побачити, чи вірно дане твердження для нього. Зазвичай, звичайно, це неможливо, оскільки всесвіт дискурсу нескінченний; але коли всесвіт дискурсу кінцевий, звичайно, не можна аргументувати обґрунтованість вичерпного доказу.
- 3.6: Докази та спростування екзистенціальних тверджень
- З певної точки зору в поточному розділі немає необхідності. Якщо ми доводимо екзистенціальне твердження, ми спростовуємо якесь універсальне твердження. (Про що вже йшлося.) Точно так само, якщо ми намагаємося спростувати екзистенціальне твердження, то ми фактично доводимо пов'язане універсальне твердження. Проте іноді спосіб викладання теореми підкреслює питання існування над відповідним універсалом.