1.7: Відносини

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64921

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Один з основних способів, яким математичне письмо відрізняється від звичайного письма, полягає в його неймовірній стислості. Наприклад, кандидатська дисертація для когось з гуманітарних наук було б дуже підозрілим, якщо його довжина була менше$300$ сторінок, тоді як це було б цілком прийнятним для математики докторанта представити дисертацію на суму менше$100$ сторінок. Дійсно, звичайними критеріями докторської дисертації (або взагалі будь-якої наукової роботи з математики) є те, що вона буде «новою, правдивою і цікавою». Якщо можна довести справді цікавий, новий результат на одній сторінці - вони, ймовірно, здадуть овчину.

Як досягається ця велика стислість? Вставляючи окремі символи замість цілого абзацу варто слів! Зокрема, один клас символів має величезну силу - так звані реляційні символи. Коли ви розміщуєте реляційний символ між двома виразами, ви створюєте речення, яке говорить, що зв'язок тримає. Період в кінці останнього речення, ймовірно, повинен бути вимовлений! «Ставлення тримає, період!» Іншими словами, коли ви записуєте математичне речення, що включає відношення, ви стверджуєте, що відношення є$\text{T}$ Істинним (капітал навмисний). Ось чому нормально писати «$2 < 3$», але це не нормально писати «»$3 < 2$. Символ$<$ є символом відносин, і ви повинні поставити його лише між двома речами, коли вони насправді несуть це відношення один до одного.

Ситуація стає трохи складнішою, коли у нас є змінні в реляційних виразах, але перш ніж ми перейдемо до розгляду цього ускладнення давайте складемо список відносин, які ми бачили на сьогоднішній день:

$=,\; <,\; >,\; ≤,\; ≥,\; |, \text{ and } ≡ (\text{mod } m).$

Кожен з них при розміщенні між числами виробляє твердження, яке є істинним або хибним. Зазвичай ми не записуємо помилкові, замість цього ми повинні висловити, що ми знаємо, що відношення не тримається, заперечуючи символ відношення (часто малюючи слеш через нього, але деякі символи вище є запереченням інших).

Так як щодо виразів за участю змінних і ці відносини символи? Наприклад, що$x < y$ насправді означає? Гаразд, я знаю, що ви знаєте, що$x < y$ означає, але, філософськи, символ відношення, що включає змінні, робить те, що ви, можливо, тільки смутно усвідомлювали в минулому - це введення припущення. Слідкуйте за символами відносин за участю змінних! Всякий раз, коли ви стикаєтеся з ними, це означає, що правила гри тонко змінюються - аж до того моменту$x < y$, коли ви бачите,$x$ і$y$ це лише два випадкові числа, але після цього ми повинні припустити, що$x$ це менше з двох.

Відносини, які ми обговорювали до цих пір, є двійковими відносинами, тобто вони йдуть між двома числами. Існують і відносини вищого порядку. Наприклад, відоме потрійне відношення (зв'язок між трьома речами) - це поняття «між собою». Якщо$A$,$B$ і$C$ три точки, які всі лежать на одному рядку, ми пишемо$A \star B \star C$ якщо$B$ падає десь на відрізку лінії$\overline{AC}$. Таким чином, символ$A \star B \star C$ є скороченим для речення «Точка$B$ лежить десь між точками$A$ і$C$ на лінії, визначеної ними».

Існує трохи дурна тенденція в ці дні визначати функції як особливий клас відносин. (Це трохи нерозумно не тому, що це неправильно - дійсно, функції є особливим типом відносин - а тому, що це найменш інтуїтивний підхід можливий, і це, як правило, відмовляється від учнів середньої або середньої школи.) Коли застосовується такий підхід, ми спочатку визначаємо відношення як будь-який набір впорядкованих пар, а потім вказуємо обмеження на впорядковані пари, які можуть бути у відношенні, якщо це буде функція. Зрозуміло, що ці автори підручника з алгебри говорять про бінарні відносини, потрійне відношення насправді буде набором впорядкованих трійок, а відносини вищого порядку можуть включати впорядковані$4$$5$ -кортежі або -кортежі тощо Пара невеликих прикладів повинні допомогти прояснити це зв'язок між символом відношення та деяким набором кортежів.

Розглянемо числа від$1$ до$5$ і менше, ніж відношення,$<$. Як набір впорядкованих пар, це відношення є множиною

$\{(1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5),(3, 4),(3, 5),(4, 5)\}.$

Пари, які знаходяться в співвідношенні, такі, що перша менше другої.

Приклад, що включає потрійне відношення «між», можна мати з наступної діаграми.

$clipboard_e7ea374bdcfe892a0087627ea0d076f7e.png$

Співвідношення між точками на цій діаграмі складається з наступних трійок.

$\{(A, B, C),(A, G, D),(A, F, E),(B, G, E),(C, B, A),(C, G, F),(C, D, E), (D, G, A),(E, D, C),(E, G, B),(E, F, A),(F, G, C)\}$.

Практика

Коли мислення про функцію як особливий тип відношення, пари мають форму$(x, f(x))$. Тобто вони складаються з входу і відповідного виходу. Яке обмеження повинно бути розміщено на парах у відношенні, якщо це буде функція? (Підказка: подумайте про так званий тест вертикальної лінії.)

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Розглянемо цифри від$1$ до$10$. Дайте набір пар цих чисел, який відповідає відношенню подільності.

Вправа$\PageIndex{2}$

Домен функції (або двійкового відношення) - це набір чисел, що з'являються в першій координаті. Діапазон функції (або двійкового відношення) - це набір чисел, що з'являються у другій координаті.

Розглянемо безліч$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ і функцію$f(x) = x^2 (\text{ mod } 7)$. Висловіть цю функцію як відношення, явно виписуючи набір впорядкованих пар, які вона містить. Який діапазон цієї функції?

Вправа$\PageIndex{3}$

Яке відношення на числах від$1$ до$10$ представляє наступний набір впорядкованих пар?

$\{(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5),(1, 6),(1, 7),(1, 8),(1, 9),(1, 10),$

$(2, 2),(2, 3),(2, 4),(2, 5),(2, 6),(2, 7),(2, 8),(2, 9),(2, 10),$

$(3, 3),(3, 4),(3, 5),(3, 6),(3, 7),(3, 8),(3, 9),(3, 10),$

$(4, 4),(4, 5),(4, 6),(4, 7),(4, 8),(4, 9),(4, 10),$

$(5, 5),(5, 6),(5, 7),(5, 8),(5, 9),(5, 10),$

$(6, 6),(6, 7),(6, 8),(6, 9),(6, 10),$

$(7, 7),(7, 8),(7, 9),(7, 10),$

$(8, 8),(8, 9),(8, 10),$

$(9, 9),(9, 10),$

$(10, 10)\}$

Вправа$\PageIndex{4}$

Намалюйте п'ятикутну зірку, позначте всі$10$ точки. Існують$40$ трійки цих міток, які задовольняють відношення між собою. Перерахуйте їх.

Вправа$\PageIndex{5}$

Намалюйте графік співвідношення

$\{(x, y) x, y ∈ R \text{ and } y > x^2\}$.

Вправа$\PageIndex{6}$

$f(x)$Функція, як кажуть, обертається, якщо є інша функція$g(x)$ така, що$g(f(x)) = x$ для всіх значень$x$. (Зазвичай, обернена функція,$g(x)$ буде позначена$f^{−1} (x)$.) Припустимо, функція представлена вам як відношення — тобто вам просто дано набір пар. Як можна розрізнити, чи функція, представлена цим списком пар введення/виведення, є оборотною? Як можна зробити зворотне (як набір впорядкованих пар)?

Вправа$\PageIndex{7}$

Існує відношення, відоме як «має колір», яке йде від набору.

$F = \{\text{orange}, \text{ cherry} , \text{ pumpkin} , \text{ banana}\}$

до набору

$C = \{\text{orange}, \text{ red}, \text{ green}, \text{ yellow}\}.$

Які пари в «має колір»?

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)