1.6: Раціональні та ірраціональні числа
- Page ID
- 64941
Коли ми вперше обговорювали раціональні числа в розділі 1.1, ми дали наступне визначення, що не зовсім правильно.
\[\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a ∈ \mathbb{Z} \text{ and } b ∈ \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0\}\]
Зараз ми в змозі виправити проблему.
Так в чому ж все-таки була проблема? По суті, це: існує багато виразів, утворених одним цілим числом, написаним над іншим (з інтервенційною смугою дробу), які представляють точно таке ж раціональне число. Наприклад,\(\dfrac{3}{6}\) і\(\dfrac{14}{28}\) є різними речами, які з'являються в наборі, визначеному вище, але ми всі знаємо, що вони обидва представляють раціональне число\(\dfrac{1}{2}\). Щоб усунути цю проблему з нашим визначенням раціональності, нам потрібно додати додаткову умову, яка гарантує, що такі дублікати не виникають. Виявляється, що ми хочемо, щоб чисельники та знаменники наших дробів не мали спільних факторів. Інший спосіб сказати це - те, що\(a\) і\(b\) з визначення вище слід вибирати так, що\(\text{gcd}(a, b) = 1\). Пара чисел,\(1\) які називаються\(\text{gcd}\) відносно простими.
Ми готові, нарешті, дати гарне, точне визначення набору раціональних чисел. (Хоча слід зазначити, що ми не зовсім закінчили возитися; ще краще визначення буде дано в розділі 6.3.)
\[\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a,b ∈ \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0 \text{ and } \text{gcd}(a,b) = 1\}\]
Як ми мали в минулому, давайте розберемо це з англійським перекладом паралельно.
| \(\mathbb{Q}\) | \(=\) | \(\{\) |
| Раціональні числа | визначені бути | набір всіх |
| \(\dfrac{a}{b}\) | \(|\) | \(a,b \in \mathbb{Z}\) | \(\text{and}\) |
| фракції форми\(a\) над\(b\) | такий, що | \(a\)і\(b\) є цілими числами | і |
| \(b \neq 0\) | \(\text{and}\) | \(\text{gcd}(a, b) = 1\) | \(\}\) |
| \(b\)є ненульовим | і | \(a\)і\(b\) є відносно простими. |
Нарешті, ми готові зіткнутися з фундаментальною проблемою, яка була висвітлена в розділі 1.1. Ми визначили два набори тоді,\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{R}\), приховане припущення, що один робить, стверджуючи, що є два чогось, що дві речі відрізняються. Це дійсно так? Реали були визначені (нечітко) як числа, які вимірюють величини фізичних величин, тому інший спосіб констатувати питання полягає в наступному: Чи існують фізичні величини (наприклад, довжини), які не є раціональними числами?
Відповідь полягає в тому, що так є числа, які вимірюють довжини, які не є раціональними числами. Завдяки нашому новому вдосконаленому визначенню того, що мається на увазі під раціональним числом, ми готові довести, що існує хоча б одна довжина, яку неможливо виразити у вигляді дробу. Використовуючи теорему Піфагора, легко побачити, що довжина діагоналі одиничного квадрата дорівнює\(\sqrt{2}\). Доказ того, що не\(\sqrt{2}\) є раціональним, зазвичай приписують послідовникам Піфагора (але, ймовірно, не самому Піфагора). У будь-якому випадку це результат великої старовини. Доказ має тип, відомий як скорочення ad absurdum 1. Ми показуємо, що дане припущення логічно призводить до абсурду, твердження, яке не може бути правдою, тоді ми знаємо, що первісне припущення повинно бути помилковим. Цей метод доказування трохи слизький; спочатку потрібно припустити повну протилежність тому, що сподівається довести, а потім сперечатися (навмисно) до смішного висновку.
Число не\(\sqrt{2}\) знаходиться в наборі\(\mathbb{Q}\) раціональних чисел.
Перш ніж ми можемо фактично дати доказ, ми повинні довести результат посередника - але ми не будемо, ми збережемо цей доказ для студента, щоб зробити пізніше (хех, хех, хех.). Такі проміжні результати, речі, які не заслуговують на те, щоб називатися самі теореми, але які не зовсім очевидні, відомі як леми. Часто трапляється так, що в спробі довести твердження ми опиняємося в якомусь невеликому факті. Можливо, це навіть здається правдою, але це не зрозуміло. За таких обставин хороша форма диктує, що ми спочатку констатуємо і доводимо лему, а потім перейдемо до нашої теореми та її доказу. Отже, тут, без його доказів є лема, яка нам знадобиться.
Якщо квадрат цілого числа парний, то початкове ціле число парне.
Враховуючи, що ретельність вимагає, щоб ми заповнили цю прогалину, фактично доводячи лему пізніше, тепер ми можемо продовжити доказ нашої теореми\(1.6.1\).
Доказ:
Припустимо, навпаки, що\(\sqrt{2}\) є раціональним числом. Тоді за визначенням множини раціональних чисел ми знаємо, що існують цілі числа\(a\) і\(b\) мають такі властивості:\(\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}\) і\(\text{gcd}(a, b) = 1\).
Розглянемо вираз\(\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}\). Квадратуючи обидві сторони цього отримуємо
\[2 = \dfrac{a^2}{b^2}.\]
Цей останній вираз можна переставити, щоб дати
\[a^2 = 2b^2\]
Безпосереднім наслідком цього останнього рівняння\(a^2\) є парне число. Використовуючи лему вище ми тепер знаємо, що\(a\) є парне ціле число і, отже, що є ціле число\(m\) таке, що\(a = 2m\). Підстановка цього останнього виразу в попереднє рівняння дає
\[(2m)^2 = 2b^2,\]
таким чином,
\[4m^2 = 2b^2,\]
тому
\[2m^2 = b^2.\]
Це говорить нам про те,\(b^2\) що рівно, а отже (по лемі),\(b\) парне. Нарешті, ми дійшли до бажаного абсурду, тому що якщо\(a\) і обидва\(b\) є навіть тоді\(\text{gcd}(a, b) ≥ 2\), але, з іншого боку, одне з наших початкових припущень полягає в тому, що\(\text{gcd}(a, b) = 1\).
\(\text{Q.E.D.}\)
Вправи:
Раціональне наближення - це область математики, яка отримала багато вивчення. Основна ідея полягає в тому, щоб знайти раціональні числа, які є дуже хорошими наближеннями до заданих ірраціональних. Наприклад,\(\dfrac{22}{7}\) це добре відоме раціональне наближення до\(π\). Знайти хороші раціональні наближення до\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{3}\),\(\sqrt{5}\) і\(e\).
Теорія базових\(n\) позначень, яку ми розглянули в підрозділі 1.4.2, може бути розширена на справу з дійсними і раціональними числами шляхом введення десяткової крапки (яка, ймовірно, повинна бути переіменована відповідно до основи) і додаючи цифри праворуч від неї. Наприклад\(1.1011\), це двійкові позначення для\(1 · 2^0 + 1 · 2^{−1} + 0 · 2^{−2} + 1 · 2^{−3} + 1 · 2^{−4}\) або\(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = 1 \dfrac{11}{16}\).
Розглянемо двійкове число\(.1010010001000010000010000001 . . .\), це число раціональне чи ірраціональне? Чому?
Якщо число\(x\) парне, легко показати, що його квадрат\(x^2\) парний. Лема, яка вийшла недоведеною в цьому розділі, просить нас почати з квадрата\((x^2)\), який є парним, і вивести, що\((x)\) неквадратне число парне. Виконайте деякі числові експерименти, щоб перевірити, чи є це твердження розумним. Чи можете ви дати аргумент, який би це довів?
Доказ, який\(\sqrt{2}\) є ірраціональним, можна узагальнити, щоб показати, що\(\sqrt{p}\) є ірраціональним для кожного простого числа\(p\). Яке твердження було б еквівалентно лемі про паритет\(x\) і\(x^2\) в такому узагальненні?
Напишіть доказ, який\(\sqrt{3}\) є нераціональним.