1.3: Більш страшні позначення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64952

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Часто буває так, що ми хочемо довести твердження, які стверджують, що щось вірно для кожного елемента множини. Наприклад, «Кожне число має добавку, обернену». Слід зазначити, що істинність цього твердження відносна, вона залежить від того, що мається на увазі під «числом». Якщо ми говоримо про натуральні числа, це явно помилково:\(3\) адитивний зворотний не знаходиться в розглянутій множині. Якщо ми говоримо про цілі числа або будь-який з інших множин ми розглянули, твердження є істинним. Твердження, яке починається з англійських слів «every» або «all» називається універсально кількісно. Стверджується, що твердження стосується всього в якомусь Всесвіті. Ймовірно, зрозуміло, що коли ми робимо заяви, стверджуючи, що річ має зворотну добавку, ми не обговорюємо людей, тварин чи предметів одягу - ми говоримо про предмети, які розумно складати разом: числа того чи іншого роду. Коли будьте обережні — і ми завжди повинні прагнути бути обережними! — важливо чітко висловити, з якого Всесвіту (відомого як Всесвіт дискурсу) походять об'єкти, про які ми обговорюємо. Крім того, нам потрібно розрізняти твердження, які стверджують, що все у всесвіті дискурсу має якусь властивість, і твердження, які говорять щось про декілька (або навіть лише один) з елементів нашого Всесвіту. Твердження останнього роду називаються екзистенціально кількісними.

Додавання до глосарію або лексикону перекладу, який ми розпочали раніше, є символи, які описують обидва ці типи кількісної оцінки. Символ\(∀\), перевернутий ногами\(\text{A}\), використовується для універсальної кількісної оцінки, і зазвичай перекладається як «для всіх». Символ\(∃\), а назад\(\text{E}\), використовується для екзистенціальної кількісної оцінки, він перекладається як «є» або «існує». Давайте подивимося на математично точне речення, яке відображає значення того, з якого ми почали цей розділ.

\[∀x ∈ Z, \; ∃y ∈ Z, \; x + y = 0.\]

Розбираючи це, як ми робили раніше з англійським перекладом паралельно, отримуємо:

\(∀x\)	\(∈ Z\)	\(∃y\)
За кожне число x	у множині цілих чисел	є число y

\(∈ Z\)	\( x + y = 0\)
в цілих числах	маючи властивість, що їх сума дорівнює 0.

Практика

Який тип кількісної оцінки мають наступні твердження?

У кожної собаки свій день.
Деякі дні просто не варто вставати з ліжка.
Цієї суботи в чиємусь гуртожитку проходить вечірка.
Є хтось для всіх.

Кілька прикладів у вправі вище насправді мають два квантори в них. Коли в реченні є два або більше (різних) кванторів, ви повинні бути обережними щодо дотримання їх порядку прямо. Наступні два речення містять всі ті ж елементи, за винятком того, що слова, які вказують на кількісну оцінку, були змінені. Чи мають вони однакове значення?

Для кожного студента середньої школи Джеймса Вудса є якийсь елемент їдальні їжі, яку вони люблять їсти.

Існує якийсь елемент їдальні їжі, що кожен студент середньої школи Джеймса Вудса любить їсти.

Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Скільки кванторів (і які види) є в наступному реченні? «У кожного є якийсь друг, який думає, що вони знають все про спорт».

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Речення «Кожен металевий елемент є твердим тілом при кімнатній температурі» є помилковим. Чому?

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Речення «Для кожної пари (різних) дійсних чисел є інше дійсне число між ними.» вірно. Чому?

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Напишіть власні речення, що містять чотири квантори. Одне речення, в якому з'являються кількісні показники,\((∀∃∀∃)\) та інше, в якому вони фігурують\((∃∀∃∀)\).