1.1: Основні набори
- Page ID
- 64940
Було сказано 1, що «Бог винайшов цілі числа, все інше - це робота Людини». Це неправильний переклад. Термін «цілі числа» насправді має бути «цілими числами». Поняття нульових і негативних значень здаються (багатьом людям) неприродними конструкціями. Дійсно, інакше розумні люди досі відомі проти поняття негативної кількості — «Як можна мати негативні три яблука?» Поняття нуля також дещо глибоке.
Ймовірно, більшість людей погодяться, що натуральні числа є природною конструкцією - це числа, які ми використовуємо для підрахунку речей. Традиційно позначаються натуральні числа\(\mathbb{N}\).
На даний момент часу, здається, немає загальної згоди щодо статусу нуля\(0\) як натурального числа. Чи є колекції, які ми могли б порахувати, які не мають членів? Ну так - я б запросив вас розглянути колекцію золотих злитків, які я зберігаю в своєму підвалі...
Традиційний погляд, здається, такий
\[\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots \}\]
тобто, що природні не включають\(0\). Моїм особистим уподобанням було б зробити інший вибір (тобто включити\(0\) в натуральні числа), але на даний момент давайте будемо традиціоналістами.
Порадьте, що це вибір. Ми приймаємо конвенцію. Якщо в якомусь іншому курсі або інших математичних налаштуваннях ви виявите, що інша конвенція є кращою, ну, це добре, щоб дізнатися гнучкість...
Мабуть, найкращий спосіб сказати, що таке набір, - це робити, як ми маємо вище. Перерахуйте всі елементи. Звичайно, якщо в наборі є нескінченна кількість речей, це складне завдання — тому ми задовольняємо себе, перерахувавши достатню кількість елементів, щоб закономірність стала зрозумілою.
Приймаючи\(\mathbb{N}\) як належне, що мається на увазі під «всім іншим», за яке відповідає людство? Основні набори різних типів «чисел», які повинен знати кожен студент математики:\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Q}\),\(\mathbb{R}\) і\(\mathbb{C}\). Відповідно: натуральні, цілі числа, раціональні, реальні та комплексні числа. Використання\(\mathbb{N}\),\(\mathbb{R}\) і,\(\mathbb{C}\) ймовірно, зрозуміло для англійської мови. Цілі числа позначаються\(\mathbb{Z}\) через німецького слова zählen, що означає «рахувати». Раціональні числа, ймовірно, позначаються з використанням\(\mathbb{Q}\), для «коефіцієнтів». Окрім етимології, чи можна нам надати точні описи цих решти наборів?
Цілі числа (\(\mathbb{Z}\)) - це просто набір натуральних чисел разом з негативами натуральних і нульових. Ми можемо використовувати подвійно нескінченний список для позначення цього набору.
\[\mathbb{Z} = \{ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....\}\]
Щоб точно описати раціональні числа, нам доведеться дочекатися розділу 1.6. Тим часом ми можемо використовувати інтуїтивно привабливе, але дещо неточне визначення для набору раціональних. Раціональне число - це дріб, побудований з цілих чисел. Це також дає нам можливість навести приклад використання основного іншого способу опису вмісту множини — так званої нотації set-builder.
\[\mathbb{Q} = \{ \dfrac{a}{b} | a \in \mathbb{Z} \text{ and } b \in \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0 \} \]
Це вдалий час, щоб почати будувати «глосарій» — лексикон перекладу між символами математики та простою мовою. У рядку вище ми визначаємо набір\(\mathbb{Q}\) раціональних чисел, тому перші символи, які з'являються - «»\(\mathbb{Q} =\). Цікаво відзначити, що знак рівності має два тонко різних значення: присвоєння і перевірка рівності, в математичному реченні вище ми робимо присвоєння - тобто ми оголошуємо, що відтепер множина\(\mathbb{Q}\) буде множиною, визначеною на залишку рядка. 2 Давайте розсікаємо решту цієї лінії зараз. Є тільки\(4\) символи, значення яких може викликати сумніви,\(\{\),\(\}\),\(∈\) і\(|\). Фігурні дужки (також французькі дужки) майже універсально зарезервовані для позначення наборів, все, що з'являється між фігурними дужками, призначене для визначення набору. У перекладі з «математики» на англійську замініть початкову дужку фразою «набір всіх». Наступним таємним символом, який з'явиться, є вертикальна смуга. Як ми побачимо в розділі 1.4.3 цей символ має (принаймні) два значення - це завжди буде зрозуміло з контексту, який мається на увазі. У реченні, яке ми аналізуємо, воно розшифровується як слова «такий, що». Останній біт аркана, який потрібно розшифрувати, - це символ\(∈\), він розшифровується як англійське слово «in» або, більш формально, «є елементом».
Давайте розберемо все математичне речення, яке ми обговорювали, паралельно з англійським перекладом.
| \(\mathbb{Q}\) | \(=\) | \(\{\) | \(\dfrac{a}{b}\) |
| Раціональні числа | визначені бути | набір всіх | фракції форми\(a\) над\(b\) |
| \(|\) | \(a \in \mathbb{Z}\) | \(\text{and}\) | \(b \in \mathbb{Z}\) |
| такий, що | \(a\)є елементом цілих чисел | і | \(b\)є елементом цілих чисел |
| \(\text{and}\) | \(b \neq 0 \) | \(\}\) |
| і | \(b\)є ненульовим | (остаточна фігурна дужка мовчить) |
Цілком очевидно, що математичне позначення являє собою величезне поліпшення щодо стислості.
Як вже говорилося раніше, це визначення трохи недосконале. Нам доведеться почекати «до пізніше, щоб отримати дійсно точне визначення раціональності, але ми пропонуємо читачеві обміркувати, що не так з цим. Підказка: подумайте над питанням, чи є дріб у найнижчих показниках.
Давайте приступимо до нашого звіринця наборів чисел. Наступний набір, який ми розглянемо\(\mathbb{R}\), це набір дійсних чисел. Для того, хто завершив обчислення, реали, мабуть, найбільш очевидне і природне поняття про те, що мається на увазі під «числом». Може бути дивним дізнатися, що фактичне визначення того, що мається на увазі під дійсним числом, вкрай складно. Насправді, перша розумна формулювання точного визначення реалів виникла\(1858\), більш ніж через\(180\) роки після розвитку Обчислення 3. Точне визначення множини R дійсних чисел виходить за рамки цієї книги, на даний момент розглянемо наступне інтуїтивне опис. Реальне число - це число, яке вимірює певну фізичну величину. Наприклад, якщо коло має діаметр,\(1\) то його окружність є\(π\), таким чином,\(π\) є дійсним числом. Точки\((0, 0)\) і\((1, 1)\) в декартовій площині мають відстань\(\sqrt{(0 − 1)^2 + (0 − 1)^2} = \sqrt{2}\), таким чином,\(\sqrt{2}\) є дійсним числом. Будь-яке раціональне число явно є дійсним числом — нахил є фізичною величиною, а лінія від\((0, 0)\) до\((b, a)\) має нахил\(\dfrac{a}{b}\). У Стародавній Греції Піфагор, якого іноді описували як першого чистого математика, вважав, що кожна реальна величина насправді раціональна, віра, яку ми зараз знаємо, є помилковою. Цифри\(π\) і\(\sqrt{2}\) згадані вище не є раціональними числами. На даний момент корисно згадати практичний метод розрізнення раціональних чисел і дійсних величин, які не є раціональними — розглянути їх десяткові розширення. Якщо читач незнайомий з результатом, на який ми натякаємо, закликаємо вас поекспериментувати. Використовуйте калькулятор або (ще краще) пакет комп'ютерної алгебри, щоб знайти десяткові розширення різних величин. Спробуйте\(π\)\(\sqrt{2}\),\(\dfrac{1}{7}\),\(\dfrac{2}{5}\),\(\dfrac{16}{17}\),,\(\dfrac{1}{2}\) і кілька інших кількостей на ваш власний вибір. З огляду на, що ми вже говорили, що перші два з них нераціональні, спробуйте визначити закономірність. Що таке десяткові розширення, які відрізняють раціональні величини від нераціональних реалів?
Враховуючи, що ми не можемо дати точного визначення дійсного числа на даний момент, можливо, дивно, що ми можемо визначити множину\(\mathbb{C}\) комплексних чисел з точністю (по модулю той факт, що ми визначаємо їх з точки зору\(\mathbb{R}\)).
\[\mathbb{C} = \{a + bi | a ∈ R \text{ and } b ∈ R \text{ and } i^2 = −1\}\]
Переклавши цей біт математики на англійську мову, отримуємо:
| \(\mathbb{C}\) | \(=\) | \(\{\) | \(a+bi\) |
| Комплексні числа | визначені бути | набір всіх | вирази форми\(a\) плюс\(b\) раз\(i\) |
| \(|\) | \(a \in \mathbb{R}\) | \(\text{and}\) | \(b \in \mathbb{R}\) |
| такий, що | \(a\)є елементом реалів | і | \(b\)є елементом реалів |
| \(\text{and}\) | \(i^2 = -1\) | \(\}\) |
| і | \(i\)має властивість, що його квадрат негативний. |
Іноді ми позначаємо комплексне число, використовуючи одну змінну (за умовністю, або латинські літери латинського алфавіту, або грецькі літери. Припустимо, що ми визначили\(z = a + bi\). Одинарна буква\(z\) позначає все комплексне число. Ми можемо витягти окремі складові цього комплексного числа, говорячи про дійсну та уявну частини\(z\). Зокрема,\(\text{Re}(z) = a\) називається реальною частиною\(z\), і\(\text{Im}(z) = b\) називається уявною частиною\(z\).
Комплексні числа додаються і множаться так, ніби вони були бічленами (поліноми лише з двома членами), де\(i\) розглядається так, ніби це змінна - за винятком того, що ми використовуємо алгебраїчну властивість, яка\(i\) квадратна\(-1\). Наприклад, щоб додати комплексні числа,\(1 + 2i\) і\(3 − 6i\) ми просто думаємо про біноміали\(1 + 2x\) і\(3 − 6x\). Звичайно, ми зазвичай пишемо біноміальне з терміном, що включає змінну, що йде першим, але це просто угода. Сума цих біноміалів буде\(4−4x\) і тому сума заданих комплексних чисел дорівнює\(4 − 4i\). Така операція досить типова і називається компонентним додаванням. Щоб помножити комплексні числа, ми повинні згадати, як ми множимо біноміали. Це добре відоме правило FOIL (перше, зовнішнє, внутрішнє, останнє). Наприклад, добуток\(3 − 2x\) і\(4 + 3x\) є\((3 · 4) + (3 · 3x) + (−2x · 4)+ (−2x · 3x)\) цей вираз спрощує\(12+x−6x^2\). Аналогічний розрахунок з комплексними числами виглядає точно так само, поки не дійдемо до самого останнього етапу, де в спрощенні використовуємо те, що\(i^2 = −1\).
\[\begin{equation} \begin{array} ((3 − 2i) · (4 + 3i) &= (3 · 4) + (3 · 3i) + (−2i · 4) + (−2i · 3i) \\ &=12 + 9i − 8i − 6i^2 \\ &= 12 + i + 6 \\ &= 18 + i \end{array} \end{equation} \]
Реальні числа мають природне впорядкування, а отже, і інші множини, які містяться в\(\mathbb{R}\). Комплексні числа насправді не можна поставити в чітко визначеному порядку - який повинен бути більшим,\(1\) або\(i\)? Але у нас є спосіб, принаймні частково, виконати це завдання. Модуль комплексного числа - це дійсне число, яке дає відстань від початку\((0 + 0i)\) комплексної площини, до заданого комплексного числа. Ми вказуємо модуль за допомогою брусків абсолютних значень, і слід зазначити, що якщо комплексне число буває чисто дійсним, модуль і звичайне поняття абсолютної величини збігаються. Якщо\(z = a+bi\) є комплексним числом, то його модуль\(|| a+bi ||\),, задається формулою\(\sqrt{a^2 + b^2}\).
Кілька наборів чисел, про які ми обговорювали, можна розділити на основі так званої трихотомічної властивості: кожне дійсне число є позитивним, негативним або нульовим. Зокрема\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Q}\) і\(\mathbb{R}\) може мати модифікатори застрягли на так що ми можемо обговорити (наприклад) негативні дійсні числа, або позитивні раціональні числа або цілі числа, які не є від'ємними. Для цього на встановлених символах ставимо надписи, або a,\(+\) або слово «noneg».\(−\)
Так
\[\mathbb{Z}^+ = \{ x \in \mathbb{Z} | x > 0 \}\]
і
\[\mathbb{Z}^- = \{ x \in \mathbb{Z} | x < 0 \}\]
і
\[\mathbb{Z}^{\text{noneg}} = \{ x \in \mathbb{Z} | x \geq 0 \}\]
Імовірно, ми могли б також використовувати «nonpos» як верхній індекс для позначення непозитивних цілих чисел, але це ніколи не здається на практиці. Крім того, ви повинні зауважити, що\(\mathbb{Z}^+\) це дійсно те ж саме\(\mathbb{N}\), що, але\(\mathbb{Z}^{\text{noneg}}\) це відрізняється, тому що він містить\(0\).
Ми були б відхилені в закритті цього розділу, не обговорюючи, як набори чисел, про які ми обговорювали, поєднуються. Простіше кажучи, кожен міститься в наступному. N міститься в\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{Z}\) міститься в\(\mathbb{Q}\),\(\mathbb{Q}\) міститься в\(\mathbb{R}\), і\(\mathbb{R}\) міститься в\(\mathbb{C}\). Геометрично комплексні числа по суті є двовимірною площиною. Реальні числа сидять всередині цієї площини так само, як\(x\) вісь -знаходиться всередині звичайної декартової площини - в цьому контексті ви можете почути, як люди говорять про «реальну лінію в комплексній площині». Ймовірно, зрозуміло, як\(\mathbb{N}\) лежить всередині\(\mathbb{Z}\), і кожне ціле, безумовно, є дійсним числом. Проміжна\(\mathbb{Q}\) множина (яка містить цілі числа, і міститься в реалах) має, мабуть, найцікавіший зв'язок з множиною, яка містить його. Подумайте про реальну лінію як про суцільну, як темний олівцевий штрих. Раціональні, як пісок, який був посипаний дуже рівномірно над цією лінією. Кожна точка на лінії має шматочки піску поблизу, але не (обов'язково) поверх неї.
Вправи
Кожна з величин, що індексує рядки наступної таблиці, знаходиться в одному або декількох наборах, які індексують стовпці. Поставте галочку в записі таблиці, якщо кількість є в наборі.
| \(\mathbb{N}\) | \(\mathbb{Z}\) | \(\mathbb{Q}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{C}\) | ||
| \(17\) | ||||||
| \(\pi\) | ||||||
| \(\dfrac{22}{7}\) | ||||||
| \(-6\) | ||||||
| \(e^0\) | ||||||
| \(1+i\) | ||||||
| \(\sqrt{3}\) | ||||||
| \(i^2\) | ||||||
Запишіть набір\(\mathbb{Z}\) цілих чисел, використовуючи однократний нескінченний список.
Визначте кожен як раціональний або ірраціональний.
- \(5021.2121212121 . . .\)
- \(0.2340000000 . . .\)
- \(12.31331133311133331111 . . .\)
- \(π\)
- \(2.987654321987654321987654321 . . .\)
Послідовність «побачити і сказати» створюється спочатку написанням a\(1\), а потім ітерацією наступної процедури: подивіться на попередній запис і скажіть, скільки записів є кожного цілого числа і запишіть те, що ви щойно сказали. Першими декількома термінами послідовності «побачити і сказати» є\(1\)\(11\),\(21\),\(1112\),\(3112\),\(211213\),\(312213\),\(212223\),\(. . .\). Прокоментуйте раціональність (або ірраціональність) числа, десяткові цифри якого виходять конкатенацією послідовності «дивись і скажи».
\(0.1112111123112211213...\)
Дайте опис множини раціональних чисел, десяткові розширення яких закінчуються. (Крім того, ви можете подумати про їх десяткові розширення, що закінчуються нескінченно довгим рядком нулів.)
Знайдіть перші\(20\) десяткові розряди\(π\)\(\dfrac{3}{7}\),\(\sqrt{2}\),\(\dfrac{2}{5}\),\(\dfrac{16}{17}\),\(\sqrt{3}\),\(\dfrac{1}{2}\) і\(\dfrac{42}{100}\). Класифікуйте кожну з десяткових розширень цих величин як: закінчення, що має повторюваний візерунок або не показує помітного шаблону.
Розглянемо процес довгого поділу. Чи дає цей алгоритм якесь уявлення про те, чому раціональні числа мають кінцеві або повторювані десяткові розширення? Поясніть.
Наведіть аргумент, чому добуток двох раціональних чисел знову є раціональним.
Виконайте наступні обчислення з комплексними числами
- \((4 + 3i) − (3 + 2i)\)
- \((1 + i) + (1 − i)\)
- \((1 + i) · (1 − i)\)
- \((2 − 3i) · (3 − 2i)\)
Сполучений складного числа позначається надіндексной зіркою, і утворюється шляхом заперечення уявної частини. Таким чином, якщо\(z = 3 + 4i\) тоді сполучений з\(z\) є\(z^∗ = 3 − 4i\). Наведіть аргумент, чому добуток комплексного числа і його сполучений є дійсною величиною. (Тобто уявна частина обов'язково\(0\), незалежно від того, для якого комплексного числа використовується\(z\).)\(z · z^∗\)