1: Вступ та позначення
- Page ID
- 64909
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Мудрість - це якість, яка утримує вас від потрапляння в ситуації, коли вам це потрібно.
— Дуг Ларсон
- 1.1: Основні набори
- Було сказано, що «Бог винайшов цілі числа, все інше - робота людини». Це неправильний переклад. Термін «цілі числа» насправді має бути «цілими числами». Поняття нульових і негативних значень здаються (багатьом людям) неприродними конструкціями. Дійсно, інакше розумні люди досі відомі проти поняття негативної кількості — «Як можна мати негативні три яблука?» Поняття нуля також дещо глибоке.
- 1.2: Визначення - прості числа
- Можливо, ви помітили, що в розділі 1.1 дуже багато уваги було зроблено на те, чи були у нас хороші, точні визначення речей. Дійсно, не раз вибачалися за те, що дали неточні або інтуїтивно зрозумілі визначення. Це тому, що в математиці визначення - це наша життєва кров. Більше, ніж у будь-яких інших людських починаннях, математики прагнуть до точності. Ця точність пов'язана з вартістю - математика може мати справу лише з найпростішими явищами.
- 1.3: Більш страшні позначення
- Часто буває так, що ми хочемо довести твердження, які стверджують, що щось вірно для кожного елемента множини. Наприклад, «Кожне число має добавку, обернену». Твердження, яке починається з англійських слів «every» або «all» називається універсально кількісно. Стверджується, що твердження стосується всього в якомусь Всесвіті. Твердження, які говорять щось про декілька (або навіть лише один) з елементів нашого Всесвіту, називаються екзистенціально кількісними.
- 1.4: Визначення елементарної теорії чисел
- У цьому розділі ми обговоримо деякі основні визначення термінів, пов'язаних з елементарною теорією чисел, включаючи парні та непарні, десяткові та базові позначення, подільність, підлогу та стелі, div та mod та біноміальні коефіцієнти.
- 1.5: Деякі алгоритми елементарної теорії чисел
- Алгоритм - це просто набір чітких інструкцій для досягнення якоїсь задачі. Перський математик і астроном Аль-Хорізмі1 був вченим в Будинку мудрості в Багдаді, який жив у 8-9 століттях н.е. його пам'ятають за його алгебри трактат Хісаб аль-джабр w'al-muqabala, з якого ми отримуємо саме слово «алгебра», і текст на індуїстсько-арабської нумерації схема.
- 1.6: Раціональні та ірраціональні числа
- У цьому розділі ми «підкоригуємо» визначення раціональних чисел, наведене в розділі 1.1. Проблема полягає в тому, що існує багато виразів, утворених одним цілим числом, написаним над іншим (тобто дробовими брусками), які представляють точно таке ж раціональне число (наприклад, 3/6 і 14/28 вважаються різними за заданим визначенням, незважаючи на те, що обидва представляють 1/2). Щоб усунути цю проблему з нашим визначенням раціональності, нам потрібно додати додаткову умову, яка гарантує, що такі дублікати не виникають.
- 1.7: Відносини
- Один з основних способів, яким математичне письмо відрізняється від звичайного письма, полягає в його неймовірній стислості. Якщо можна довести справді цікавий, новий результат на одній сторінці - вони, ймовірно, здадуть овчину. Як досягається ця велика стислість? Вставляючи окремі символи замість цілого абзацу варто слів! Зокрема, один клас символів має величезну силу - так звані реляційні символи.