7.S: Відносини еквівалентності (резюме)
- Page ID
- 65501
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Важливі визначення
- Відносення від\(A\) до\(B\), сторінка 364
- Відносини на\(A\), сторінка 364
- Домен відношення, сторінка 364
- Діапазон відношення, сторінка 364
- Обернене відношення, сторінка 373
- Рефлексивний зв'язок, сторінка 375
- Симетричний зв'язок, сторінка 375
- Перехідні відносини, сторінка 375
- Співвідношення еквівалентності, сторінка 378
- Клас еквівалентності, сторінка 391
- Клас конгруентності, сторінка 392
- Розділ комплекту, сторінка 395
- Цілі числа по модулю n, сторінка 402
- Додаток в\(\mathbb{Z}_n\), сторінка 404
- Множення в\(\mathbb{Z}_n\), сторінка 404
Важливі теореми та результати про відносини, відносини еквівалентності та класи еквівалентності
- Теорема 7.6. \(R\)Дозволяти відношення від множини\(A\) до множини\(B\). Потім
1. Домен\(R^{-1}\) - діапазон\(R\). Тобто dom (\(R^{-1}\)) = діапазон (\(R\)).
2. Діапазон\(R^{-1}\) є доменом\(R\). Тобто діапазон (\(R^{-1}\)) = dom (\(R\)).
3. \(R^{-1}\)Зворотне є\(R\). Тобто,\((R^{-1})^{-1} = R\). - Теорема 7.10. Нехай\(n \in \mathbb{N}\) і нехай\(a, b \in \mathbb{Z}\). Тоді\(a \equiv b\) (мод,\(n\) якщо і тільки якщо\(a\) і\(b\) мають однаковий залишок при діленні на\(n\).
- Теорема 7.14. \(A\)Дозволяти бути непорожній набір і нехай\(\sim\) відношення еквівалентності на\(A\).
1. Для кожного\(a \in A\),\(a \in [a]\).
2. Для кожного\(a, b \in A\),\(a \sim b\) якщо і тільки якщо\([a] = [b]\).
3. Для кожного\(a, b \in A\),\([a] = [b]\) або\([a] \cap [b] = \emptyset\). - Наслідок 7.16. Нехай\(n \in \mathbb{N}\). Для кожного\(a \in \mathbb{Z}\), нехай [\(a\)] представляють клас конгруентності по\(a\) модулю\(n\).
1. Для кожного\(a \in \mathbb{Z}\),\(a \in [a]\).
2. Для кожного\(a, b \in \mathbb{Z}\),\(a \equiv b\) (мод\(n\)) якщо і тільки якщо\([a] = [b]\).
3. Для кожного\(a, b \in \mathbb{Z}\),\([a] = [b]\) або\([a] \cap [b] = \emptyset\). - Слідство 7.17. Нехай\(n \in \mathbb{N}\). Для кожного\(a \in \mathbb{Z}\), нехай [\(a\)] представляють клас конгруентності по\(a\) модулю\(n\).
1. \(\mathbb{Z} = [0] \cup [1] \cup [2] \cup \cdot\cdot\cdot \cup [n - 1]\)
2. Для\(j, k \in \{0, 1, 2, ..., n - 1\}\), якщо\(j \ne k\), то\([j] \cap [k] = \emptyset\). - Теорема 7.18. \(\sim\)Дозволяти відношення еквівалентності на непорожній множині\(A\). Тоді\(\mathcal{C}\) колекція всіх класів еквівалентності,\(\sim\) що визначається, є розділом множини\(A\).