2.4: Кількісні показники та заперечення
- Page ID
- 65563
Попередній перегляд діяльності 1 (Вступ до квантифікаторів)
Ми бачили, що одним із способів створення заяви з відкритого речення є заміна певного елемента з універсального набору для кожної змінної у відкритому реченні. Інший спосіб - зробити якусь претензію щодо істинного набору відкритого речення. Це часто робиться за допомогою кількісного показника. Наприклад, якщо універсальний набір є\(\mathbb{R}\), то наступне речення є твердженням.
Для кожного дійсного числа\(x\),\(x^2 > 0\).
Словосполучення «Для кожного дійсного числа x», як кажуть, кількісно оцінює змінну, яка слідує за нею в тому сенсі, що речення стверджує, що щось вірно для всіх дійсних чисел. Таким чином, це речення є твердженням (яке трапляється помилковим).
Словосполучення «для кожного» (або його еквіваленти) називається універсальним квантором. Словосполучення «існує» (або його еквіваленти) називається екзистенціальним квантором. Символ\(\forall\) використовується для позначення універсального квантора, а символ\(\exists\) використовується для позначення екзистенціального квантора.
Використовуючи це позначення, твердження «Для кожного дійсного числа\(x\)\(x^2\) > 0» може бути записано в символічній формі як:\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^2 > 0)\). Нижче наведено приклад твердження, що включає екзистенціальний квантор.
Існує ціле число\(x\) таке, що\(3x - 2 = 0\).
Це може бути написано в символічній формі як
\((\exists x \in \mathbb{Z})(3x - 2 = 0)\).
Це твердження є помилковим, оскільки немає цілих чисел, які є розв'язками лінійного рівняння\(3x - 2 = 0\). Таблиця 2.4 узагальнює факти про два типи квантіфікаторів.
| Заява за участю | Часто має вигляд | Твердження вірно за умови, що |
|---|---|---|
| Універсальний квантор: (\(\forall x, P(x)\)) | «Для кожного»\(x\)\(P(x)\), де\(P(x)\) є присудок. | Кожне значення\(x\) в універсальному наборі робить\(P(x)\) правдою. |
| Екзистенціальний квантор: (\(\exists x, P(x)\)) | «Існує\(x\) таке\(P(x)\), що», де\(P(x)\) є присудок. | Існує принаймні одне значення\(x\) в універсальному наборі, що робить\(P(x)\) правдою. |
Таблиця 2.4: Властивості кількісних показників
По суті, таблиця вказує на те, що універсально кількісне твердження істинно за умови, що істинний набір присудка дорівнює універсальному множині, а екзистенціально кількісне твердження істинно за умови, що істинний набір присудка містить хоча б один елемент.
Кожне з наступних пропозицій - це твердження або відкрите речення. Припустимо, що універсальним набором для кожної змінної в цих реченнях є набір всіх дійсних чисел. Якщо речення є відкритим реченням (присудком), визначте його істинність безліч. Якщо речення є твердженням, визначте, чи є воно істинним чи хибним.
- \((\forall a \in \mathbb{R})(a + 0 = a)\).
- \(3x -5 = 9\).
- \(\sqrt x \in \mathbb{R}\).
- \(sin(2x) = 2(sin x)(cos x)\).
- \((\forall x \in \mathbb{R})(sin(2x) = 2(sin x)(cos x))\).
- \((\exists x \in \mathbb{R})(x^2 + 1 = 0)\).
- \((\forall x \in \mathbb{R})(x^3 \ge x^2)\).
- \(x^2 + 1 =0\).
- Якщо\(x^2 \ge 1\), то\(x \ge 1\).
- \((\forall x \in \mathbb{R})\)(Якщо\(x^2 \ge 1\), то\(x \ge 1\)).
Попередній перегляд діяльності 2 (спроба заперечити кількісні заяви)
- Розглянемо наступне твердження, написане в символічній формі:
(\(\forall x \in \mathbb{Z}\)) (\(x\)кратна 2).
(а) Напишіть це твердження як англійське речення.
(b) Це твердження істинне чи хибне? Чому?
(c) Як би ви написали заперечення цього твердження як англійське речення?
(d) Якщо можливо, напишіть своє заперечення цього твердження з частини (2) символічно (використовуючи квантор). - Розглянемо наступне твердження, написане в символічній формі:
(\(\exists x \in \mathbb{Z}\)) (\(x^3 > 0\)).
(а) Напишіть це твердження як англійське речення.
(b) Це твердження істинне чи хибне? Чому?
(c) Як би ви написали заперечення цього твердження як англійське речення?
(d) Якщо можливо, напишіть своє заперечення цього твердження з частини (2) символічно (використовуючи квантор).
Ми ввели поняття відкритих речень та квантифікаторів у Розділі 2.3
Форми кількісних висловлювань англійською мовою
Існує багато способів написання тверджень за участю квантифікаторів англійською мовою. У деяких випадках квантори не очевидні, і це часто трапляється з умовними твердженнями. Наступні приклади ілюструють ці моменти. Кожен приклад містить кількісне твердження, написане в символічній формі, з подальшим декількома способами написання заяви англійською мовою.
- (\(\forall x \in \mathbb{R}\)) (\(x^2 > 0\)).
\(\bullet\)Для кожного дійсного числа\(x\),\(x^2 > 0\).
\(\bullet\)Квадрат кожного дійсного числа більше 0.
\(\bullet\)Квадрат дійсного числа більше 0.
\(\bullet\)Якщо\(x \in \mathbb{R}\), то\(x^2 > 0\).
У другому - останньому прикладі квантор не вказано явно. Потрібно бути обережним, читаючи це, оскільки це дійсно говорить те саме, що і попередні приклади. Останній приклад ілюструє той факт, що умовні твердження часто містять «прихований» універсальний квантор.
Якщо універсальна множина є\(\mathbb{R}\), то істинний набір відкритого речення\(x^2 > 0\) - це множина всіх ненульових дійсних чисел. Тобто, істинний набір
{\(x \in \mathbb{R} | x \ne 0\)}
Отже, попередні твердження є помилковими. Для умовного твердження приклад використання\(x = 0\) дає справжню гіпотезу і помилковий висновок. Це контрприклад, який показує, що твердження з універсальним квантором є помилковим.
- (\(\exists x \in \mathbb{R}\)) (\(x^2 = 5\)).
\(\bullet\)Існує дійсне число\(x\) таке, що\(x^2 = 5\).
\(\bullet\)\(x^2 = 5\)для деякого реального числа\(x\).
\(\bullet\)Існує дійсне число, квадрат якого дорівнює 5.
Другий приклад зазвичай не використовується, оскільки не вважається хорошою практикою письма починати речення з математичного символу.
Якщо універсальна множина є\(\mathbb{R}\), то істинний набір присудка "\(x^2 = 5\)" дорівнює {\(-sqrt 5\),\(sqrt 5\)}. Так що це все правдиві твердження.
Заперечення кількісних тверджень
У Preview Activity\(\PageIndex{1}\) ми писали заперечення деяких кількісних тверджень. Це дуже важлива математична діяльність. Як ми побачимо в майбутніх розділах, іноді так само важливо вміти описувати, коли якийсь об'єкт не задовольняє певній властивості, як описати, коли об'єкт задовольняє властивість. Наше наступне завдання - навчитися писати заперечення кількісних висловлювань в корисній англійській формі.
Спочатку ми розглянемо заперечення твердження, що включає універсальний квантор. Загальна форма для такого твердження може бути записана як (\(\forall x \in U\)) (\(P(x)\)), де\(P(x)\) є відкритим реченням і\(U\) є універсальним набором для змінної\(x\). Коли ми пишемо
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x)]\),
ми стверджуємо, що твердження\(\forall x \in U) [P(x)]\) є помилковим. Це еквівалентно тому, щоб сказати, що істинний набір відкритого речення не\(P(x)\) є універсальним набором. Тобто існує елемент x у універсальному множині\(U\) такий, що\(P(x)\) є false. Це, в свою чергу, означає, що існує елемент\(x\) в\(U\) такому, що\(\urcorner P(x)\) є істинним, що еквівалентно тому, щоб сказати, що\((\exists x \in U)[\urcorner P(x)]\) це правда. Це пояснює, чому такий результат вірний:
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x)] \equiv (\exists x \in U)[\urcorner P(x)]\)
Аналогічно, коли ми пишемо
\(\urcorner (\exists x \in U) [P(x)]\)
ми стверджуємо, що твердження\((\exists x \in U) [P(x)]\) є помилковим. Це еквівалентно тому, щоб сказати, що істинний набір відкритого речення\(P(x)\) є порожнім набором. Тобто в універсальному наборі немає елемента х\(U\) такого, що\(P(x)\) є істинним. Це, в свою чергу, означає, що для кожного елемента\(x\) в\(U\),\(\urcorner P(x)\) є істинним, і це еквівалентно тому, щоб сказати, що\((\forall x \in U) [\urcorner P(x)]\) це правда. Це пояснює, чому такий результат вірний:
\(\urcorner (\exists x \in U) [P(x)] \equiv (\forall x \in U) [\urcorner P(x)]\)
Підсумовуємо ці результати в наступній теоремі.
Для будь-якого відкритого речення\(P(x)\),
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x)] \equiv (\exists x \in U) [\urcorner P(x)]\), і
\(\urcorner (\exists x \in U) [P(x)] \equiv (\forall x \in U) [\urcorner P(x)]\)
Розглянемо наступне твердження:\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2)\).
Ми можемо написати це твердження як англійське речення декількома способами. Нижче наведено два різних способи зробити це.
- Для кожного дійсного числа\(x\),\(x^3 \ge x^2\).
- Якщо\(x\) є дійсним числом,\(x^3\) то більше або дорівнює\(x^2\).
Друге твердження показує, що в умовному твердженні часто присутній прихований універсальний квантор. Це твердження є помилковим, оскільки існують дійсні числа,\(x\) для яких\(x^3\) не більше або дорівнює\(x^2\). Наприклад, ми могли б використовувати\(x = -1\) або\(x = \frac{1}{2}\). Це означає, що заперечення має бути істинним. Ми можемо сформувати заперечення наступним чином:
\(\urcorner (\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2) \equiv (\exists x \in \mathbb{R}) \urcorner (x^3 \ge x^2)\).
У більшості випадків ми хочемо записати це заперечення таким чином, який не використовує символ заперечення. У цьому випадку ми можемо тепер написати відкрите речення\(\urcorner (x^3 \ge x^2)\) як (\(x^3 < x^2\)). (Тобто заперечення «більше або дорівнює» є «менше») Таким чином, ми отримаємо наступне:
\(\urcorner (\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2) \equiv (\exists x \in \mathbb{R}) (x^3 < x^2)\).
Заява\((\exists x \in \mathbb{R}) (x^3 < x^2)\) може бути написана англійською мовою наступним чином:
- Існує дійсне число\(x\) таке, що\(x^3 < x^2\).
- Існує\(x\) таке, що\(x\) є дійсним числом і\(x^3 < x^2\).
Для кожного з наступних тверджень
- Напишіть заяву у вигляді англійського речення, яке не використовує символи для квантіфікаторів.
- Напишіть заперечення твердження в символічній формі, в якій не використовується символ заперечення.
- Напишіть заперечення твердження у вигляді англійського речення, яке не використовує символи для квантіфікаторів.
- \((\forall a \in \mathbb{R}) (a + 0 = a)\).
- \((\forall x \in \mathbb{R}) [sin(2x) = 2(sin x)(cos x)]\).
- \((\forall x \in \mathbb{R}) (tan^2 x + 1 = sec^2 x)\).
- \((\exists x \in \mathbb{Q}) (x^2 - 3x - 7 = 0)\).
- \((\exists x \in \mathbb{R}) (x^2 + 1 = 0)\).
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Контрприклади та заперечення умовних тверджень
Реальне число\(x = -1\) в попередньому прикладі було використано для того, щоб показати, що твердження\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^3 \ge x^2)\) є помилковим. Це називається контрприкладом до заяви. Взагалі, контрприкладом до твердження виду\((\forall x) [P(x)]\) є об'єкт а в універсальному наборі,\(U\) для якого\(P(a)\) є помилковим. Це приклад, який доводить, що\((\forall x) [P(x)]\) це помилкове твердження, а отже, і його заперечення\((\exists x) [\urcorner P(x)]\), є справжнім твердженням.
У попередньому прикладі ми також написали універсально кількісне твердження як умовний оператор. Число\(x = -1\) є контрприкладом для заяви.
Якщо\(x\) є дійсним числом,\(x^3\) то більше або дорівнює\(x^2\).
Таким чином, число -1 є прикладом, який робить гіпотезу умовного твердження істинною, а висновок помилковим. Пам'ятайте, що умовний оператор часто містить «прихований» універсальний квантор. Також нагадаємо, що в розділі 2.2 ми бачили, що запереченням умовного оператора «If\(P\) then\(Q\)» є твердження «\(P\)і not»\(Q\). Символічно це можна записати так:
\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\).
Отже, коли ми конкретно включаємо універсальний квантор, символічна форма заперечення умовного твердження
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x) \to Q(x)] \equiv (\exists x \in U) \urcorner [ P(x) \to Q(x)] \equiv (\exists x \in U) [P(x) \wedge \urcorner Q(x)]\).
Тобто,
\(\urcorner (\forall x \in U) [P(x) \to Q(x)] \equiv (\exists x \in U) [P(x) \wedge \urcorner Q(x)]\).
Використовуйте контрприклади, щоб пояснити, чому кожне з наступних тверджень є помилковим.
- Для кожного цілого числа\(n\) (\(n^2 + n + 1\)) є простим числом.
- Для кожного дійсного числа\(x\),\(x\) якщо позитивне, то\(2x^2 > x\).
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Квантори у визначеннях
Визначення термінів в математиці часто включають квантифікатори. Ці визначення часто даються у формі, яка не використовує символи для квантіфікаторів. Мало того, що важливо знати визначення, важливо також вміти писати заперечення визначення. Це буде проілюстровано визначенням того, що означає сказати, що натуральне число - це ідеальний квадрат.
Натуральне число n є досконалим квадратом за умови, що існує натуральне число\(k\) таке, що\(n = k^2\).
Це визначення може бути записано в символічній формі, використовуючи відповідні квантори наступним чином:
Натуральне число n є досконалим квадратом\((\exists k \in \mathbb{N}) (n = k^2)\).
Ми часто використовуємо наступні кроки, щоб краще зрозуміти визначення.
- Прикладами натуральних чисел, які є ідеальними квадратами, є 1, 4, 9 і 81 оскільки\(1 = 1^2\)\(4 = 2^2\),\(9 = 3^2\),, і\(81 = 9^2\).
- Прикладами натуральних чисел, які не є ідеальними квадратами, є 2, 5, 10 і 50.
- Це визначення дає дві «умови». Один полягає в тому, що\(n\) натуральне число є ідеальним квадратом, а інший є те, що існує натуральне число\(k\) таке, що\(n = k^2\). Визначення стверджує, що вони означають одне і те ж. Так що, коли ми говоримо, що натуральне число п не є ідеальним квадрат, ми повинні звести нанівець умова, що існує натуральне число k такі, що\(n = k^2\). Для цього ми можемо використовувати символічну форму.
\(\urcorner (\exists k \in \mathbb{N}) (n = k^2) \equiv (\forall k \in \mathbb{N}) (n \ne k^2)\)
Зверніть увагу\(\urcorner (n = k^2)\), що замість написання ми використовували еквівалентну форму (\(n \ne k^2\)). Це буде простіше перевести в англійське речення. Так ми можемо написати,
Натуральне число не\(n\) є ідеальним квадратом за умови, що для кожного натурального числа\(k\),\(n \ne k^2\).
Попередній метод ілюструє хороший метод для спроби зрозуміти нове визначення. Більшість підручників просто визначать поняття і залишать його читачеві, щоб виконати попередні кроки. Часто недостатньо просто прочитати визначення і розраховувати на розуміння нового терміна. Ми повинні надати приклади, які задовольняють визначенню, а також приклади, які не задовольняють визначенню, і ми повинні вміти писати цілісне заперечення визначення
\(n\)Ціле число кратне 3 за умови, що існує ціле число\(k\) таке, що\(n = 3k\).
- Напишіть це визначення в символічній формі, використовуючи квантори, заповнивши наступне:
\(n\) Ціле число кратне 3 за умови, що... - Наведіть кілька прикладів цілих чисел (включаючи від'ємні цілі), кратні 3.
- Наведіть кілька прикладів цілих чисел (включаючи від'ємні цілі), які не кратні 3.
- Використовуйте символічну форму визначення кратного 3, щоб завершити наступне речення: «\(n\)Ціле число не кратне 3 за умови, що.»
- Не використовуючи символи для кванторів, виконайте наступне речення: «Ціле число\ (n\ 0 не кратне 3).»
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Заяви з більш ніж одним квантифікатором
Коли предикат містить більше однієї змінної, кожна змінна повинна бути кількісно визначена для створення оператора. Наприклад, припустимо, що універсальним множиною є безліч цілих чисел\(\mathbb{Z}\), і нехай\(P(x, y)\) буде присудок, «»\(x + y = 0\). Ми можемо створити твердження з цього присудка декількома способами.
- \((\forall x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Ми могли б прочитати це як, «Для всіх цілих чисел\(x\) і\(y\),»\(x + y = 0\). Це помилкове твердження, оскільки можна знайти два цілих числа, сума яких не дорівнює нулю\(2 + 3 \ne 0\). - \((\forall x \in \mathbb{Z})(\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Ми могли б прочитати це як: «Для кожного цілого числа\(x\), there exists an integer \(y\) такі, що\(x + y = 0\).” This is a true statement. - \((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Ми могли б прочитати це як: «Існує ціле число\(x\) таке, що для кожного цілого числа\(y\),»\(x + y = 0\). Це помилковий оператор, оскільки не існує цілого числа, сума якого з кожним цілим числом дорівнює нулю. - \((\exists x \in \mathbb{Z})(\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Ми могли б прочитати це як: «Існують цілі числа\(x\) and y such that \(x + y = 0\).” This is a true statement. For example, \(2 + (-2) = 0\)
Коли ми заперечуємо твердження з більш ніж одним квантором, ми розглядаємо кожен квантор по черзі і застосовуємо відповідну частину теореми 2.16. Як приклад, ми скасуємо Statement (3) з попереднього списку. Заява є
\((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\).
Ми спочатку трактуємо це як твердження в наступному вигляді:\((\exists x \in \mathbb{Z}) (P(x))\)\(P(x)\) де - присудок\((\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\). Використовуючи теорему 2.16, ми маємо
\(\urcorner (\exists x \in \mathbb{Z}) (P(x)) \equiv (\forall x \in \mathbb{Z}) (\urcorner P(x))\).
Використовуючи теорему 2.16 знову, отримаємо наступне:
\(\urcorner P(x) \equiv \urcorner (\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y =0)\)
\(\equiv (\exists y \in \mathbb{Z}) \urcorner (x + y =0)\)
\(\equiv (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\).
Поєднавши ці два результати, отримаємо
\(\urcorner (\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0) \equiv (\forall x \in \mathbb{Z}) (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\).
Результати зведені в наступну таблицю.
| Символічна форма | Англійська форма | |
| Заява | \((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\) | Існує ціле число\(x\) таке, що для кожного цілого числа\(y\),\(x + y = 0\). |
| заперечення | \((\forall x \in \mathbb{Z}) (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\) | Для кожного цілого числа\(x\) існує ціле число\(y\) таке, що\(x + y \ne 0\). |
Оскільки дане твердження є помилковим, його заперечення вірно.
Ми можемо побудувати подібну таблицю для кожного з чотирьох тверджень. Наступна таблиця показує Statement (2), який є істинним, і його заперечення, яке є помилковим.
| Символічна форма | Англійська форма | |
| Заява | \((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\) | Для кожного цілого числа\(x\) існує ціле число\(y\) таке, що\(x + y = 0\). |
| заперечення | \((\forall x \in \mathbb{Z}) (\exists y \in \mathbb{Z}) (x + y \ne 0)\) | Існує ціле число\(x\) таке, що для кожного цілого числа\(y\),\(x + y \ne 0\). |
Напишіть заперечення заяви
\((\forall x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) (x + y = 0)\)
в символічній формі і як речення, написане англійською мовою.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Настанови з написання
Намагайтеся використовувати англійську мову і мінімізуйте використання громіздких позначень. Не використовуйте спеціальні символи для кванторів\(\forall\) (для всіх),\(\exists\) (існує), (такі, що),\(backepsilon\) або\(\therefore\) (отже) у формальному математичному написанні. Часто легше писати і зазвичай легше читати, якщо замість символів використовуються англійські слова. Наприклад, навіщо змушувати читача тлумачити
\((\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) (x + y = 0)\)
коли можна написати
Для кожного дійсного числа\(x\) існує дійсне число\(y\) таке\(x + y = 0\), що, або, більш стисло (якщо доречно),
Кожне дійсне число має зворотну добавку.
- Для кожного з наступного напишіть заяву як англійське речення, а потім поясніть, чому твердження є помилковим.
(а)\((\exists x \in \mathbb{Q}) (x^2 - 3x - 7 = 0)\).
(б)\((\exists x \in \mathbb{R}) (x^2 + 1 = 0)\).
(c)\((\exists m \in \mathbb{N}) (m^ < 1)\). - Для кожного з перерахованих нижче слід використовувати контрприклад, щоб показати, що твердження помилкове. Потім напишіть заперечення твердження англійською мовою, без використання символів для квантіфікаторів.
(а)\((\forall m \in \mathbb{Z})\) (\(m^2\)парне).
(б)\((\forall x \in \mathbb{R}) (x^2 > 0)\).
(c) Для кожного дійсного числа\(x\),\(\sqrt x \in \mathbb{R}\).
(г)\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\dfrac{m}{3} \in \mathbb{Z})\).
(е)\((\forall a \in \mathbb{Z}) (\sqrt {a^2} = a)\).
(f)\((\forall x \in \mathbb{R}) (tan^2 x + 1 = sec^2 x)\). - Для кожного з наступних тверджень
\(\bullet\) напишіть твердження як англійське речення, яке не використовує символи для квантіфікаторів.
\(\bullet\)Напишіть заперечення твердження в символічній формі, в якій символ заперечення не використовується.
\(\bullet\)Напишіть корисне заперечення твердження в англійському реченні, яке не використовує символи для квантіфікаторів.
(а)\((\exists x \in \mathbb{Q}) (x > \sqrt 2)\).
(б)\((\forall x \in \mathbb{Q}) (x^2 - 2 \ne 0)\).
(c)\((\forall x \in \mathbb{Z})\) (\(x\)парна або\(x\) непарна).
(г)\((\exists x \in \mathbb{Q}) (\sqrt 2 < x < \sqrt 3)\). Примітка: Речення "\(\sqrt 2 < x < \sqrt 3\)" насправді є сполучником. Це означає\(\sqrt 2 < x\) і\(x < \sqrt 3\).
(е)\((\forall x \in \mathbb{Z})\) (Якщо\(x^2\) непарний, то\(x\) непарний).
(f)\((\forall n \in \mathbb{N})\) [Якщо\(n\) є ідеальним квадратом, то (\(2^n -1\)) не є простим числом].
(g)\((\forall n \in \mathbb{N})\) (\(n^2 -n + 41\)є простим числом).
(ч)\((\exists x \in \mathbb{R}) (cos(2x) = 2(cos x))\). - Напишіть кожне з наступних тверджень як англійське речення, яке не використовує символи для квантіфікаторів.
(а)\((\exists m \in \mathbb{Z}) (\exists n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
(б)\((\exists m \in \mathbb{Z}) (\forall n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
(c)\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\exists n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
(d)\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\forall n \in \mathbb{Z}) (m > n)\)
(е)\((\exists m \in \mathbb{Z}) (\forall n \in \mathbb{Z}) (m^2 > n)\)
(f)\((\forall m \in \mathbb{Z}) (\exists n \in \mathbb{Z}) (m^2 > n)\) - Напишіть заперечення кожного твердження у Вправі (4) в символічній формі та як англійське речення, яке не використовує символи для квантіфікаторів.
- Припустимо, що універсальний набір є\(\mathbb{Z}\). Розглянемо наступне речення:
\((\exists t \in \mathbb{Z}) (t \cdot x = 20)\).
(а) Поясніть, чому це речення є відкритим реченням, а не твердженням.
(b) Якщо 5 замінено на\(x\), чи є результуюче речення твердженням? Якщо це твердження, твердження істинне чи хибне?
(c) Якщо 8 замінено на\(x\), чи є результуюче речення твердженням? Якщо це твердження, твердження істинне чи хибне?
(d) Якщо 2 замінено на\(x\), чи є результуюче речення твердженням? Якщо це твердження, твердження істинне чи хибне?
(е) Що таке істинний набір відкритого речення\((\exists t \in \mathbb{Z}) (t \cdot x = 20)\)? - Припустимо, що універсальний набір є\(\mathbb{R}\). Розглянемо наступне речення:
\((\exists t \in \mathbb{R}) (t \cdot x = 20)\).
(а) Поясніть, чому це речення є відкритим реченням, а не твердженням.
(b) Якщо 5 замінено на\(x\), чи є результуюче речення твердженням? Якщо це твердження, твердження істинне чи хибне?
(c) Якщо\(\pi\) замінено на\(x\), чи є результуюче речення твердженням? Якщо це твердження, твердження істинне чи хибне?
(d) Якщо 0 замінено на\(x\), чи є результуюче речення твердженням? Якщо це твердження, твердження істинне чи хибне?
(е) Що таке істинний набір відкритого речення\((\exists t \in \mathbb{R}) (t \cdot x = 20)\)? - \(\mathbb{Z^*}\)Дозволяти множина всіх ненульових цілих чисел.
(a) Використовуйте контрприклад, щоб пояснити, чому таке твердження є помилковим:
Для кожного існує\(y \in \mathbb{Z^*}\) таке\(x \in \mathbb{Z^*}\), що\(xy = 1\).
(b) Напишіть твердження в частині (а) в символічній формі, використовуючи відповідні символи для кількісних показників.
(c) Напишіть заперечення твердження в частині (b) в символічній формі, використовуючи відповідні символи для кванторів.
(d) Напишіть заперечення з частини (c) англійською мовою без використання символів для кванторів. - Кажуть,\(m\) що ціле число має властивість ділиться за умови, що для всіх цілих чисел\(a\) і\(b\), якщо\(m\)\(m\) ділить\(ab\), то ділить\(a\) або\(m\) ділить\(b\).
(а) Використовуючи символи для кванторів, напишіть, що означає сказати, що ціле число\(m\) має властивість ділиться.
(б) Використовуючи символи для кванторів, напишіть, що означає сказати, що ціле число\(m\) не має властивості ділиться.
(c) Напишіть англійське речення про те, що означає сказати, що ціле число\(m\) не має властивості divides. - У обчисленні ми визначаємо функцію\(f\) з доменом, який буде строго\(\mathbb{R}\) збільшуватися за умови, що для всіх дійсних чисел\(x\) і\(y\),\(f(x) < f(y)\) коли завгодно\(x < y\). Заповніть кожне з наступних пропозицій, використовуючи відповідні символи для кванторів:
(а) Функція\(f\) з доменом суворо\(\mathbb{R}\) збільшується за умови, що...
(b) Функція\(f\) з доменом не\(\mathbb{R}\) суворо збільшується за умови, що...
Заповніть наступне речення англійською мовою без використання символів для квантіфікаторів:
(c) Функція\(f\) з доменом\(\mathbb{R}\) не строго збільшується за умови, що... - У обчисленні ми визначаємо функцію\(f\) бути безперервною при дійсному числі за\(a\) умови\(\varepsilon > 0\), що для кожного існує\(\delta > 0\) таке, що якщо\(|x - a| < \delta\), то\(| f(x) - f(a)| < \varepsilon\).
Примітка: Символ\(\varepsilon\) - це мала грецька літера епсилон, а символ\(\delta\) - мала грецька буква дельта.
Заповніть кожне з наступних пропозицій, використовуючи відповідні символи для кванторів:
(а) Функція\(f\) є безперервною при дійсному числі за\(a\) умови, що...
(b) Функція не\(f\) є безперервною при дійсному числі за\(a\) умови, що...
Заповніть наступне речення англійською мовою без використання символів для квантіфікаторів:
(c) Функція не\(f\) є безперервною при дійсному числі за\(a\) умови, що... - Наступні вправи містять визначення або результати більш просунутих курсів математики. Незважаючи на те, що ми можемо не зрозуміти всіх задіяних термінів, все одно можна розпізнати структуру даних тверджень і написати змістовне заперечення цього твердження.
(а) В абстрактній алгебрі операція\(\ast\) над множиною\(A\) називається комутативною операцією за умови, що для всіх\(x, y \in A\),\(x \ast y = y \ast x\). Уважно поясніть, що означає сказати, що операція\(\ast\) на множині А - це не комутативна операція.
(b) У абстрактній алгебрі кільце складається з непорожньої множини\(R\) та двох операцій, які називаються додаванням та множенням. Ненульовий елемент\(a\) у кільці\(R\) називається нульовим дільником за умови, що існує ненульовий елемент\(b\) в R такий, що\(ab = 0\). Уважно поясніть, що означає сказати, що ненульовий елемент\(a\) в кільці не\(R\) є нульовим дільником.
(c) Набір\(M\) дійсних чисел називається околицею дійсного числа за умови, що існує додатне дійсне число,\(\epsilon\) таке, що відкритий інтервал (\(a - \epsilon, a + \epsilon\)) міститься в\(M\). Уважно поясніть, що означає сказати, що множина\(M\) - це не сусідство з дійсним числом\(a\).
(d) У розширеному численні послідовність дійсних чисел {\(x_1\),\(x_2\),...,\(x_k\),...} називається послідовністю Коші за умови, що для кожного додатного дійсного числа існує натуральне число,\(N\) таке, що для всіх\(m\); \(n \in \mathbb{N}\), якщо\(m > N\) і\(n > N\), то\(|x_n - x_m| < \epsilon\). Уважно поясніть, що означає сказати, що послідовність дійсних чисел {\(x_1\)\(x_2\),,...\(x_k\),,...} не є послідовністю Коші.
Дослідження та діяльність - Прості числа. Наступне визначення простого числа дуже важливо в багатьох областях математики. Ми будемо використовувати це визначення в різних місцях тексту. Він представлений зараз як приклад того, як працювати з визначенням в математиці.
\(p\)Натуральне число - це просте число за умови, що воно більше 1 і єдиними натуральними числами, які є множниками\(p\), є 1 і\(p\). Натуральне число, відмінне від 1, яке не є простим числом, є складене число. Число 1 не є ні простим, ні складовим.
Використовуючи визначення простого числа, ми бачимо, що 2, 3, 5 і 7 - прості числа. Також 4 - це складене число, оскільки 4 = 2\(\cdot\) 2; 10 - складене число, оскільки 10 = 2\(\cdot\) 5; і 60 - складене число, оскільки 60 = 4\(\cdot\) 15.
(a) Наведіть приклади чотирьох натуральних чисел, відмінних від 2, 3, 5 та 7, які є простими числами.
(b) Поясніть, чому натуральне число\(p\), яке більше 1, є простим числом за умови, що
Для всіх\(d \in \mathbb{N}\), якщо\(d\) є множником\(p\), то\(d = 1\) або\(d = p\).
(c) Наведіть приклади чотирьох натуральних чисел, які є складовими числами, і поясніть, чому вони є складовими числами.
(d) Напишіть корисний опис того, що означає сказати, що натуральне число - це складене число (крім того, що воно не є простим). - Верхні межі для підмножин\(\mathbb{R}\). \(A\)Дозволяти бути підмножиною дійсних чисел. Число\(b\) називається верхньою межею множини за\(A\) умови, що для кожного елемента\(x\) в\(A\),\(x \le b\).
(a) Запишіть це визначення в символічній формі, заповнивши наступне:
\(A\) Дозволяти бути підмножиною дійсних чисел. Число\(b\) називається верхньою межею для набору за\(A\) умови, що...
(b) Наведіть приклади трьох різних верхніх меж множини\(A\) = {\(x \in \mathbb{R} | 1 \le x \le 3\)}.
(c) Чи має набір\(B\) = {\(x \in \mathbb{R} | x > 0\)} верхню межу? Поясніть.
(d) Наведіть приклади трьох різних дійсних чисел, які не є верхніми межами\(A\) множини = {\(x \in \mathbb{R} | 1 \le x \le 3\)}.
(e) Заповніть наступне в символічній формі: «\(A\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Число не\(b\) є верхньою межею для набору за\(A\) умови, що...»
(f) Не використовуючи символи для кванторів, виконайте наступне речення: «\(A\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Число не\(b\) є верхньою межею для набору за\(A\) умови, що...»
(g) Чи відповідають ваші приклади в частині (14d) вашій роботі в частині (14f)? Поясніть. - Найменша верхня межа для підмножини\(\mathbb{R}\). У вправі 14 ми ввели визначення верхньої межі для підмножини дійсних чисел. Припустимо, що ми знаємо це визначення і що ми знаємо, що означає сказати, що число не є верхньою межею для підмножини дійсних чисел.
\(A\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}\). Справжнє число - це найменша верхня межа для A за умови, що\(\alpha\) є верхньою межею для\(A\), а якщо\(\beta\) є верхньою межею для\(A\), то\(\alpha \le \beta\).
Примітка: Символ\(\alpha\) - це мала грецька буква альфа, а символ\(\beta\) - мала грецька буква бета.Якщо ми\(P(x)\) визначимо бути «\(x\)є верхньою межею для»\(A\), то ми можемо написати визначення для найменшої верхньої межі наступним чином:
Справжнє число є найменшою верхньою межею за\(A\) умови, що
\(P(\alpha) \wedge [(\forall \beta \in \mathbb{R}) (P(\beta) \to (\alpha \le \beta))]\).
(а) Чому універсальний квантор використовується для дійсного числа\(\beta\)?
(b) Заповніть наступне речення в символічній формі: «Справжнє число не\(\alpha\) є найменшою верхньою межею за\(A\) умови, що...
(c) Заповніть наступне речення як англійське речення: «Справжнє число не\(\alpha\) є найменшою верхньою межою за\(A\) умови, що...»
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.