2.2: Логічно еквівалентні твердження

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65570

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Попередній перегляд активності\(\PageIndex{1}\): Logically Equivalent Statements

У Вправи (5) та (6) з розділу 2.1 ми спостерігали ситуації, коли два різні твердження мають однакові таблиці істинності. В основному це означає, що ці твердження рівнозначні, і ми робимо наступне визначення:

Визначення

Два вирази логічно еквівалентні за умови, що вони мають однакове значення істинності для всіх можливих комбінацій значень істинності для всіх змінних, що з'являються у двох виразах. У цьому випадку ми пишемо\(X \equiv Y\) і говоримо, що\(X\) і логічно\(Y\) рівнозначні.

Повні таблиці істинності для\(\urcorner (P \wedge Q)\) і\(\urcorner P \vee \urcorner Q\).
Чи є вирази\(\urcorner (P \wedge Q)\) і\(\urcorner P \vee \urcorner Q\) логічно еквівалентні?
Припустимо, що твердження «Я буду грати в гольф і буду косити газон» помилкове. Тоді істинно його заперечення. Напишіть заперечення цього твердження у вигляді диз'юнкції. Чи має це сенс?

Іноді ми насправді використовуємо логічні міркування в нашому повсякденному житті! Можливо, ви можете собі уявити, як батько робить наступні два твердження:

Заява 1. Якщо ви не прибираєте свою кімнату, то не зможете дивитися телевізор.
Заява 2. Ви прибираєте свою кімнату або не можете дивитися телевізор.
Нехай\(P\) буде «ти не прибираєш свою кімнату», а\(Q\) нехай «ти не можеш дивитися телевізор». Використовуйте їх для перекладу Заяви 1 і Заява 2 в символічні форми.
Побудувати таблицю істинності для кожного з виразів, які ви визначили в частині (4). Чи є вирази логічно еквівалентними?
Припустімо, що Заява 1 та Заява 2 є помилковими. У цьому випадку, що таке істинна цінність\(P\) і в чому полягає істинна цінність\(Q\)? Тепер напишіть справжнє твердження в символічній формі, яке є сполучником і передбачає\(P\) і\(Q\).
Напишіть таблицю істинності для (кон'юнкції) твердження в частині (6) і порівняйте її з таблицею істинності для\(\urcorner (P \to Q)\). Що ви спостерігаєте?

Попередній перегляд активності\(\PageIndex{2}\): Converse and Contrapositive

Тепер ми визначимо два важливих умовних оператора, які пов'язані з заданим умовним оператором.

Визначення

Якщо\(P\) і\(Q\) є твердженнями, то

Зворотним чином умовного оператора\(P \to Q\) є умовний оператор\(Q \to P\).
Контрапозитив умовного оператора\(P \to Q\) є умовний оператор\(\urcorner Q \to \urcorner P\).

Для наступного змінна x представляє дійсне число. Позначте кожне з наступних тверджень як true або false.
(а) Якщо\(x = 3\), то\(x^2 = 9\).
(б) Якщо\(x^2 = 9\), то\(x = 3\).
(в) Якщо\(x^2 \ne 9\), то\(x \ne 3\).
(г) Якщо\(x \ne 3\), то\(x^2 \ne 9\).
Який оператор у списку умовних операторів у частині (1) є зворотним від Statement (1a)? Що є контрапозитивним Заява (1a)?
Заповніть відповідні таблиці істинності, щоб показати,
\(P \to Q\) що логічно еквівалентно його контрапозитиву\(\urcorner Q \to \urcorner P\).
\(P \to Q\)логічно не еквівалентний його зворотному\(Q \to P\)

У Preview Activity\(\PageIndex{1}\) ми ввели поняття логічно еквівалентних виразів і позначення,\(X \equiv Y\) щоб вказати, що твердження\(X\) і\(Y\) логічно еквівалентні. Наступна теорема дає дві важливі логічні еквівалентності. Їх іноді називають законами Де Моргана.

Теорема 2.5: Закони Де Моргана

Для заяв\(P\) і\(Q\),

Твердження\(\urcorner (P \wedge Q)\) логічно еквівалентно\(\urcorner P \vee \urcorner Q\). Це можна записати як\(\urcorner (P \wedge Q) \equiv \urcorner P \vee \urcorner Q\).
Твердження\(\urcorner (P \vee Q)\) логічно еквівалентно\(\urcorner P \wedge \urcorner Q\). Це можна записати як\(\urcorner (P \vee Q) \equiv \urcorner P \wedge \urcorner Q\).

Доказ

Перша еквівалентність в теоремі 2.5 була встановлена в Preview Activity\(\PageIndex{1}\). Таблиця 2.3 встановлює другу еквівалентність.

Таблиця 2.3: Таблиця істини для одного із законів Де Моргана
\(P\)	\(Q\)	\(P \vee Q\)	\(\urcorner (P \vee Q)\)	\(\urcorner P\)	\(\urcorner Q\)	\(\urcorner (P \vee Q) \equiv \urcorner P \wedge \urcorner Q\)
\ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (P\ vee Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F	\ (\ urcorner P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urкут P\ r клин\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F
\ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (P\ vee Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F	\ (\ urcorner P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urкут P\ r клин\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F
\ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (P\ vee Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F	\ (\ urcorner P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urкут P\ r клин\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F
\ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F	\ (P\ vee Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urcorner P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T	\ (\ urcorner (P\ vee Q)\ equiv\ urкут P\ r клин\ urкут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T

У цей час можна розробити і констатувати кілька різних логічних еквівалентностей. Однак обмежимося тим, що вважається одними з найважливіших. Оскільки багато математичні твердження пишуться у вигляді умовних тверджень, логічні еквівалентності, пов'язані з умовними твердженнями, досить важливі.

Логічні еквівалентності, пов'язані з умовними операціями

Перші дві логічні еквівалентності в наступній теоремі були встановлені в Preview Activity\(\PageIndex{1}\), а третя логічна еквівалентність була встановлена в Preview Activity\(\PageIndex{2}\).

Теорема 2.6

Для заяв\(P\) і\(Q\),

\(P \to Q\)Умовний оператор логічно еквівалентний\(\urcorner P \vee Q\).
Твердження\(\urcorner (P \to Q)\) логічно еквівалентно\(P \wedge \urcorner Q\).
\(P \to Q\)Умовне твердження логічно еквівалентно його контрапозитиву\(\urcorner Q \to \urcorner P\).

Заперечення умовного твердження

Логічна еквівалентність\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\) цікава тим, що показує нам, що заперечення умовного оператора не є іншим умовним твердженням. Заперечення умовного твердження можна записати у вигляді сполучника. Так що значить сказати, що умовний оператор

Якщо ви не прибираєте свою кімнату, то не можете дивитися телевізор,

хибний? Щоб відповісти на це, ми можемо використовувати логічну еквівалентність\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\). Ідея полягає в тому, що якщо\(P \to Q\) помилково, то його заперечення має бути істинним. Тож заперечення цього можна записати як

Ви не прибираєте свою кімнату і можете дивитися телевізор.

Для іншого прикладу розглянемо наступний умовний оператор:

Якщо\(-5 < -3\), то\((-5)^2 < (-3)^2\).

Це умовне твердження є помилковим, оскільки його гіпотеза вірна, а висновок помилковий. Отже, його заперечення має бути вірним. Його заперечення не є умовним твердженням. Заперечення можна записати у вигляді сполучника за допомогою логічної еквівалентності\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\). Отже, заперечення можна записати так:

\(5 < 3\)і\(\urcorner ((-5)^2 < (-3)^2)\).

Однак другу частину цього сполучника можна написати більш простим способом, зазначивши, що «не менше» означає те ж саме, що і «більше або дорівнює». Таким чином, ми використовуємо це, щоб записати заперечення оригінального умовного оператора наступним чином:

\(5 < 3\)і\((-5)^2 \ge (-3)^2\).

Цей сполучник вірний, оскільки кожне з окремих тверджень у поєднанні є істинним.

Інший метод встановлення логічних еквівалентностей

Ми бачили, що часто можна використовувати таблицю істинності для встановлення логічної еквівалентності. Однак також можна довести логічну еквівалентність, використовуючи послідовність раніше встановлених логічних еквівалентностей. Наприклад,

\(P \to Q\)логічно еквівалентний\(\urcorner P \vee Q\). Так
\(\urcorner (P \to Q)\)логічно еквівалентний\(\urcorner (\urcorner P \vee Q)\).
Отже, за одним із законів Де Моргана (теорема 2.5)\(\urcorner (P \to Q)\) логічно еквівалентно\(\urcorner (\urcorner P) \wedge \urcorner Q\).
Це означає,\(\urcorner (P \to Q)\) що логічно еквівалентно\(P \wedge \urcorner Q\).

Останнім кроком використовувався той факт, що\(\urcorner (\urcorner P)\) логічно рівнозначний\(P\).

Доводячи теореми в математиці, часто важливо мати можливість вирішити, чи два вирази логічно еквівалентні. Іноді, коли ми намагаємося довести теорему, ми можемо бути невдалими в розробці доказу для початкового твердження теореми. Однак в деяких випадках можна довести рівнозначне твердження. Знання того, що твердження еквівалентні, говорить нам, що якщо ми доведемо одне, то ми також довели інше. Насправді, як тільки ми знаємо істинну цінність твердження, то ми знаємо істинну цінність будь-якого іншого логічно еквівалентного твердження. Це проілюстровано в Progress Check 2.7.

Перевірка прогресу 2.7 (Робота з логічною еквівалентністю)

У розділі 2.1 ми побудували таблицю істинності для\((P \wedge \urcorner Q) \to R\).

Хоча можна використовувати таблиці істинності, щоб показати, що\(P \to (Q \vee R)\) логічно еквівалентно\(P \wedge \urcorner Q) \to R\), ми замість цього використовуємо раніше перевірені логічні еквівалентності, щоб довести цю логічну еквівалентність. В цьому випадку, можливо, буде простіше почати роботу з\(P \wedge \urcorner Q) \to R\). Почніть з

\(P \wedge \urcorner Q) \to R \equiv \urcorner (P \wedge \urcorner Q) \vee R\),

що виправдано логічною еквівалентністю, встановленою в частині (5) дії попереднього перегляду 1. Продовжуйте використовувати один із законів Де Моргана про\(\urcorner (P \wedge \urcorner Q)\).
Нехай a і b будуть цілими числами. Припустимо, ми намагаємося довести наступне:

якщо 3 -\(a \cdot b\) множник, то 3 - коефіцієнт\(a\) або 3 - коефіцієнт\(b\).

Поясніть, чому ми довели це твердження, якщо доведемо наступне:

Якщо 3 є коефіцієнтом,\(a \cdot b\) а 3 - це не множник\(a\), то 3 - коефіцієнт\(b\).

Відповідь: Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Як ми побачимо, часто буває складно побудувати прямий доказ для умовного твердження виду\(P \to (Q \vee R)\). Логічна еквівалентність у Progress Check 2.7 дає нам ще один спосіб спробувати довести твердження форми\(P \to (Q \vee R)\). Перевага еквівалентної форми полягає в тому\(P \wedge \urcorner Q) \to R\), що у нас є додаткове припущення\(\urcorner Q\), в гіпотезі. Це дає нам більше інформації, з якою працювати.

Теорема 2.8 стверджує деякі найбільш часто використовувані логічні еквівалентності, що використовуються при написанні математичних доказів.

Теорема 2.8: важливі логічні еквівалентності

Для заяви\(P\)\(Q\), і\(R\),

Закони Де Моргана\(\urcorner (P \wedge Q) \equiv \urcorner P \vee \urcorner Q\).
\(\urcorner (P \vee Q) \equiv \urcorner P \wedge \urcorner Q\).

Умовний оператор. \(P \to Q \equiv \urcorner Q \to \urcorner P\)(контрапозитивний)
\(P \to Q \equiv \urcorner P \vee Q\)
\(\urcorner (P \to Q) \equiv P \wedge \urcorner Q\)

Біумовне твердження\((P leftrightarrow Q) \equiv (P \to Q) \wedge (Q \to P)\)

Подвійне заперечення\(\urcorner (\urcorner P) \equiv P\)

Закони про розподіл\(P \vee (Q \wedge R) \equiv (P \vee Q) \wedge (P \vee R)\)
\(P \wedge (Q \vee R) \equiv (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)\)

Умовні пристрої з диз'юнкціями\(P \to (Q \vee R) \equiv (P \wedge \urcorner Q) \to R\)
\((P \vee Q) \to R \equiv (P \to R) \wedge (Q \to R)\)

Ми вже встановили багато з цих еквівалентів. Інші будуть встановлені у вправах.

Вправи для розділу 2.2

Напишіть зворотне і контрапозитивне кожного з наступних умовних тверджень.
(а) Якщо\(a = 5\), то\(a^2 = 25\).
(б) Якщо не йде дощ, то Лаура грає в гольф.
(в) Якщо\(a \ne b\), то\(a^4 \ne b^4\).
(d) Якщо\(a\) є непарним цілим числом, то\(3a\) є непарним цілим числом.
Запишіть кожне з умовних тверджень у Вправі (1) як логічно еквівалентну диз'юнкцію та запишіть заперечення кожного з умовних тверджень у Вправі (1) як сполучник.
Напишіть корисне заперечення кожного з наступних тверджень. Не залишайте заперечення як префікс заяви. Наприклад, ми б написали заперечення «Я буду грати в гольф і буду косити газон» як «Я не буду грати в гольф або я не буду косити газон».
(a) Ми виграємо перший матч і виграємо другу гру.
(b) Вони програють першу гру або програють другу гру.
(в) Якщо ви косите газон, то я заплачу вам 20 доларів.
(d) Якщо ми не виграємо першу гру, то ми не будемо грати в другу гру.
(д) Я вимию машину або буду косити газон.
(f) Якщо ви закінчите коледж, то ви отримаєте роботу або будете йти в аспірантуру.
(g) Якщо я граю в теніс, то я буду мити машину або буду робити посуд.
(h) Якщо ви прибираєте свою кімнату або робите посуд, то ви можете піти подивитися фільм.
(i) На вулиці тепло і якщо не буде дощ, то я буду грати в гольф.
Використовуйте таблиці істинності для встановлення кожного з наступних логічних еквівалентів, що стосуються біумовних тверджень:
(a)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (P \to Q) \wedge (Q \to P)\)
(b)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (Q \leftrightarrow P)\)
(c)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (\urcorner P \leftrightarrow \urcorner Q)\)
Використовуйте таблиці істинності, щоб довести кожен із законів розподілу з теореми 2.8.

(а)\(P \vee (Q \wedge R) \equiv (P \vee Q) \wedge (P \vee R)\)
(б\(P \wedge (Q \vee R) \equiv (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)\)
Використовуйте таблиці істинності, щоб довести наступну логічну еквівалентність з теореми 2.8:

\([(P \vee Q) \to R] \equiv (P \to R) \wedge (Q \to R)\).
Використовуйте раніше перевірені логічні еквівалентності, щоб довести кожну з наступних логічних еквівалентностей щодо умовних з сполучниками:

(a)\([(P \wedge Q) \to R] \equiv (P \to R) \vee (Q \to R)\)
(b)\([P \to (Q \wedge R)] \equiv (P \to R) \wedge (P \to R)\)
Якщо\(P\) і\(Q\) є твердженнями, чи є твердження\((P \vee Q) \wedge \urcorner (P \wedge Q)\) логічно еквівалентним твердженню\((P \wedge \urcorner Q) \vee (Q \wedge \urcorner P)\)? Обгрунтуйте свій висновок.
Використовуйте раніше перевірені логічні еквівалентності для підтвердження кожного з наступних логічних еквівалентів: (a)\([\urcorner P \to (Q \wedge \urcorner Q)] \equiv P\)
(b)\((P \leftrightarrow Q) \equiv (\urcorner P \vee Q) \wedge (\urcorner Q \vee p)\)
(c)\(\urcorner (P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge \urcorner Q) \vee (Q \wedge \urcorner P)\)
(d)\((P \to Q) \to R \equiv (P \wedge \urcorner Q) \vee R\)
(e)\((P \to Q) \to R \equiv (\urcorner P \to R) \wedge (Q \to R)\)
(f)\([(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv [(\urcorner R \wedge \urcorner S) \to (\urcorner P \vee \urcorner Q)]\)
(г)\([(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv [(P \wedge Q \wedge \urcorner R) \to S]\)
(ч)\([(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv (\urcorner P \vee \urcorner Q \vee R \vee S)\)
(i)\(\urcorner [(P \wedge Q) \to (R \vee S)] \equiv (P \wedge Q \wedge \urcorner R \wedge \urcorner S)\)
Нехай a буде дійсним числом, а let f - дійсною функцією, визначеною на інтервалі, що містить\(x = a\). Розглянемо наступний умовний оператор:

Якщо\(f\) диференціюється в\(x = a\), то\(f\) є безперервним при\(x = a\).
Які з наведених нижче тверджень мають те ж значення, що і цей умовний оператор, а які - заперечення цього умовного твердження?

Примітка: Це не запитує, які твердження є істинними, а які є помилковими. Він запитує, які твердження логічно еквівалентні даному твердженню. Було б корисно дозволити P представляти гіпотезу даного твердження,\(Q\) представляти висновок, а потім визначити символічне зображення для кожного твердження. Замість того, щоб використовувати таблиці істинності, спробуйте використовувати вже встановлені логічні еквівалентності, щоб обґрунтувати свої висновки.

(а) Якщо\(f\) є безперервним при\(x = a\), то\(f\) диференціюється при\(x = a\).
(b) Якщо\(f\) не диференціюється при\(x = a\), то не\(f\) є безперервним при\(x = a\).
(c) Якщо не\(f\) є безперервним при\(x = a\), то\(f\) не диференціюється при\(x = a\).
(d)\(f\) не диференціюється при\(x = a\) або\(f\) є безперервним при\(x = a\).
(е) не\(f\) є безперервним при\(x = a\) або\(f\) диференціюється при\(x = a\).
(f)\(f\) диференціюється при\(x = a\) або не\(f\) є безперервним при\(x = a\).
Нехай\(a\)\(b\), і\(c\) бути цілими числами. Розглянемо наступний умовний оператор:

Якщо\(a\) ділить\(bc\), то\(a\) ділить\(b\) або\(a\) ділить\(c\).
Які з наведених нижче тверджень мають те ж значення, що і цей умовний оператор, а які - заперечення цього умовного твердження?

Примітка до вправи (10) також стосується цієї вправи.

(а) Якщо\(a\) ділить\(b\) або\(a\) ділить\(c\), то\(a\) ділить\(bc\).
(б) Якщо\(a\) не ділить\(b\) або\(a\) не ділить\(c\), то\(a\) не ділить\(bc\).
(в)\(a\) ділить\(bc\),\(a\) не ділить\(b\) і\(a\) не ділить\(c\).
(г) Якщо\(a\) не ділить\(b\) і\(a\) не ділить\(c\), то\(a\) не ділить\(bc\).
(е)\(a\) не ділить і не\(bc\)\(a\) ділить і не\(b\)\(a\) ділить\(c\).
(f) Якщо\(a\) ділить\(bc\) і\(a\) не ділить\(c\), то\(a\) ділить\(b\).
(g) Якщо\(a\) ділить\(bc\) або\(a\) не ділить\(b\), то\(a\) ділить\(c\).
\(x\)Дозволяти бути дійсним числом. Розглянемо наступний умовний оператор:

If\(x^3 - x = 2x^2 +6\), то\(x = -2\) або\(x = 3\).

Які з наведених нижче тверджень мають те ж значення, що і цей умовний оператор, а які - заперечення цього умовного твердження? Поясніть кожен висновок. (Див. примітку в інструкції до вправи (10).)

(а) Якщо\(x \ne -2\) і\(x \ne 3\), то\(x^3 - x \ne 2x^2 +6\).
(б) Якщо\(x = -2\) або\(x = 3\), то\(x^3 - x = 2x^2 +6\).
(c) Якщо\(x \ne -2\) або\(x \ne 3\), то\(x^3 - x \ne 2x^2 +6\).
(г) Якщо\(x^3 - x = 2x^2 +6\) і\(x \ne -2\), то\(x = 3\).
(е) Якщо\(x^3 - x = 2x^2 +6\) або\(x \ne -2\), то\(x = 3\).
(f)\(x^3 - x = 2x^2 +6\),\(x \ne -2\), і\(x \ne 3\).
(г)\(x^3 - x \ne 2x^2 +6\)\(x = -2\) або\(x = 3\).

Дослідження та діяльність
Робота з логічною еквівалентністю. Припустимо, ми намагаємося довести наступне для цілих чисел\(x\) і\(y\):

Якщо\(x \cdot y\) парний,\(x\) то парний або\(y\) парний.
Зауважимо, що ми можемо написати це твердження в наступній символічній формі:

\(P \to (Q \vee R)\),

де\(P\) «\(x \cdot y\)рівний»,\(Q\)\(x\) це «рівний», а\(R\)\(y\) є «рівним».

(а) Напишіть символічну форму контрапозитиву\(P \to (Q \vee R)\). Потім скористайтеся одним із законів Де Моргана (Теорема 2.5), щоб переписати гіпотезу цього умовного твердження.
(b) Використовуйте результат з частини (13a), щоб пояснити, чому даний оператор логічно еквівалентний наступному твердженню:

Якщо\(x\) непарний і\(y\) непарний, то\(x \cdot y\) непарний.

Два твердження в цій діяльності логічно рівнозначні. Тепер у нас є вибір довести будь-яке з цих тверджень. Якщо ми доведемо один, ми доведемо інший, або якщо ми покажемо, що один є помилковим, інший також помилковий. Друге твердження - теорема 1.8, яка була доведена в розділі 1.2.

Відповідь: Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.