Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Заяви та логічні оператори

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65555

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    АКТИВНІСТЬ ПОПЕРЕДНЬОГО ПЕРЕГЛЯДУ\(\PageIndex{1}\): Compound Statements

    Математики часто розробляють способи побудови нових математичних об'єктів з існуючих математичних об'єктів. Можна сформувати нові твердження з існуючих тверджень шляхом з'єднання тверджень такими словами, як «і» і «або» або заперечуючи твердження. Логічний оператор (або сполучний) на математичних твердженнях - це слово або поєднання слів, що об'єднує одне або кілька математичних тверджень, щоб зробити нове математичне твердження. Складене твердження - це твердження, що містить один або кілька операторів. Оскільки деякі оператори так часто використовуються в логіці та математиці, ми даємо їм імена та використовуємо спеціальні символи для їх представлення.

    • Сполучником висловлювань\(P\) і\(Q\) є твердження «\(P\)і\(Q\)» і його позначається\(P \wedge Q\). Твердження\(P \wedge Q\) вірно тільки тоді, коли обидва\(P\) і\(Q\) вірні.
    • Диз'юнкція тверджень\(P\) і\(Q\) є твердженням «\(P\)або\(Q\)» і його позначається\(P \vee Q\). Твердження\(P \vee Q\) вірно лише тоді, коли хоча б одне з\(P\) або\(Q\) є істинним.
    • Заперечення (твердження) твердження\(P\) є твердженням «не\(P\)» і позначається символом\(\urcorner P\). Заперечення\(P\) істинно лише тоді, коли\(P\) є помилковим, і\(\urcorner P\) є хибним лише тоді, коли\(P\) істинно.
    • Імплікацією або умовним є твердження «\(P\)If then\(Q\)» і позначається символом\(P \to Q\). Заява часто\(P \to Q\) читається як «\(P\)означає»\(Q\), і ми бачили в розділі 1.1, що\(P \to Q\) є помилковим лише тоді, коли\(P\) є істинним і\(Q\) є помилковим.

    Деякі коментарі з приводу диз'юнкції.
    Важливо розуміти використання оператора «або». У математиці ми використовуємо «включно або», якщо не вказано інше. Це означає, що\(P \vee Q\) це правда, коли обидва\(P\) і\(Q\) є істинними, а також коли істинний лише один з них. Тобто є\(P \vee Q\) істинним, коли принаймні один з\(P\) або\(Q\) є істинним, або\(P \vee Q\) є помилковим лише тоді, коли обидва\(P\) і\(Q\) є помилковими.

    Інше вживання слова «або» - це «виключне або». Для виключного або, отримане твердження є помилковим, коли обидва твердження є істинними. Тобто «\(P\)ексклюзивне або\(Q\)» вірно лише тоді, коли саме одне з\(P\) або\(Q\) є істинним. У повсякденному житті ми часто використовуємо ексклюзивні або. Коли хтось каже: «На перехресті поверніть наліво або йдіть прямо», ця людина використовує ексклюзив або.

    Деякі коментарі з приводу заперечення. Хоча твердження можна прочитати як «Це не так»\(P\), часто є кращі способи сказати або написати це англійською мовою.\(\urcorner P\) Наприклад, ми зазвичай говоримо (або пишемо):

    • Заперечення твердження, «391 є простим» є «391 не є простим».
    • Заперечення твердження, «\(12 < 9\)» є «»\(12 \ge 9\).
    1. Для заяв

      \(P\): 15 непарно\(Q\): 15 є простим
      написати кожне з наступних тверджень як англійські речення і визначити

      чи є вони істинними чи хибними.
      (а)\(P \wedge Q\). (б)\(P \vee Q\). (c)\(P \wedge \urcorner Q\). (г)\(\urcorner P \vee \urcorner Q\).

    2. Для заяв

      Р: 15 непарна R: 15 < 17

      запишіть кожне з наступних тверджень в символічній формі за допомогою операторів\(\wedge\)\(\vee\), і\(\urcorner\)

      (а) 15\(\ge\) 17. (б) 15 непарна або 15\(\ge\) 17.
      (c) 15 парних або 15 <17. (d) 15 непарна і 15\(\ge\) 17.

    АКТИВНІСТЬ ПОПЕРЕДНЬОГО ПЕРЕГЛЯДУ\(\PageIndex{2}\): Truth Values of Statements

    Ми будемо використовувати наступні два заяви для всіх цієї діяльності попереднього перегляду:

    • \(P\)це твердження «Йде дощ».
    • \(Q\)це твердження «Дейзі грає в гольф».

    У кожній з наступних чотирьох частин твердженням і буде присвоєно значення\(P\) істинності\(Q\). Наприклад, в питанні (1) ми будемо вважати, що кожне твердження є істинним. У питанні (2) ми будемо вважати, що\(P\) це правда і\(Q\) є помилковим. У кожній частині визначте істинну цінність кожного з наступних тверджень:

    (а) (\(P \wedge Q\)) Йде дощ і Дейзі грає в гольф.

    (б) (\(P \vee Q\)) Йде дощ або Дейзі грає в гольф.

    (c) (\(P \to Q\)) Якщо йде дощ, то Дейзі грає в гольф.

    (d) (\(\urcorner P\)) Не йде дощ.

    Які з чотирьох тверджень [(a) через (d)] є істинними, а які є хибними в кожній з наступних чотирьох ситуацій?

    1. Коли\(P\) це правда (йде дощ) і\(Q\) це правда (Дейзі грає в гольф).
    2. Коли\(P\) це правда (йде дощ) і\(Q\) є помилковим (Дейзі не грає в гольф).
    3. Коли\(P\) є помилковим (не йде дощ) і\(Q\) правда (Дейзі грає в гольф).
    4. Коли\(P\) є помилковим (не йде дощ) і\(Q\) є помилковим (Дейзі не грає в гольф).

    У попередньому перегляді діяльності для цього розділу ми дізналися про складні твердження та їх значення істинності. Цю інформацію можна узагальнити за допомогою таблиць істинності, як показано нижче.

    \(P\) \(\urcorner P\)
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (\ ur кут P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (\ ur кут P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T
    \(P\) \(Q\) \(P \wedge Q\)
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (P\ клин Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (P\ клин Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (P\ клин Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (P\ клин Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F
    \(P\) \(Q\) \(P \vee Q\)
    \ (P\) ">Т \ (Q\) ">Т \ (P\ vee Q\) ">Т
    \ (P\) ">Т \ (Q\) ">F \ (P\ vee Q\) ">Т
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">Т \ (P\ vee Q\) ">Т
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ vee Q\) ">F
    \(P\) \(Q\) \(P \to Q\)
    \ (P\) ">Т \ (Q\) ">Т \ (P\ до Q\) ">T
    \ (P\) ">Т \ (Q\) ">F \ (P\ до Q\) ">F
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">Т \ (P\ до Q\) ">T
    \ (P\) ">F \ (Q\) ">F \ (P\ до Q\) ">T

    Замість того, щоб запам'ятовувати таблиці істини, багатьом людям простіше запам'ятати правила, зведені в таблиці 2.1.

    Таблиця 2.1: Значення істинності для загальних зв'язків
    Оператор Символічна форма Короткий зміст істинних цінностей
    Кон'юнкція \(P \wedge Q\) Правда тільки тоді, коли обидва\(P\) і\(Q\) є правдою
    диз'юнкція \(P \vee Q\) False тільки тоді, коли обидва\(P\) і\(Q\) є помилковими
    заперечення \(\urcorner P\) Протилежне значення істини\(P\)
    Умовні \(P \to Q\) False тільки тоді\(P\), коли істинно і\(Q\) є помилковим

    Інші форми умовних заяв

    Умовні твердження вкрай важливі в математиці, оскільки майже всі математичні теореми (або можуть бути) викладені у вигляді умовного твердження в наступному вигляді:

    Якщо «певні умови дотримані», то «щось відбувається».

    Обов'язково всі студенти, які вивчають математику, досконально розуміли значення умовного твердження і таблиці істинності для умовного твердження.

    Також потрібно знати, що в англійській мові існують і інші способи вираження умовного твердження,\(P \to Q\) крім «If\(P\), then»\(Q\). Нижче наведено кілька поширених способів вираження умовного оператора\(P \to Q\) англійською мовою:сторінка 54 зображення 1422600880

    • Якщо\(P\), то\(Q\).
    • \(P\)має на увазі\(Q\).
    • \(P\)тільки якщо\(Q\).
    • \(Q\)якщо\(P\).
    • \(P\)Всякий раз, коли це правда,\(Q\) це правда.
    • \(Q\)це правда, коли\(P\) це правда.
    • \(Q\)необхідний для\(P\). (Це означає, що якщо\(P\) істинно,\(Q\) то обов'язково вірно.)
    • \(P\)достатньо для\(Q\). (Це означає, що якщо ви\(Q\) хочете бути правдою, достатньо показати, що\(P\) це правда.)

      У всіх перерахованих випадках\(P\) є гіпотезою умовного твердження і\(Q\) є висновком умовного твердження.

    Перевірка прогресу 2.1: Заява «Тільки якщо»

    Нагадаємо, що чотирикутник - це чотиригранний багатокутник. \(S\)Дозволяти представляти наступний true умовний оператор:

    Якщо чотирикутник - квадрат, то це прямокутник.

    Напишіть цей умовний оператор англійською мовою, використовуючи

    1. слово «коли завгодно»
    2. фраза «тільки якщо»
    3. словосполучення «необхідно для»
    4. фраза «достатньо для»
    Відповідь

    Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

    Побудова таблиць істинності

    Таблиці істинності для складних тверджень можуть бути побудовані за допомогою таблиць істинності для основних зв'язків. Щоб проілюструвати це, ми побудуємо таблицю істинності для. \((P \wedge \urcorner Q) \to R\). Насамперед необхідно визначитися з кількістю потрібних рядів.

    • Для таблиці істинності з двома різними простими твердженнями потрібні чотири рядки, оскільки існує чотири різні комбінації значень істинності для двох тверджень. Ми повинні бути узгоджені з тим, як ми налаштовуємо ряди. Спосіб, який ми зробимо в цьому тексті, полягає в тому, щоб позначити рядки для першого твердження (T, T, F, F) та рядки для другого оператора з (T, F, T, F). Всі таблиці істинності в тексті мають цю схему.
    • Для таблиці істинності з трьома різними простими твердженнями потрібні вісім рядків, оскільки існує вісім різних комбінацій значень істинності для трьох тверджень. Наша стандартна схема для цього виду таблиці істинності наведена в таблиці 2.2.

    Наступний крок - визначення стовпців, які будуть використовуватися. Один із способів зробити це - працювати назад від форми заданого твердження. Для\((P \wedge \urcorner Q) \to R\), останнім кроком буде розбиратися з умовним оператором\((\to)\). Для цього нам потрібно знати істинні значення\((P \wedge \urcorner Q)\) і\(R\). Щоб визначити значення істинності для\((P \wedge \urcorner Q)\), нам потрібно застосувати правила для оператора кон'юнкції\((\wedge)\) і нам потрібно знати значення істинності для\(P\) і\(\urcorner Q\).

    Таблиця 2.2 являє собою заповнену таблицю істинності для\((P \wedge \urcorner Q) \to R\) з номерами кроків, вказаними внизу кожного стовпця. Номери кроків відповідають тому порядку, в якому були виконані стовпці.

    Таблиця 2.2: Таблиця істинності для\((P \wedge \urcorner Q) \to R\)
    \(P\) \(Q\) \(R\) \(\urcorner Q\) \((P \wedge \urcorner Q)\) \((P \wedge \urcorner Q) \to R\)
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">F
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> T \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> F \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">T
    \ (P\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 1 \ (Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 1 \ (R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 1 \ (\ ur кут Q\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 2 \ ((P\ клин\ ur кут Q)\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 3 \ ((P\ клин\ urкут Q)\ до R\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">4
    • Заповнюючи стовпчик для\(P \wedge \urcorner Q\), пам'ятайте, що єдиний раз, коли кон'юнкція істинна, - це коли обидва\(P\) і\(\urcorner Q\) є істинними.
    • Заповнюючи стовпець for\((P \wedge \urcorner Q) \to R\), пам'ятайте, що єдиний раз, коли умовне твердження є помилковим, -\((P \wedge \urcorner Q)\) це коли гіпотеза істинна, а висновок\(R\), помилковий.

    Останній введений стовпець є таблицею істинності для оператора,\((P \wedge \urcorner Q) \to R\) використовуючи налаштування в перших трьох стовпцях.

    Перевірка прогресу 2.2: Побудова таблиць істинності

    Побудувати таблицю істинності для кожного з наступних тверджень:

    1. \(P \wedge \urcorner Q\)
    2. \(\urcorner(P \wedge Q)\)
    3. \(\urcorner P \wedge \urcorner Q\)
    4. \(\urcorner P \vee \urcorner Q\)

    Чи має будь-яке з цих тверджень однакову таблицю істини?

    Відповідь

    Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

    Біумовне твердження

    Деякі математичні результати викладені у вигляді «\(P\)якщо і тільки\(Q\) тоді» або «\(P\)необхідно і достатньо для»\(Q\). Прикладом може бути: «Трикутник рівносторонній тоді і лише тоді, коли його три внутрішні кути конгруентні». Символічна форма для двоумовного твердження «\(P\)if і only if\(Q\)» є\(P \leftrightarrow Q\). Для того щоб визначити таблицю істинності для двоумовного висловлювання, повчально уважно подивитися на форму фрази «\(P\)якщо і тільки якщо»\(Q\). Слово «і» говорить про те, що це твердження є сполучником. Насправді це сполучник тверджень «\(P\)if\(Q\)» і «\(P\)тільки якщо»\(Q\). Символічна форма цього сполучника є\([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\).

    Перевірка прогресу 2.3: Таблиця істинності для біумовного твердження

    Заповніть таблицю істинності для\([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\). Використовуйте такі стовпці:\(P\)\(Q\),\(Q \to P\),\(P \to Q\), і\([(Q \to P) \wedge (P \to Q]\). Останній стовпець цієї таблиці буде правдою для\(P \leftrightarrow Q\).

    Відповідь

    Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

    Інші форми біумовного висловлювання

    Як і у випадку з умовним твердженням, існують деякі поширені способи вираження біумовного твердження\(P \leftrightarrow Q\), в англійській мові.

    Приклад
    • \(P\)є і тільки якщо\(Q\).
    • \(P\)необхідний і достатній для\(Q\).
    • \(P\)має на увазі\(Q\) і\(Q\) має на увазі\(P\).

    Тавтології та протиріччя

    Визначення: тавтологія

    Тавтологія - це складне твердження S, яке вірно для всіх можливих комбінацій істинних значень складових тверджень, що входять до складу\(S\). Протиріччя - це складне твердження, яке є помилковим для всіх можливих поєднань істинних значень складових тверджень, що входять до складу\(S\).

    Тобто тавтологія обов'язково вірна при будь-яких обставин, а протиріччя обов'язково помилкове за будь-яких обставин.

    Перевірка прогресу 2.4 (тавтології та протиріччя)

    Для заяв\(P\) і\(Q\):

    1. Використовуйте таблицю істинності, щоб показати, що\((P \vee \urcorner P)\) це тавтологія.
    2. Використовуйте таблицю правди, щоб показати, що\((P \wedge \urcorner P)\) це протиріччя.
    3. Використовуйте таблицю істинності, щоб визначити, чи\(P \to (P \vee P)\) є тавтологія, протиріччя, ні ні ні.
    Відповідь

    Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

    Вправи для розділу 2.1
    1. Припустимо, що Дейзі каже: «Якщо не буде дощ, то я буду грати в гольф». Пізніше в той же день ви дізнаєтеся, що це зробив дощ, але Дейзі все ще грав у гольф. Чи було твердження Дейзі вірним чи хибним? Підтримайте свій висновок.
    2. Припустимо, що\(P\) і\(Q\) є твердженнями, для яких\(P \to Q\) вірно і для яких\(\urcorner Q\) вірно. Який висновок (якщо такий є) можна зробити про істинну цінність кожного з наступних тверджень?

      (а)\(P\)
      (б)\(P \wedge Q\)
      (с)\(P \vee Q\)
    3. Припустимо, що\(P\) і\(Q\) є твердженнями, для яких\(P \to Q\) є помилковим. Який висновок (якщо такий є) можна зробити про істинну цінність кожного з наступних тверджень?

      (а)\(\urcorner P \to Q\)
      (б)\(Q \to P\)
      (с)\(P \ vee Q\)
    4. Припустимо, що\(P\) і\(Q\) є твердженнями, для яких\(Q\) є помилковим і\(\urcorner P \to Q\) є істинним (і невідомо, чи\(R\) є істинним чи хибним). Який висновок (якщо такий є) можна зробити про істинну цінність кожного з наступних тверджень?

      (а)\(\urcorner Q \to P\)
      (б)\(P\)
      (с)\(P \wedge R\)
      (г)\(R \to \urcorner P\)
    5. Побудувати таблицю істинності для кожного з наступних тверджень:

      (a)\(P \to Q\)
      (b)\(Q \to P\)
      (c)\(\urcorner P \to \urcorner Q\)
      (d)\(\urcorner Q \to \urcorner P\)

      Чи має одне з цих тверджень однакову істинність стіл?
    6. Побудувати таблицю істинності для кожного з наступних тверджень:

      (a)\(P \vee \urcorner Q\)
      (b)\(\urcorner (P \vee Q)\)
      (c)\(\urcorner P \vee \urcorner Q\)
      (d)\(\urcorner P \wedge \urcorner Q\)

      Чи має одне з цих тверджень однакову істинність стіл?
    7. Побудувати таблицю істинності для\(P \wedge (Q \vee R)\) і\((P \wedge Q) \vee (P \wedge R)\). Що ви спостерігаєте.
    8. Припустимо, що кожне з наведених нижче тверджень вірно.
      • Лора в сьомому класі.
      • Лора отримала A на тесті з математики або Сара отримала A на тесті з математики.
      • «Якщо Сара отримала A на тесті з математики, то Лора не в сьомому класі.

        Якщо це можливо, визначте істинне значення кожного з наступних тверджень. Уважно поясніть свої міркування.

        (а) Лора отримала A на тесті з математики.
        (б) Сара отримала A на тесті з математики.
        (c) Ні Лора, ні Сара не отримали A на тесті з математики.
    9. Нехай\(P\) стояти для «ціле число\(x\) парне,» і нехай\(Q\) стояти для «\(x^2\)парне». Висловіть умовний оператор англійською\(P \to Q\) мовою, використовуючи

      (а) Форма умовного оператора «if then»
      (b) Слово «impleses»
      (c) Форма умовного оператора «only if»
      (d) Фраза «is необхідно для»
      (e) Словосполучення «достатньо для»
    10. Повторіть вправу (9) для умовного оператора\(Q \to P\).
    11. Для тверджень\(P\) та\(Q\), використовуйте таблиці істинності, щоб визначити, чи є кожне з наступних тверджень тавтологією, протиріччям чи ні.
      (а)\(\urcorner Q \vee (P \to Q)\).
      (б)\(Q \wedge (P \wedge \urcorner Q)\).
      (c)\((Q \wedge P) \wedge (P \to \urcorner Q)\).
      (г)\(\urcorner Q \to (P \wedge \urcorner P)\).
    12. Для тверджень\(P\)\(Q\), і\(R\):
      (а) Показати, що\([(P \to Q) \wedge P] \to Q\) це тавтологія. Примітка: У символічній логіці це важлива форма логічного аргументу, яка називається modus ponens.
      (б) Показати, що\([(P \to Q) \wedge (Q \to R)] \to (P \to R)\) є атутологія. Примітка: У символічній логіці це важлива форма логічного аргументу, яка називається силогізмом.

      Дослідження та діяльність
    13. Робота з умовними операціями. Заповніть наступну таблицю:
      Англійська форма гіпотеза Висновок Символічна форма
      Якщо\(P\), то\(Q\) \(P\) \(Q\) \(P \to Q\)
      \(Q\)тільки якщо\(P\) \(Q\) \(P\) \(Q \to P\)
      \(P\)необхідний для\(Q\)      
      \(P\)достатньо для\(Q\)      
      \(Q\)необхідний для\(P\)      
      \(P\)має на увазі\(Q\)      
      \(P\)тільки якщо\(Q\)      
      \(P\)якщо\(Q\)      
      якщо\(Q\) тоді\(P\)      
      якщо\(\urcorner Q\) тоді\(\urcorner P\)      
      якщо\(Q\), то\(Q \wedge R\)      
      якщо\(P \vee Q\), то\(R\)      
    14. Робота з істинними цінностями тверджень. Припустимо, що\(P\) і\(Q\) є істинними твердженнями, що\(U\) і\(V\) є помилковими твердженнями, і\(W\) це твердження, і невідомо, чи\(W\) є істинним чи хибним.

      Які з наведених нижче тверджень є істинними, які є помилковими, а для яких тверджень неможливо визначити, чи є воно істинним чи хибним? Обгрунтуйте свої висновки.

      (а)\((P \vee Q) \vee (U \wedge W)\) (ф)\((\urcorner P \vee \urcorner U) \wedge (Q \vee \urcorner V)\)
      (б)\(P \wedge (Q \to W)\) (г)\((P \wedge \urcorner Q) \wedge (U \vee W)\)
      (с)\(P \wedge (W \to Q)\) (ч)\((P \vee \urcorner Q) \to (U \wedge W)\)
      (д)\(W \to (P \wedge U)\) (i)\((P \vee W) \to (U \wedge W)\)
      (е)\(W \to (P \wedge \urcorner U)\) (j)\((U \wedge \urcorner V) \to (P \wedge W)\)
    Відповідь

    Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.