5.13: Підбиваючи підсумки, дивлячись вперед

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65439

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ну, цілком ймовірно ви виснажені на цьому етапі. Цей розділ був сповнений щільних технічних аргументів з нав'язуючим визначенням, нагромадженим на накладення визначення. Ми встановили наші аксіоми, обговорювали репрезентабельні множини та говорили про\(\Delta\) -визначення. Ви щойно закінчили пробиратися через нескінченний потік\(\Delta\) -визначень, який завершився формулою,\(Deduction \left( c, f \right)\) яка тримає тоді і лише тоді, коли код для вирахування формули з числом Геделя\(f\).\(c\) Нам вдалося кодувати нашу дедуктивну теорію всередині теорії чисел.

Давайте повторимо це. Якщо ви подивитеся на цю формулу\(Deduction\), то, як вона виглядає, є диз'юнкцією багатьох рівнянь і нерівностей. Все написано мовою\(\mathcal{L}_{NT}\), тому все в цій формулі має форму\(SSS0 < SS0 + x\) (з, треба визнати, скоріше більше\(S\), ніж показано тут). Хоча ми дали ці формули імена, які говорять про те, що вони стосуються формул і термінів і тавтологій і відрахувань, формули є формулами елементарної теорії чисел, тому формули не знають, що вони є ні про що, крім того, чи це число більше, ніж це число, незалежно від того, скільки ви хочете антропоморфізувати їх. Тлумачення чисел як стоять для формул за схемою нумерації Геделя накладається нами на ці числа.

Наступний розділ підводить нас до твердження та доказу Теореми про неповноту Геделя. Щоб дати вам смак майбутнього, зверніть увагу, що якщо ми визначимо твердження

\(Thm_N \left( f \right) =\)

\[\left( \exists c \right) \left( Deduction \left( c, f \right) \right),\]

то\(Thm_N \left( f \right)\) слід утримувати, якщо і тільки якщо\(f\) це число Геделя формули, яка є теоремою\(N\). Ми впевнені, що ви помітили, що\(Thm_N\) це не\(\Delta\) -формула, і немає ніякого способу виправити це - ми не можемо пов'язати довжину відрахування формули. Але\(Thm_N\) це\(\Sigma\) -формула, і пропозиція 5.3.13 говорить нам, що істинні\(\Sigma\) -речення є доказовими. Це буде одним із ключів до доказу Геделя.

Ну, якщо\(90\%\) айсберг знаходиться під водою, ми покрили це. Тепер настав час вивчити те славне\(10\%\), що залишилося.