Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.6: Перегородки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65277

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Часто буває, що хтось ділить безліч на кілька незв'язаних підмножин. Це називається «розділом» множини.

    clipboard_eb849ef716213afe8cfbbb3a1f98f1878.png
    Малюнок\(7A\). Розділ на\(A\) підмножини\(A_{1}, \ldots, A_{5}\). (Кожен елемент\(A\) знаходиться в одному і тільки одному з підмножин.)

    Приклад\(7.6.1\).

    Мері їде до університету, і більше не хоче своїх дитячих іграшок, тому вона розділить їх між своїми молодшими братами та сестрами: Алісою, Бобом та Сінді. Нехай

    • \(T\)бути набір всіх іграшок Марії, і
    • \(A\)\(B\), І\(C\) бути набором іграшок, які вона подарує Алісі, Бобу, і Сінді відповідно.

    Тоді

    Рішення

    \(A\),\(B\), і\(C\) є\(T\) підмножинами, і їх слід вибирати так, щоб:

    1. об'єднання\(A\),\(B\) і\(C\) є\(T\) (тобто\(A \cup B \cup C=T\)), тому всі іграшки віддаються, і
    2. набори\(A\)\(B\), і\(C\) попарно розмежовуються (тобто, і\(B \cap C=\varnothing\))\(A \cap B=\varnothing\)\(A \cap C=\varnothing\), тому не виникне ніякої плутанини з приводу того, хто новий власник кожної іграшки.

    Таким чином, ми бачимо, що Мері повинна розділити T на три неспільних підмножини.

    Визначення\(7.6.2\).

    Розділ множини\(A\) є сукупністю непорожніх підмножин\(A\), таким чином, що кожен елемент\(A\) знаходиться точно в одній з підмножин. Іншими словами:

    1. об'єднання підмножин у збірці - це все\(A\), і
    2. підмножини у збірці попарно нез'єднані.

    Приклад\(7.6.3\).

    У\(7.6.1\) прикладі збірка\(\{A, B, C\}\) є розділом\(T\). *

    Приклад\(7.6.4\).

    У\(7.3.3\) прикладі класи еквівалентності є\(\{1, 3, 4\}\) і\(\{2, 5\}\). Оскільки 1, 2, 3, 4, 5 кожен належить рівно до одного з цих наборів, ми бачимо, що набір\[\{\{1,3,4\},\{2,5\}\}\]

    класів еквівалентності є розділом\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\).

    Наступний результат є безпосереднім наслідком теореми\(7.3.5\). Це говорить про те, що класи еквівалентності завжди забезпечують розділ.

    Слідство\(7.6.5\).

    Припустимо,\(\sim\) це відношення еквівалентності на множині\(A\). Тоді\[\{[a] \mid a \in A\}\]

    є перегородкою з\(A\).

    Доказ

    З частин (2), (3) і (5) Теореми ми знаємо\(7.3.5\), що класи еквівалентності непорожні, що їх об'єднання є A, і що вони попарно розмежовуються.

    Зауваження\(7.6.6\).

    Слідство\(7.6.5\) говорить нам, що кожне відношення еквівалентності дає нам розділ. І навпаки, наступний результат показує, що будь-який розділ походить від відношення еквівалентності. Таким чином, відносини еквівалентності та розділи - це лише два різних способи погляду на одне і те ж.

    Вправа\(7.6.7\).

    Припустимо,\(\mathcal{P}\) це перегородка набору\(A\). Визначте двійкове відношення\(\sim\)\(A\) на\[a \sim b \quad \text { iff } \quad \exists C \in \mathcal{P},(a \in C \text { and } b \in C) \text {. }\]

    Покажіть, що:

    1. \(\sim\)є співвідношенням еквівалентності на\(A\), і
    2. множиною класів еквівалентності є розділ\(\mathcal{P}\).

    Нагадаємо, що\(\mathbb{Z}_{n}\) замінює цілі числа\(a\) і\(b\) які є конгруентними по модулю\(n\) з об'єктами\(\bar{a}\) і\(\bar{b}\) які точно рівні один одному. Це було досягнуто шляхом\(\mathbb{Z}_{n}\) надання множини всіх класів еквівалентності. Набір\(\mathbb{Z}_{n}\) застосовується лише до конгруентності по модулю\(n\), але те ж саме можна зробити для будь-якого відношення еквівалентності:

    Визначення\(7.6.8.\)

    Припустимо,\(\sim\) це відношення еквівалентності на множині\(A\). Множина всіх класів еквівалентності називається A по модулю\(\sim\). Воно позначається\(A / \sim\).

    Приклад\(7.6.9\).

    Припустимо, ми визначимо відношення еквівалентності\(\sim\)\(\mathbb{Z}\) по\(a \sim b\) iff\(a \equiv b(\bmod n)\). Тоді

    Рішення

    \(\mathbb{Z} / \sim\)це просто інша назва для\(\mathbb{Z}_{n}\).

    __________________
    *Власне, це може бути не правильно, тому що для розділу нам потрібні набори\(A\)\(B\), і\(C\) бути непорожніми, але можливо, що одному (або більше) братів і сестер Марії не дадуть ніяких іграшок.