Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.5: Функції повинні бути чітко визначеними

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65269

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Обговорення модульної арифметики ігнорувало дуже важливий момент: операції додавання, віднімання та множення повинні бути чітко визначені. Тобто, якщо\(\overline{a_{1}}=\overline{a_{2}}\) і\(\overline{b_{1}}=\overline{b_{2}}\), то нам потрібно знати, що

    1. \(\overline{a_{1}}+{ }_{n} \overline{b_{1}}=\overline{a_{2}}+_{n} \overline{b_{2}}\),
    2. \(\overline{a_{1}}-_{n} \overline{b_{1}}=\overline{a_{2}}-{ }_{n} \overline{b_{2}}\), і
    3. \(\overline{a_{1}} \times_{n} \overline{b_{1}}=\overline{a_{2}} \times_{n} \overline{b_{2}}\).

    На щастя, ці твердження все вірні. Дійсно, вони легко слідують з вправи\(5.1.19\):

    1. Оскільки\(\overline{a_{1}}=\overline{a_{2}}\) і\(\overline{b_{1}}=\overline{b_{2}}\), у нас є\(a_{1} \equiv a_{2}(\bmod n)\) і\(b_{1} \equiv b_{2}(\bmod n)\), так Вправа\(5.1.19(1)\) говорить нам, що\(a_{1} + b_{1} \equiv a_{2} + b_{2} (\bmod n)\). \(\overline{a_{1}+b_{1}}=\overline{a_{2}+b_{2}}\)Тому за бажанням.

    Докази для\(-_{n} \text { and } \times_{n}\) аналогічні.

    Приклад\(7.5.1\).

    Можна спробувати визначити операцію піднесення до степеня за допомогою:\[\bar{a} \wedge_{n} \bar{b}=\overline{a^{b}} \quad \text { for } \bar{a}, \bar{b} \in \mathbb{Z}_{n} .\]

    На жаль, це не працює, тому що n не чітко визначено:

    Вправа\(7.5.2\).

    Знайти\(a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in \mathbb{Z}\), такий що\(\left[a_{1}\right]_{3}=\left[a_{2}\right]_{3}\) і\(\left[b_{1}\right]_{3}=\left[b_{2}\right]_{3}\), але\(\left[a_{1}^{b_{1}}\right]_{3} \neq\left[a_{2}^{b_{2}}\right]_{3}\).

    Вправа\(7.5.3\).

    Припустимо\(m, n \in \mathbb{N}^{+}\).

    1. Показати, що якщо\(n > 2\), то абсолютне значення не забезпечує чітко визначену функцію від\(\mathbb{Z}_{n}\) до\(\mathbb{Z}_{n}\). Тобто, показати там існують\(a, b \in \mathbb{Z}\), такі, що\([a]_{n}=[b]_{n}, \text { but }[|a|]_{n} \neq[|b|]_{n}\).
    2. Показати, що якщо\(m \mid n\), то є чітко визначена функція\[f: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{Z}_{m}, \text { given by } f\left([a]_{n}\right)=[a]_{m} .\]
    3. Показати, що якщо ми спробуємо визначити функцію\(g: \mathbb{Z}_{3} \rightarrow \mathbb{Z}_{2}\) за допомогою\ (g\ left ([a] _ {3}\ right) = [a] _ {2}), то результат не буде чітко визначеним.