6.9: Зображення та попереднє зображення
- Page ID
- 65205
Іноді необхідно зібрати разом багато значень функції. Почнемо з реального прикладу.
Припустимо, астрономічний клуб в початковій школі вирішує влаштувати вечірку до Дня батька. Потім вони повинні скласти список всіх своїх батьків, щоб запрошення можна було відправляти. Математично кажучи, вони хочуть зробити набір, який містить саме людей, які є батьком когось у клубі. Тобто, якщо А1 - це сукупність людей в клубі, то їх цікавить\[\left\{x \mid \exists a \in A_{1},(x=\text { father }(a))\right\} .\]
Інший спосіб мислення про це полягає в тому, що вони повинні застосувати\(\text {father}\) функцію до кожного елемента множини і зібрати всі отримані значення в набір.\(A_{1}\) Математичне позначення для цієї множини, що збирає разом значення, є\[\left\{\text { father }(a) \mid a \in A_{1}\right\} .\]
В англійській мові ми могли б назвати цей набір «батьками елементів»\(A_{1}\), але математики скорочують це до «»\(\text {father} (A_{1})\). Підводячи підсумок, один і той же набір має три назви:\[\text { father }\left(A_{1}\right)=\left\{\text { father }(a) \mid a \in A_{1}\right\}=\left\{x \mid \exists a \in A_{1},(x=\text { father }(a))\right\} .\]
Подібну ідею можна застосувати до будь-якої функції\(f : A \rightarrow B\). А саме, якщо\(A_{1} \subset A\), то ми можемо застосувати\(f\) до кожного елементу\(A_{1}\) множини, і зібрати всі отримані значення в множину. Ми називаємо цей набір\(f(A_{1})\).
Припустимо\(f : A \rightarrow B\), і\(A_{1} \subset A\). Образ\(A_{1}\) під\(f\) - це\[f\left(A_{1}\right)=\left\{f(a) \mid a \in A_{1}\right\} .\]
Це підмножина\(B\). Позначення означає, що для всіх\(x\) у нас є\[x \in f\left(A_{1}\right) \quad \Leftrightarrow \quad \exists a \in A_{1},(x=f(a)).\]
Ми можемо взяти зображення будь-якої підмножини області\(f\), і в результаті буде якась підмножина діапазону\(f\). В особливому випадку, коли ми приймаємо весь домен\(f\) як наш набір\(A_{1}\), ми отримуємо весь діапазон\(f\) як зображення.
Очікується, що ви зможете поєднати визначення «зображення» з прийомами доказів, які ви вже знаєте.
Припустимо\(f : A \rightarrow B\). Показати, що якщо\(A_{1}\) і\(A_{2}\) є\(A\) підмножинами, і\(f\) один до одного, то\[f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right) \subset f\left(A_{1} \cap A_{2}\right) .\]
Рішення
Враховуючи\(b \in f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right)\), ми знаємо\(b \in f\left(A_{1}\right)\) і\(b \in f\left(A_{2}\right)\). Тому, оскільки\(b \in f\left(A_{1}\right)\), ми знаємо, що є деякі\(a_{1} \in f\left(A_{1}\right)\), такі, що\(b = f(a_{1})\). Крім того, оскільки\(b \in f\left(A_{2}\right)\), ми знаємо, що є деякі\(a_{2} \in f\left(A_{2}\right)\), такі, що\(b = f(a_{2})\). Тоді\[f\left(a_{1}\right)=b=f\left(a_{2}\right) .\]
Оскільки\(f\) це один-на-один, це означає\(a_{1} = a_{2} \in A_{2}\). Оскільки ми також це знаємо\(a_{1} \in A_{1}\), це означає\(a_{1} \in A_{1} \cap A_{2}\). Отже\(f(a_{1}) \in f(A_{1} \cap A_{2})\). Так як\(b = f(a_{1})\), це означає\(b \in f(A_{1} \cap A_{2})\). Оскільки\(b\) є довільним елементом\(f(A_{1}) \cap f(A_{2})\), зробимо висновок, що\[f\left(A_{1}\right) \cap f\left(A_{2}\right) \subset f\left(A_{1} \cap A_{2}\right) .\]
Припустимо\(f : A \rightarrow B\).
- Показати, що якщо\(A_{1}\) і\(A_{2}\) є\(A\) підмножинами, такі що\(A_{2} \subset A_{1}\), то\(f(A_{2}) \subset f(A_{1})\).
- \(f\)Припустимо, що один до одного, і\(a \in A\). Покажіть, що якщо\(f(a) \in f(A_{1})\), то\(a \in A_{1}\).
Беручи зображення підмножини домену, видає підмножину кодомену. Іноді нам потрібно йти в інший бік.
Можливо, ми хотіли б скласти список всіх людей, батько яких є другом поп-співака Боно. Якщо\(B_{1}\) набір друзів Боно, то математичні позначення для безлічі цих людей є\[\left\{x \in \text { PEOPLE } \mid \text { father }(x) \in B_{1}\right\} .\]
Зверніть увагу, що якби\(\text {father}\) функція мала зворотну, то такий же набір можна було отримати, застосувавши\(\text{father}^{−1}\) до елементів\(B_{1}\). Тобто набір був би\(\text{father}^{−1}(B_{1})\). Математики використовують це позначення для множини, навіть якщо немає зворотної функції.
Припустимо\(f : A \rightarrow B\), і\(B_{1} \subset B\). Попереднє зображення (або зворотне зображення)\(B_{1}\) under\(f\) є\[f^{-1}\left(B_{1}\right)=\left\{a \in A \mid f(a) \in B_{1}\right\} .\]
Це підмножина\(A\). Коли\(B_{1} = \{b\}\) має тільки один елемент, ми зазвичай пишемо\(f^{−1}(b)\), замість\(f^{−1} (\{b\})\).
ПОПЕРЕДЖЕННЯ. Той факт, що ми пишемо, не\(f^{−1} (B_{1})\) означає, що\(f\) має зворотну, або що\(f^{−1}\) є функцією. Це просто позначення, яке відноситься до набору, який ми визначили.
- Для функції матері:\(\text {PEOPLE } \rightarrow \text { WOMEN}\),\(\text {mother^{−1} (m)\) це набір всіх дітей\(m\).
- Для функції,\(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) визначеної\(f(x) = x^{2}\):
- Ми маємо\(f^{−1}(4) = \{2, −2\}\), тому що 2 і −2 всі квадратні корені 4.
- У нас є\(f^{−1}([0, 4]) = [−2, 2]\), тому що\(0 \leq x^{2} \leq 4 \text { iff } −2 \leq x \leq 2\).
Ось приклади доказів за участю зворотних зображень:
Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(B_{1} \subset B\).
- У нас є\(f(f^{−1}(B_{1})) \subset B_{1}\).
- Якщо\(f\) на, то\(f(f^{−1}(B_{1})) = B_{1}\).
Рішення
- Нехай\(b \in f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\). За визначенням, ми маємо\[f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)=\left\{f(a) \mid a \in f^{-1}\left(B_{1}\right)\right\} ,\]
так ми повинні мати\(b = f(a_{1})\), для деяких\(a_{1} \in f^{−1}(B_{1})\). З визначення\(f^{−1}(B_{1})\), ми знаємо, що\(f(a_{1}) \in B_{1}\). Тому\(b = f(a_{1}) \in B_{1}\). Так як\(b\) є довільним елементом\(f(f^{−1}(B_{1}))\), з цього випливає\(f(f^{−1}(B_{1})) \subset B_{1}\), що, за бажанням. - Припустимо\(f\), що це на. Ми знаємо, з (1), що\(f(f^{−1}(B_{1})) \subset B_{1}\), тому достатньо, щоб показати це\(B_{1} \subset f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\).
\(b \in B_{1}\)Дозволяти бути довільним. Тому\(f\) що на, ми знаємо, що існує\(a_{1} \in A\), таке, що\(f(a_{1}) = b\). Потім\(f(a_{1}) = b \in B_{1}\), так\(a_{1} \in f^{−1}(B_{1})\). Тому\[f\left(a_{1}\right) \in\left\{f(a) \mid a \in f^{-1}\left(B_{1}\right)\right\}=f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right) .\]
З тих пір\(f(a_{1}) = b\), ми робимо висновок, що\(b \in f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\). Так як\(b\) є довільним елементом\(B_{1}\), з цього випливає\(B_{1} \subset f\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)\), що, за бажанням.
Припустимо\(f: A \rightarrow B\), що\(A_{1} \subset A\), що і що\(B_{1} \subset B\).
- Покажіть, що якщо\(B_{2} \subset B_{1}\), то\(f^{-1}\left(B_{2}\right) \subset f^{-1}\left(B_{1}\right)\).
- Показати\(A_{1} \subset f^{-1}\left(f\left(A_{1}\right)\right)\).
Припустимо\(f: X \rightarrow Y\)\(A \subset Y\),, і\(B \subset Y\). Показати\[f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)=f^{-1}(A \cap B) .\]
Припустимо\(f: X \rightarrow Y\)\(g: Y \rightarrow Z\),\(X_{1} \subset X\),\(Z_{1} \subset Z\),, і\((g \circ f)\left(X_{1}\right) \subset Z_{1}\). Показати\(f(X_{1}) \subset g^{−1}(Z_{1})\).