6.8: Склад функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65242

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ніщо не йде на удачу в складі. Це не допускає ніяких хитрощів.

Генрі Девід Торо (1817—1862), американський письменник

Термін «композиція» - це назва, яку математики використовують для ідеї, яка виникає досить часто в повсякденному житті.

Приклад\(6.8.1\).

Батько матері людини - дід людини. (Якщо бути точним, то це дід людини по материнській лінії - а його або її інший дід по батькові.) Щоб висловити зв'язок в математичній формулі, ми можемо\[\forall x,(\operatorname{grandfather}(x)=\text { father }(\operatorname{mother}(x))) .\]
написати: Математик скорочує цю формулу записом\[\text { grandfather }=\text { father } \circ \text { mother }\]
і говорить, що (материнська)\(\text {grandfather}\) функція - це склад\(\text {father}\) і\(\text {mother}\).
Брат матері людини - дядько людини, так\(\text {uncle}\) і склад\(\text {brother}\) і\(\text {mother}\):\[\forall x,(\text { uncle }(x)=\operatorname{brother}(\operatorname{mother}(x))) ,\]
або, якщо коротше,\[\text { uncle }=\text { brother o mother. }\]
(Заради цього прикладу проігноруємо питання про те, що\(\text {uncle}\) і не\(\text {brother}\) є функції, тому що деякі люди не мають дядька або брата, або мають більше одного.)
Дочка дитини - внучка, так\(\text {granddaughter}\) і склад\(\text {daughter}\) і\(\text {child}\):\[\text { granddaughter }=\text { daughter } \circ \text { child. }\]
(Ми ігноруємо той факт\(\text {granddaughter}\), що\(\text {daughter}\), і не\(\text {child}\) є функціями.)

Вправа\(6.8.2\).

Вкажіть звичайну назву для кожної композиції. (Ігноруйте той факт\(\text {sister}\)\(\text {daughter}\), що, і багато інших відносин не є функціями.)

\(\text { husband } \circ \text{ sister }=\)
\(\text { husband } \circ \text{ mother }=\)
\(\text { husband } \circ \text{ wife }=\)
\(\text { husband } \circ \text{ daughter }=\)
\(\text { mother } \circ \text{ sister }=\)
\(\text { daughter } \circ \text{ sister }=\)
\(\text { parent } \circ \text{ parent }=\)
\(\text { child } \circ \text{ child }=\)
\(\text { parent } \circ \text{ parent } \circ \text { parent }=\)
\(\text { child } \circ \text{ brother } \circ \text { parent }=\)

Визначення\(6.8.3\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(g: B \rightarrow C\). Склад\(g \circ f\)\(g\) і\(f\) - це функція від\(A\) до,\(C\) визначена\[(g \circ f)(a)=g(f(a)) \text { for all } a \in A .\]

Приклад\(6.8.4\).

Визначити f:\ mathbb {R}\ стрілка вправо\ mathbb {R}\) і\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по\(f(x) = 3x\) і\(g(x) = x^{2}\). Тоді\(g \circ f\) і\(f \circ g\) є функціями від\(\mathbb{R} \text { to } \mathbb{R}\). Для всіх\(x \in \mathbb{R}\) у нас є\[(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(3 x)=(3 x)^{2}=9 x^{2}\]

і\[(f \circ g)(x)=f(g(x))=f\left(x^{2}\right)=3\left(x^{2}\right)=3 x^{2} .\]

Зверніть увагу, що (в даному прикладі)\(f \circ g \neq g \circ f\), тому композиція не комутативна.

Вправа\(6.8.5\).

Формули визначають функції\(f\) і\(g\) від\(\mathbb{R} \text { to } \mathbb{R}\). Знайдіть формули для\((f \circ g)(x)\) і\((g \circ f)(x)\).

\(f(x)=3 x+1 \text { and } g(x)=x^{2}+2 .\)
\(f(x)=3 x+1 \text { and } g(x)=(x-1) / 3 .\)
\(f(x)=a x+b \text { and } g(x)=c x+d \text { (where } a, b, c, d \in \mathbb{R}) .\)
\(f(x)=|x| \text { and } g(x)=x^{2} .\)
\(f(x)=|x| \text { and } g(x)=-x .\)

ПОПЕРЕДЖЕННЯ. Щоб обчислити значення функції\(g \circ f\) в точці\(a\), не починайте з обчислення\(g(a)\). Замість цього потрібно провести розрахунок\(f(a)\). Потім підключіть це значення до функції\(g\).

Приклад\(6.8.6\).

На малюнку\(6C\) представлена діаграма зі стрілками для ілюстрації композиції\(g \circ f\).

Починаючи з будь-якої точки\(A\), слідуйте за стрілкою (для функції\(f\)), яка починає там прибути в якусь точку\(B\).
Потім слідуйте за стрілкою (для функції\(g\)), яка починає там прибути в точку\(C\).

Наприклад,\(f\) -стрілка від\(a\) веде до\(m\) і\(g\) -стрілка від\(m\) веде до\(u\). Отже\((g \circ f)(a) = u\).

Малюнок\(6C\). Стрілки для композиції\(g \circ f\) пунктирні.

Зверніть увагу, що навіть якщо\(g\) відображається ліворуч у\(g \circ f\) виразі, діаграма стрілок для\(g\) відображається праворуч на малюнку. Це невдалий наслідок того, як ми обчислюємо\(g(f(x))\) — див. Попередження вище.

Вправа\(6.8.7\).

Нехай\(A = \{1, 2, 3, 4\}\)\(B = \{a, b, c, d\}\), і\(C = \{\) ♣, ♦, ♥, ♠\(\}\). Множини впорядкованих пар в кожній частині є функціями\(f: A \rightarrow B\) і\(g: B \rightarrow C\). Представляють\(g \circ f\) як набір впорядкованих пар.

\(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{c}),(4, \mathrm{~d})\}\),\(g = \) {(а, ♣), (б, ♦), (c, ♥), (d, ♠)}
\(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{c}),(4, \mathrm{~d})\}\),\(g = \) {(а, ♣), (б, ♣), (c, ♣), (d, ♣)}
\(f=\{(1, \mathrm{~b}),(2, \mathrm{c}),(3, \mathrm{~d}),(4, \mathrm{a})\}\),\(g = \) {(а, ♣), (б, ♠), (c, ♥), (d, ♦)}
\(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{c}),(4, \mathrm{~d})\}\),\(g = \) {(а, ♣), (б, ♣), (c, ♥), (d, ♠)}
\(f=\{(1, \mathrm{a}),(2, \mathrm{~b}),(3, \mathrm{a}),(4, \mathrm{~b})\}\),\(g = \) {(а, ♣), (б, ♣), (c, ♥), (d, ♠)}

Вправа\(6.8.8\).

Визначення\(g \circ f\) вимагає, щоб домен дорівнював кодомену\(f\).\(g\) (Вони обидва називаються\(B\) у визначенні, тому вони зобов'язані бути рівними.) Чому?

Ось кілька прикладів доказів, які поєднують композицію з іншими важливими ідеями, які ми бачили.

Приклад\(6.8.9\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(g: B \rightarrow C\). Показати,\(g \circ f\) що якщо один до одного,\(f\) то один до одного.

Рішення

Враховуючи\(a_{1}, a_{2} \in A\), що таке\(f(a_{1}) = f(a_{2})\), у нас є\[g\left(f\left(a_{1}\right)\right)=g\left(f\left(a_{2}\right)\right) ,\]

так\[(g \circ f)\left(a_{1}\right)=(g \circ f)\left(a_{2}\right) .\]

Оскільки\(g \circ f\) це один-на-один, це означає\(a_{1} = a_{2}\). Так\(f\) само один до одного.

Приклад\(6.8.10\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(g: B \rightarrow C\). Покажіть, що якщо\(f\) і\(g\) знаходяться на, то\(g \circ f\) знаходиться на.

Рішення

\(c\)Дозволяти бути довільним елементом\(C\). Так як\(g\) є на, є деякі\(b \in B\0, such that \(g(b) = c\). Потім, так як\(f\) є на, є деякі\(a \in A\), такі, що\(f(a) = b\). Тому\[(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c .\]

Оскільки\(c\) є довільним елементом\(C\), Це означає, що\(g \circ f\) знаходиться на.

Приклад\(6.8.11\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(g: B \rightarrow C\). Показати, що якщо\(f\) і\(g \circ f\) є біекціями, то g - це біекція.

Рішення

Досить показати, що\(g\) є як один до одного, так і на.

(один-на-один)\(b_{2}\) Дозволяти\(b_{1}\) і бути довільними елементами\(B\), такі, що\(g(b_{1}) = g(b_{2})\). Оскільки\(f\) це біекція, вона на, так існують\(a_{1}, a_{2} \in A\), такі що\(f(a_{1}) = b_{1}\) і\(f(a_{2}) = b_{2}\). Тоді\[(g \circ f)\left(a_{1}\right)=g\left(f\left(a_{1}\right)\right)=g\left(b_{1}\right)=g\left(b_{2}\right)=g\left(f\left(a_{2}\right)\right)=(g \circ f)\left(a_{2}\right) .\]
Оскільки\(g \circ f\) це біекція, це один до одного, тому ми робимо висновок, що\(a_{1} = a_{2}\). Тому\[b_{1}=f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b_{2} .\]
так як\(b_{1}\) і\(b_{2}\) є довільними елементами\(B\), такі\(g(b_{1}) = g(b_{2})\), що, це означає, що\(g\) є один до одного.

(на)\(c\) Дозволяти бути довільним елементом\(C\). Оскільки\(g \circ f\) це біекція, вона знаходиться на, так існує\(a \in A\), така, що\((g \circ f)(a) = c\). Нехай\(b = f(a)\). Тоді\[g(b)=g(f(a))=(g \circ f)(a)=c .\]
Оскільки\(c\) є довільним елементом\(C\), ми робимо висновок, що\(g\) є на.

Вправа\(6.8.12\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(g: B \rightarrow C\).

Покажіть, що якщо\(f\) і\(g\) є біекціями, то\(g \circ f\) є біекцією.
Покажіть, що якщо\(g\) і\(g \circ f\) є біекціями, то\(f\) є біекцією.
Показати, що якщо\(f\) і\(g\) є двоєкторами, то\ ((g\ circ f) ^ {−1} = f^ {−1}\ circ g^ {−1}.

Вправа\(6.8.13\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\) і\(g: B \rightarrow A\) (і див. Позначення\(6.6.8\) для визначення карт ідентичності\(I_{A}\) та\(I_{B}\)).

Показати, що\(g\) є оберненою\(f\) if і тільки якщо\(f \circ g = I_{B}\) і\(g \circ f = I_{A}\).
Що таке\(f \circ I_{A}\) і\(I_{B} \circ f\)?

Вправа\(6.8.14\).

Наведіть приклад функцій\(f: A \rightarrow B\) і\(g: B \rightarrow C\), таких, що\(g \circ f\) знаходиться на, але\(f\) не на. [Підказка: Нехай\(A = B = \mathbb{R}\)\(C = [0, \infty)\),\(f(x) = x^{2}\),, і\(g(x) = x^{2}\).]
Визначте\(f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) по\(f(x) = x\) і\(g :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по\(g(x) = |x|\). Показати,\(g \circ f\) що один до одного, але\(g\) не один до одного.
(Складніше) Припустимо\(f: A \rightarrow B\) і\(g: B \rightarrow C\). Напишіть визначення\(g \circ f\) чисто в терміні множин впорядкованих пар. Тобто знайти присудок\(P(x, y)\), такий, що\[g \circ f=\{(a, c) \in A \times C \mid P(a, c)\} .\]
Присудок не може використовувати позначення\(f(x)\) або\(g(x)\). Замість цього він повинен посилатися на впорядковані пари, які є елементами\(f\) і\(g\).