6.7: Зворотні функції

Назад поети пишуть зворотне.

Автор невідомий

Всі студенти математики мають досвід вирішення рівняння для\(x\). Обернені функції є окремим випадком цього.

Приклад\(6.7.1\).

У\(6.6.6\) прикладі було показано, що\(f(x) = 5x − 7\) це біекція. Погляд на доказ показує, що формула\((y + 7)/5\) відіграє ключову роль. Причина, по якій ця формула настільки важлива, полягає в тому, що (рішення для\(x\)) ми маємо\[y=5 x-7 \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{y+7}{5} .\]

Для того, щоб бачити це як «обернену функцію», ми переводимо на мову функцій, дозволяючи\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) бути визначеною\(g(y) = (y + 7)/5\). Тоді вищевказане твердження можна переоцінити як: (6.7.2)\[y=f(x) \quad \Leftrightarrow \quad x=g(y) .\]

Це говорить нам, що\(g\) робить прямо протилежне тому, що\(f\) робить: якщо\(f\) бере\(x\) до\(y\), то\(g\) бере\(y\) до\(x\). Ми скажемо, що\(g\) є «зворотним»\(f\).

Наступна вправа надає повторний виклад (6.7.2), який буде використовуватися в офіційному визначенні обернених функцій. Однак ми зазвичай використовуємо\(A\) для області загальної функції (і\(B\) для codomain), тому вона замінює змінні\(x\) і\(y\) з\(a\) і\(b\).

Вправа\(6.7.3\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(g: B \rightarrow A\). Покажіть, що якщо\[\forall a \in A, \forall b \in B,(b=f(a) \Leftrightarrow a=g(b)) ,\]

потім

1. \(g(f(a))=a \text { for all } a \in A\)і
2. \(\text { b) } f(g(b))=b \text { for all } b \in B \text {. }\)

Визначення\(6.7.4\).

Припустимо

• \(f: A \rightarrow B\), і
• \(g: B \rightarrow A\).

Ми говоримо, що\(g\) є зворотним\(f\) iff:

1. \(g(f(a)) = a \text { for all } a \in A\), і
2. \(f(g(b))=b \text { for all } b \in B\)

Приклад\(6.7.5\).

Припустимо\(z: S \rightarrow T\), і\(k: T \rightarrow S\). Що означає сказати, що\(k\) є зворотним\(z\)?

Рішення

Це означає, що дві речі вірні:

1. \(k(z(s)) = s \text { for all } s \in S\), і
2. \(z(k(t))=t \text { for all } t \in T .\)

Вправа\(6.7.6\).

Припустимо\(c: U \rightarrow V\), і\(d: V \rightarrow U\). Що означає сказати, що\(d\) є зворотним\(c\)?

Позначення\(6.7.7\).

Обернене\(f\) позначається\(f^{−1}\).

Приклад\(6.7.8\).

Зверніть увагу, що:

• чоловіком дружини будь-якого одруженого чоловіка є сам чоловік,\[\text { husband }(\text { wife }(m))=m ,\]
  т. Е.
• дружиною чоловіка будь-якої заміжньої жінки є сама жінка, т. Е.\[\text { wife }(\text { husband }(w))=w .\]

Це означає, що\(\text {husband}\) функція є оберненою\(\text {wife}\) функцією. Тобто,\(\text{wife}^{−1} = \text{ husband.}\)

Зауваження\(6.7.9\).

Зворотне легко описати з точки зору стрілочних діаграм. А саме від того, що\[b=f(a) \quad \Leftrightarrow \quad a=f^{-1}(b) ,\]

ми бачимо, що\[f \text { has an arrow from } a \text { to } b \Leftrightarrow f^{-1} \text { has an arrow from } b \text { to } a \text {. } .\]

Тому діаграма стрілок\(f^{−1}\) виходить, просто перевернувши всі стрілки на діаграмі стрілок\(f\):

Приклад\(6.7.10\).

Визначте\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) і\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по\(f(x) = 7x − 4\) і\(g(x) = (x + 4)/7\). Переконайтеся, що\(g\) це зворотне\(f\).

Рішення

Досить показати:

1. \(g(f(x))=x \text { for all } x \in \mathbb{R}\), і
2. \(f(g(y))=y \text { for all } y \in \mathbb{R} .\)

1. Враховуючи\(x \in \mathbb{R}\), що у нас є\[g(f(x))=\frac{f(x)+4}{7}=\frac{(7 x-4)+4}{7}=\frac{7 x}{7}=x .\]
2. Враховуючи\(y \in \mathbb{R}\), що у нас є\[f(g(y))=7 g(y)-4=7\left(\frac{y+4}{7}\right)-4=(y+4)-4=y .\]

Вправа\(6.7.11\).

У кожному випадку перевірте, що\(g\) це зворотне\(f\).

1. \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { is defined bv } f(x)=9 x-6 \text { and } g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { is defined by } g(x)=(x+6) / 9 .\)
2. \(f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \text {is defined by } f(x)=x^{2} \text { and } g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \text {is defined by } g(x)=\sqrt{x} .\)
3. \(f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \text {is defined by } f(x)=1 / x \text { and } g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \text {is defined by } g(x)=1 / x .\)
4. \(f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \text {is defined by } f(x)=\sqrt{x+1}-1 \text { and } g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \text {is defined by } g(x)=x^{2}+2 x \text {. }\)

Більшість функцій не мають зворотного. По суті, тільки двоєктики мають зворотне:

Теорема\(6.7.12\).

Припустимо\(f: A \rightarrow B\). Якщо\(f\) має зворотну\(f^{−1}: B \rightarrow A\), то\(f\) є біекцією.

Доказ

Припустимо,\(f^{−1}: B \rightarrow A\) що існує функція, яка є оберненою\(f\). Тоді

1. \(f^{-1}(f(a))=a \text { for all } a \in A\), і
2. \(f\left(f^{-1}(b)\right)=b \text { for all } b \in B\).

Ми хочемо показати, що\(f\) це біекція. Це залишається як вправа для читача. [Підказка: Це дуже схоже на багато з попередніх доказів того, що функції є двоєкторами, але з рівнянням\(a = f^{−1}(b)\) замість явної формули для\(a\). Наприклад, якщо\(f(a_{1}) = f(a_{2})\), то\(f^{−1} (f(a_{1})) = f^{−1}(f(a_{2}))\). Чому кожна сторона цього рівняння дорівнює?]

Вправа\(6.7.13\).

1. Доведіть, що зворотна біекція є біекцією.
2. Доведіть зворотне вправи\(6.7.3\).
3. Показати, що обернена функція унікальна: якщо\(g_{1}\) і\(g_{2}\) є оберненнями\(f\), то\(g_{1} = g_{2}\). (Ось чому ми говоримо про зворотне\(f\), а не зворотне\(f\).)

Зауваження\(6.7.14\).

Якщо\(f\) є функцією, яка має зворотну, то її легко знайти\(f^{−1}\) як набір впорядкованих пар. А саме,\[f^{-1}=\{(b, a) \mid(a, b) \in f\} .\]

Це просто повторення того факту, що\[b=f(a) \Leftrightarrow a=f^{-1}(b)\]

(Або те, що діаграма стрілок\(f^{−1}\) виходить шляхом повороту стрілок на діаграмі стрілок\(f\)).

Вправа\(6.7.15\).

Доведіть зворотність теореми\(6.7.12.\) [Підказка: Знайти\(f^{−1}\) як набір впорядкованих пар.]

Вправа\(6.7.16\).

Припустимо,\(f: A \rightarrow B\) це біекція. Покажіть, що\(f^{−1}\) зворотне є\(f\). Тобто,\((f^{−1})^{−1} = f\).