6.5: Функції на
- Page ID
- 65193
У діаграмі зі стрілками функції визначення функції вимагає\(f: A \rightarrow B\), щоб з кожного елемента була рівно одна стрілка\(A\), але вона нічого не говорить про кількість стрілок в кожному елементі\(B\). У них можуть бути елементи\(B\) з великою кількістю стрілок (якщо функція не одна до одного), і можуть бути інші елементи,\(B\) які не мають стрілок в них. Функція називається «onto», якщо всі елементи\(B\) потрапляють стрілками; жодна не пропущена.
\(6B\)На малюнку показані стрілки діаграми різних функцій, деякі на, а деякі ні.
Далеко не кожна жінка є матір'ю. Це означає, що якщо ви намалюєте стрілку від кожної людини до його матері, знайдуться жінки, у яких немає стрілок в них. Таким чином, функція\[\text { mother: People } \rightarrow \text { Women }\]
не на.
Наступне офіційне визначення «onto» формалізує описані вище ідеї.
Припустимо\(f: A \rightarrow B\). Ми говоримо, що\(f\) це на iff, для всіх\(b \in B\), є деякі\(a \in A\), такі, що\(f(a) = b\).
Припустимо\(f: A \rightarrow B\), і\(g: X \rightarrow Y\). Переведіть кожне з наступних тверджень на логіку першого порядку:
- \(f\)знаходиться на.
- \(f\)не на.
- \(g\)знаходиться на.
- \(g\)не на.
(Спростіть свої відповіді в (3) і (4) так, що\(\neg\) застосовується лише до предикатів.)
Не даючи офіційних доказів, давайте продемонструємо, що кожна з наступних функцій не є на.
- \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), Визначені\(f(x) = |x|\).
- \(g:\{1,2,3\} \rightarrow\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}\)визначено\(g=\{(1, b),(2, a),(3, a)\} .\)
Рішення
- Нагадаємо, що абсолютне значення дійсного числа ніколи не може бути від'ємним. Зокрема, ми ніколи не можемо мати\(|x| = −1\) для будь-якого реального числа\(x\). Таким чином, не існує\(x \in \mathbb{R}\), такого, що\(f(x) = −1\). Це показує,\(f\) що не на.
- Зверніть увагу, що\(c\) ніколи не відображається як друга координата впорядкованої пари у цій функції. Це означає, що не існує жодного\(x\), такого, що\(g(x) = \text {c}\). Це означає,\(g\) що не на.
Кожен з наступних наборів впорядкованих пар є функцією від\(\{1,2,3,4,5\}\) до {♣, ♦, ♥, ♠}. Які з функцій знаходяться на? Коротко обгрунтуйте свої відповіді.
- \(a =\){(1, ♣), (2, ♦), (3, ♥), (4, ♠), (5, ♣)}
- \(b =\){(1, ♣), (2, ♥), (3, ♣), (4, ♥), (5, ♣)}
- \(c =\){(1, ♥), (2, ♥), (3, ♥), (4, ♥), (5, ♥)}
- \(d =\){(1, ♦), (2, ♠), (3, ♥), (4, ♠), (5, ♣)}
- \(e =\){(1, ♣), (2, ♠), (3, ♥), (4, ♠), (5, ♣)}
Давайте подивимося, як довести, що функція\(f: A \rightarrow B\) знаходиться на. За визначенням ми хочемо показати:\[\text { for all } b \in B, \text { there is some } a \in A, \text { such that } f(a)=b \text {. }\]
Іншими словами: «»\(\forall b \in B, \exists a \in A,(f(a)=b)\).
Перший квантор\(\forall\); ми зобов'язані довести щось про кожен елемент\(B\). Отже, ми використовуємо\(\forall\) -intrection, тому наше доказ має починатися з речення «\(b\)Дозволяти бути довільним елементом»\(B\). (Втім, це можна скорочувати до: «Дано\(b \in B, \ldots\)») Після цього нашим завданням буде довести «»\(\exists a \in A,(f(a)=b)\).
На даний момент кількісний показник, який стосується нас, є\(\exists\); ми зобов'язані довести, що якийсь елемент\(A\) має певну властивість. Інструментом для цього є\(\exists\) -введення: ми знаходимо (або «конструюємо») відповідний елемент\(A\), а потім перевіряємо, що він робить те, що передбачається. Таким чином, наступним кроком у доказі є «Нехай\(a=? ? ?\)» (де??? потребує заміни відповідним виразом). Тоді залишається лише перевірити, що значення, якому ми присвоїли,\(a\) виконує ту роботу, яку потрібно виконати: обчислити, яка дійсно\(f(a)\) дорівнює\(b\).
Так ось, як виглядає типовий «на»\[\text { Given } b \in B, \text { let } a=\square \text { Then } f(a)=\cdots=b \text {. }\]
доказ: Відповідне значення для a потрібно поставити в поле (можливо, формула, яка залежить від\(b\)), і точки повинні бути заповнені з розрахунком, який показує значення\(f(a)\) є\(b\). (Також, звичайно, деякі букви потрібно буде змінити, якщо назви функції немає\(f\), або якщо множини не називаються\(A\) і\(B\).)
Визначте\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по\(g(x) = 5x − 2\). Показ\(g\) знаходиться на.
Подряпини. Бажаємо показати\(\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}\), (\(g(x) = y\)). За\(\forall\) -вступом перші слова доказу легко: «Дано»\(y \in \mathbb{R}\). Тоді нам потрібно знайти значення\(x\), що робить\(g(x) = y\). Відповідне значення,\(x\) ймовірно, не очевидно, тому ми зробимо деякі подряпини. Ми постулюємо потрібне рівняння\(g(x) = y\) і використовуємо алгебру для його вирішення:\ [\ begin {вирівняний}
g (x) &=y\\
5 x-2 &=y\\
5 x &=y+2\\
x &=\ frac {y+2} {5}.
\ end {aligned}\]
Тепер, коли ми знаємо правильне значення\(x\), легко написати решту доказу.
Рішення
Дано\(y \in \mathbb{R}\), нехай\(x = (y + 2)/5 \in \mathbb{R}\). Тоді\[g(x)=5 x-2=5\left(\frac{y+2}{5}\right)-2=(y+2)-2=y .\]
Кожна формула визначає функцію від\(\mathbb{R}\) до\(\mathbb{R}\). Показати функцію включена.
- \(f(x) = 2x + 1\).
- \(g(x) = 7x − 3\).
- \(h(t) = 4t + 9\).
- \(i(z) = 6 − 11z\).
- \(j(r) = (3r − 4)/5\).
Деякі «на» докази є більш складними, ніж описано вище, тому що може бути неможливо перейти безпосередньо від «даного\(b \in B\)» до «нехай»\(a = \square\). Проблема в тому, що іноді необхідно вставляти розрахунки (або інші пояснення) між «дано\(b\)» і «нехай»\(a\). Деякі приклади цього будуть розглянуті в Вправи\(6.8.14\).
Щоб завершити обговорення, давайте також подивимося, як довести,\(f: A \rightarrow B\) що функція не на. Заперечуючи визначення «на», ми бачимо, що хочемо довести «»\(\exists b \in B, \forall a \in A,(f(a) \neq b)\).
Перший квантор\(\exists\); ми зобов'язані довести, що якийсь елемент\(B\) має певну властивість. Інструмент для цього використовується\(\exists\) -введення: ми знаходимо відповідний елемент\(B\), і тоді нам потрібно буде перевірити, що він робить те, що він повинен. Таким чином, перший крок у доказі - «Нехай\(b = ? ? ?\)» (де??? потребує заміни відповідним виразом). Після цього нашим завданням буде довести «»\(\forall a \in A,(f(a) \neq b)\).
На даний момент кількісний показник, який стосується нас, є\(\forall\); ми зобов'язані довести щось про кожен елемент\(A\). Отже, ми використовуємо\(\forall\) -вступ, тому наступним кроком у нашому доказі є пропозиція «\(a\)Дозволяти бути довільним елементом\(A\)» (або, якщо коротко, «\(a \in A, \ldots\)Giden»). Тоді залишається лише перевірити це\(f(a) \neq b\).
Отже, як виглядає типовий «не на»\[\text { Let } b=\square \in B \text {. Given } a \in A \text {, we have ..., so } f(a) \neq b \text {. }\]
доказ: відповідне значення для\(b\) потрібно поставити в поле, а точки потрібно заповнити поясненням, яке призводить до висновку\(f(a) \neq b\). (Також, як завжди, деякі літери потрібно буде змінити, якщо назви функції немає\(f\), або якщо множини не називаються\(A\) і\(B\).)
Визначте\(e: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по\(e(r) = 1/ ( |r| + 1)\). \(e\)Шоу не на.
Подряпини. Бажаємо довести\(\exists y \in \mathbb{R}, \forall r \in \mathbb{R},(e(r) \neq y)\), тому нам потрібно придумати відповідне значення\(y\). Для цього давайте спробуємо довести, що\(e\) це на. Сподіваємося, ми зіткнемося з неприємностями, і ця складність вкаже нам на хороший вибір для\(y\). А саме, якби\(e\) були на, ми змогли б вирішити рівняння\[e(r)=y\]
Давайте поставимо в визначення\(e(r)\), і використаємо алгебру, щоб спробувати вирішити це рівняння:\ [\ begin {вирівняний}
\ frac {1} {|r|+1} &=y\\
|r|+1 &=\ frac {1} {y}\\
|r| &=\ frac {1} {y} -1
\ end {aligned}\]
Тепер абсолютне значення ніколи не\(|r|\) є від'ємним, але права частина рівняння може бути від'ємною. Наприклад, якщо\(y = −1\), то\[\frac{1}{-1}-1=-1-1=-2<0 .\]
це говорить про те, що ми повинні дозволити\(y = −1\). Маючи це на увазі, ми можемо написати доказ.
Рішення
ДОКАЗ.
Нехай\(y = −1\). З огляду на\(r \in \mathbb{R}\), у нас\(|r| \geq 0\), так\(|r| + 1 \geq 0 + 1 = 1 > 0\). Тому\[e(r)=\frac{1}{|r|+1} \geq 0>-1=y ,\]
так\(e(r) \neq y\). Оскільки\(r\) є довільним елементом домену\(\mathbb{R}\), це означає, що\(e\) це не на.
І іноді вам потрібно буде вирішити, чи є функція на чи ні.
Визначте\(m: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) по\(m(x, y) = x + y\). Є\(m\) на?
Подряпини. Спробуємо довести, що\(m\) це на. (Якщо нам не вдасться,\(m\) це докази, яких немає, і ми спробуємо це довести.) З огляду на\(z \in \mathbb{R}\), ми намагаємося вирішити рівняння\[m(x, y)=z .\]
Іншими словами:\[x+y=z .\]
Легко знайти значення\(x\) і\(y\) які задовольняють рівнянню: мабуть, найпростіше рішення - дозволити\(y = 0\) і\(x = z\). Ми можемо використовувати ці значення, щоб довести, що\(m\) це на.
Рішення
\(m\)знаходиться на.
ДОКАЗ. Дано\(z \in \mathbb{R}\), нехай\((x, y) = (z, 0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Потім\(m(x, y) = x + y = z + 0 = z\).
Кожна формула визначає функцію від\(\mathbb{R}\) до\(\mathbb{R}\). Які з функцій знаходяться на? Доведіть, що ваші відповіді правильні.
- \(f(x) = 1\).
- \(a(x) = x\).
- \(b(t) = t^{2}\).
- \(c(s) = 3s + 2\).
- \(d(r)=\sqrt[3]{r+5}-5.\)
Припустимо\(f: A \rightarrow B\). Показати, що\(f\) знаходиться на, якщо і тільки якщо діапазон\(f\) є\(B\).
(альтернативна термінологія). Деякі математики кажуть «сюрктивність», а не «на». (Як і «ін'єкційний» замість «один до одного», це походить від французької.) Крім того, функція, яка знаходиться на, можна назвати surjection.