6.3: Офіційне визначення
- Page ID
- 65228
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Попередній розділ надав деяку інтуїцію щодо того, як і чому функції представлені у вигляді множин впорядкованих пар, але він зовсім не авторитетний. Ось офіційні визначення.
Припустимо\(A\) і\(B\) є множинами.
- Набір\(f\) - це функція від\(A\) до\(B\) iff
- кожен елемент\(f\) - це впорядкована пара\((a, b)\), така, що\(a \in A\) і\(b \in B\), і
- для кожного\(a \in A\) існує своя унікальна\(b \in B\), така, що\((a, b) \in f\).
- Якщо\(f\) є функцією від\(A\) до\(B\), то
- \(A\)називається доменом\(f\), і
- \(B\)є кодоменом\(f\).
- Ми пишемо «\(f : A \rightarrow B\)», щоб позначити, що\(f\) є функцією від\(A\) до\(B\).
Визначення функції можна висловити в логіці першого порядку:
- Переведіть твердження визначення\(6.3.1(1a)\) в логіку першого порядку.
- Переведіть твердження визначення\(6.3.1(1b)\) в логіку першого порядку.
Припустимо\(f: A \rightarrow B\).
- Для\(a \in A\), зручно мати назву для\(b\) елемента\(B\), такий, що\((a, b) \in f\). Назва, яку ми використовуємо\(f(a)\):\[f(a)=b \text { if and only if }(a, b) \in f \text {. }\]
- Кожен\(a\) елемент\(A\) надає нам\(f(a)\) елемент\(B\). Асортимент\(f\) - це набір, який збирає воєдино всі ці елементи\(f(a)\). Тобто діапазон може бути позначений\(\{f(a) \mid a \in A\}\).\[b \text { is in the range of } f \text { iff there is some } a \in A, \text { such that } b=f(a) \text {. }\]
Припустимо, функція\(f\) визначається\(f(x) = x^{2}\), на домені\(\{0,1,2,4\}\). Потім:
- Щоб представити\(f\) як набір впорядкованих пар, кожен елемент домену повинен з'являтися точно один раз як перша координата, з відповідним виходом, вказаним у другій координаті. Оскільки в домені чотири елементи, то буде чотири впорядковані пари:\(f=\{(0,0),(1,1),(2,4),(4,16)\}\).
- Щоб дати таблицю для\(f\), ми включаємо один рядок для кожного елемента домену. Таблиця буде такою:
- Якщо нас запитають, що є\(f(3)\), відповідь полягає в тому, що\(f(3)\) не існує, тому що 3 не знаходиться в домені\(f\). Незважаючи на те\(3^{2} = 9\), що ми знаємо, що формула, яку ми дали, застосовується\(f\) лише до елементів, які знаходяться в області\(f!\) Це не так\(f(3) = 9\).
- Діапазон\(f\) - це набір можливих виходів: в даному випадку діапазон\(f\) дорівнює\(\{0, 1, 4, 16\}\).
- Якщо нас запитають, що є\(f(2)\), відповідь є\(f(2) = 4\).
- \(f\)Функція від\(\{n \in \mathbb{N} \mid n \leq 4\}\) до\(\{0, 1, 4, 16\}\)? Відповідь ні, тому що перший набір\(\{0, 1, 2, 3, 4\}\), який включає в себе значення 3, але 3 не знаходиться в області\(f\).
- \(f\)Функція від\(\{0, 1, 2, 4\}\) до\(\{n \in \mathbb{N} \mid n \leq 16\}\)? Відповідь так; хоча другий набір має багато значень, яких немає в діапазоні, це можливий кодомен для\(f\). Кодоменом може бути будь-який набір, який містить всі елементи діапазону, тому кожна функція має багато різних кодоменів (але тільки один домен і тільки один діапазон).
- Таблиця праворуч описує певну функцію\(g\).
- Що таке домен\(g\)?
- Який асортимент\(g\)?
- Що таке\(g(6)\)?
- Що таке\(g(7)\)?
- Представляють\(g\) як набір впорядкованих пар.
- Намалюйте діаграму зі стрілками для представлення\(g\).
- Запишіть формулу, яка описує\(g\).
(Експрес з\(g(n)\) точки зору\(n\), за допомогою простих арифметичних операцій.)
- Припустимо
- \(f\)є функцією, домен якої є\(\{0, 2, 4, 6\}\), і
- \(f(x) = 4x − 5\), для кожного\(x\) в домені.
Опишіть функцію кожним із таких способів:- Зробіть стіл.
- Намалюйте схему стрілок.
- Використовуйте впорядковані пари.
- Для заданих наборів\(A\) і\(B\):
- Запишіть кожну функцію\(A\)\(B\) from to як набір впорядкованих пар.
- Запишіть діапазон кожної функції.
- \(A = \{a, b, c\}, B = \{d\}\)
- \(A = \{a, b\}, B = \{c, d\}\)
- \(A = \{a\}, B = \{b, c, d\}\)
- \(A = \{a, b\}, B = \{c, d, e\}\)
[Підказка: Для (i) ви можете припустити, без доказів, що якщо\(A\) має саме\(m\) елементи, і\(B\) має саме\(n\) елементи, то кількість функцій від\(A\) до\(B\) дорівнює\(n^{m}\). (Ви розумієте, чому це правильний номер?)]
- Які з наступних наборів впорядкованих пар є функціями від\(\{x, y, z\}\) до\(\{a, b, c, d, e\}\)?
- Якщо це така функція, то який її діапазон?
- Якщо це не така функція, то поясніть, чому б і ні.
- \(\{(y, a),(x, b),(y, c)\}\)
- \(\{(y, a),(x, b),(z, c)\}\)
- \(\{(y, a),(x, c),(z, a)\}\)
Якщо\(A\) є множиною, то будь-яка функція\(A \times A\) from\(A\) to називається двійковою операцією on\(A\). Однак, коли\(+\) це двійкова операція і\(a, b \in A\), ми пишемо\(a + b\) для значення функції at\((a, b)\), замість запису\(+((a, b))\). Див. розділ\(5.2\) для деяких прикладів і багатьох вправ щодо бінарних операцій.