6.2: Неформальне ознайомлення з функціями

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65243

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ви бачили багато прикладів функцій у попередніх класах математики. Більшість з них, ймовірно, були дані формулами (наприклад,$f(x) = x^{3}$), але функції також можуть бути надані іншими способами. Ключова властивість функції полягає в тому, що вона приймає входи та забезпечує відповідне вихідне значення для кожного можливого входу.

Приклад$6.2.1$.

Для функції$f(x) = x^{3}$ входом$x$ може бути будь-яке дійсне число. Підключення значення for до$x$ формули дає вихідне значення, яке також є дійсним числом. Наприклад, використання в$x = 2$ якості вхідних даних дає вихідне значення$f(2) = 2^{3} = 8$.

Визначення$6.2.2$ (unofficial).

Припустимо$f$, це будь-яка функція.

Безліч допустимих входів$f$ називається доменом$f$.
Якщо$A$ це область$f$, і$B$ є будь-який набір, який містить всі можливі виходи$f$, то ми говоримо, що$f$ це функція від$A$ до$B$. У випадку функції$f(x) = x^{3}$ ми можемо взяти$A$ і обидва бути$B$ множиною дійсних чисел; таким чином,$f$ є функцією від$\mathbb{R} to \mathbb{R}$.

Приклад$6.2.3$.

$g(x) = 1/x$не є функцією від$\mathbb{R}$ до$\mathbb{R}$. Це відбувається тому, що 0 є елементом$\mathbb{R}$, але формула не визначає значення для$g(0)$. Таким чином, 0 не може бути в домені$g$. Щоб виправити цю проблему, можна сказати, що$g$ це функція з безлічі$\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}$ ненульових дійсних чисел, до$\mathbb{R}$.

Інтуїтивно, функція від$A$ до$B$ може вважатися будь-яким процесом, який приймає входи з набору$A$, і призначає елемент множини$B$ кожному з цих входів. Процес не потрібно задавати за формулою. Дійсно, більшість функцій, що виникають в науці або в повсякденному житті, не даються ніякою формулою.

Приклад$6.2.4$.

Кожна точка на поверхні землі має певну температуру прямо зараз, а температура (в градусах Цельсія) є дійсним числом. Таким чином, температура визначає функцію$\text {temp}$ від поверхні землі до$\mathbb{R}$:$\text {temp} (x)$ це температура в точці$x$.
Елементи в продуктовому магазині мають певну ціну, яка становить певну кількість центів, тому їх$\text {price}$ можна розглядати як функцію від набору предметів для продажу до набору всіх$\mathbb{N}$ натуральних чисел:$\text {price}(x)$ це ціна товару$x$ (у центах).
Якщо ми дозволимо$\text {People}$ бути безліччю всіх людей (живих або мертвих), то$\text {mother}$ є функція від$\text {People}$ до$\text {People}$. Наприклад,\[\text { mother(Prince Charles) }=\text { Queen Elizabeth. }\]
(Щоб уникнути двозначності, можливо, слід уточнити, що під «матір'ю» ми маємо на увазі «біологічна мати».)
На відміну від цього,$\text {grandmother}$ це не функція від$\text {People}$ до$\text {People}$. Це пояснюється тим, що у людей є не одна бабуся, а дві (бабуся по материнській лінії і бабуся по батьківській лінії). Наприклад, якщо ми говоримо, що принц Чарльз написав вірш для своєї бабусі, ми не знаємо, чи написав він вірш для матері королеви Єлизавети, або для іншої своєї бабусі. Функції ніколи не дозволяється мати таку неоднозначність. (У технічному плані$\text {grandmother}$ це «відношення», а не функція. Це буде пояснено в розділі$7.1$.)

Функції часто задаються таблицею значень.

Приклад$6.2.5$.

Список цін в магазині є прикладом цього:

$clipboard_e9f51e8299ed416f348a2bad8ef5f33e0.png$

У цьому прикладі:

Домен ціни -$\text { \{apple, banana, cherry, donut, egg }\}$.
$\text { price(banana) }=83$.
$\text { price(guava) }$не існує, тому що не$\text {guava}$ знаходиться в області функції.

Замість того, щоб складати таблицю, математики вважають за краще представляти кожен рядок таблиці впорядкованою парою. Наприклад, перший рядок таблиці - це$\text {apple } \mid 65$. Це має$\text {apple}$ зліва і 65 праворуч, тому ми представляємо його впорядкованою парою$(\text {apple}, 65)$, яка має$\text {apple}$ зліва і 65 праворуч. Другий ряд представлений$(\text {banana}, 83)$. Продовжуючи таким чином, виходить загалом 5 впорядкованих пар (по одній для кожного ряду). Щоб вони зібралися разом, математик кладе їх у набір. Таким чином, замість написання таблиці математик представляв би цю функцію так:\[\{(\text { apple, } 65),(\text { banana }, 83),(\text { cherry, } 7),(\text { donut, } 99),(\text { egg, } 155)\} .\]
Набір впорядкованих пар містить точно таку ж інформацію, що і таблиця значень, але множина є більш зручною формою для математичних маніпуляцій.

Вправа$6.2.6$.

Праворуч - функція,$f$ задана таблицею значень. (Вам не потрібно показувати свою роботу над будь-якими частинами цієї проблеми. )

$clipboard_edb7018d1cfac1a658d85b9b89355af80.png$

Що таке домен$f$?
Що таке$f(3)$?
Представляють$f$ як набір впорядкованих пар.
Знайдіть формулу для представлення$f$.
[Підказка: Існує формула форми$f(x) = ax^{2} + bx + c$.]

Приклад$6.2.7$.

Не кожна таблиця значень представляє функцію. Наприклад, припустимо, що у нас є наступний прайс-лист, який є незначною зміною від Example$6.2.5$:

$clipboard_e6fd11f61098e79dc999953a5a242276a.png$

Тут є проблема, тому що існує дві можливі ціни на банан, в залежності від того, який рядок таблиці розглядається. (Таким чином, ви можете забрати банан, розраховуючи заплатити 83 центи, і в кінцевому підсумку касир стягує з вас $1,55.) Це не допускається у функції: кожен вхід повинен мати рівно один вихід, а не кількість різних можливих виходів. Таким чином, якщо таблиця представляє функцію, а елемент з'являється в лівій частині більш ніж одного рядка, то всі ці рядки повинні мати однакові вихідні дані з правого боку.

Зауваження$6.2.8$.

Таблиця з двома стовпцями представляє функцію$A$ from to$B$ if і тільки якщо:

кожне значення, яке з'являється в лівій колонці таблиці, є елементом$A$,
кожне значення, яке з'являється в правій колонці таблиці, є елементом$B$,
кожен елемент$A$ відображається в лівій частині таблиці, і
жодні два рядки таблиці не мають однакову ліву сторону, але різні праві сторони.

Приклад$6.2.9$.

Які з перерахованих нижче функцій від$\{1, 2, 3\}$ до$\{\text {w, h, o}\}$? (Якщо це не така функція, то поясніть, чому б і ні.)

$\{(1, \mathrm{w}),(1, \mathrm{~h}),(1, \mathrm{o})\}$
$\{(1, \mathrm{~h}),(2, \mathrm{~h}),(3, \mathrm{~h})\}$
$\{(1, \mathrm{~h}),(2, \mathrm{o}),(3, \mathrm{w})\}$
$\{(\mathrm{w}, 1),(\mathrm{h}, 2),(\mathrm{o},3)\}$

Рішення

Це не функція. Оскільки$(1, \mathrm{w})$$(1, \mathrm{~h})$, і$(1,\mathrm{o})$ є все в наборі, є три різних елемента$b$ (не унікальні$b$), такі, що$(1, b)$ є в наборі.
Це така функція.
Це така функція.
Це не така функція, тому що, для$(\mathrm{w}, 1)$ елемента множини, не існує$a$ елементів$\{1, 2, 3\}$ і$b$ з$\{\mathrm{w}, \mathrm{h}, \mathrm{o}\}$, таких що$(\mathrm{w}, 1)=(a, b)$. (Замість цього нам потрібно було б взяти$\{\mathrm{w}, \mathrm{h}, \mathrm{o}\}$ і$a$$b$ в$\{1, 2, 3\}$, що назад від того, що потрібно. По суті,$f$ це функція від$\{\mathrm{w}, \mathrm{h}, \mathrm{o}\}$ до$\{1, 2, 3\}$, а не від$\{1, 2, 3\}$ до$\{\mathrm{w}, \mathrm{h}, \mathrm{o}\}$.)

Вправа$6.2.10$.

Нехай

$A=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}\}$, і
$B=\{1,3,5,7,9,11\}$.

Які з наступних наборів впорядкованих пар є функціями від$A$ до$B$? (Для тих, хто не є, поясніть, чому.)

$\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 3),(\mathrm{c}, 5),(\mathrm{d}, 7),(\mathrm{e}, 9)\}$
$\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 2),(\mathrm{c}, 3),(\mathrm{d}, 4),(\mathrm{e}, 5)\}$
$\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 3),(\mathrm{c}, 5),(\mathrm{d}, 3),(\mathrm{e}, 1)\}$
$\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 3),(\mathrm{c}, 5),(\mathrm{d}, 7),(\mathrm{e}, 9),(\mathrm{a}, 11)\}$
$\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 3),(\mathrm{c}, 5),(\mathrm{e}, 7)\}$
$\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 1),(\mathrm{c}, 1),(\mathrm{d}, 1),(\mathrm{e}, 1)\}$
$\{(\mathrm{a}, \mathrm{a}),(\mathrm{b}, \mathrm{a}),(\mathrm{c}, \mathrm{a}),(\mathrm{d}, \mathrm{a}),(\mathrm{e}, \mathrm{a})\}$
$\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 3),(\mathrm{c}, 5),(\mathrm{d}, 5),(\mathrm{e}, 3),(\mathrm{a}, 1)\}$
$\{(1, \mathrm{a}),(3, \mathrm{a}),(5, \mathrm{a}),(7, \mathrm{a}),(9, \mathrm{a}),(11, \mathrm{a})\}$
$\{(\mathrm{c}, 1),(\mathrm{b}, 3),(\mathrm{e}, 5),(\mathrm{a}, 7),(\mathrm{d}, 9)\}$

Зауваження$6.2.11$.

Іноді корисно представляти функцію,$f: A \rightarrow B$ намалювавши діаграму зі стрілками:

крапка малюється для кожного елемента$A$ і кожного елемента$B$, і
стрілка малюється від$a$ до$f(a)$, для кожного$a \in A$.

Наприклад, припустимо

$A=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}\}$,
$B=\{1,2,3,4\}$, і
$f=\{(\mathrm{a}, 1),(\mathrm{b}, 3),(\mathrm{c}, 4),(\mathrm{d}, 4),(\mathrm{e}, 3)\}$.

Тоді на малюнку праворуч є діаграма зі стрілками$f$.

$clipboard_e4291ddfcac4c9fb86b6a84e86dbe9ada.png$

Зверніть увагу, що:

Існує рівно одна стрілка, що виходить з кожного елемента$A$. Це справедливо для діаграми стрілок будь-якої функції.
У кожному елементі може бути будь-яка кількість стрілок$B$ (можливо, жодна, можливо, одна або, можливо, більше однієї).

Приклад\(6.2.1\).

Визначення\(6.2.2\) (unofficial).

Приклад\(6.2.3\).

Приклад\(6.2.4\).

Приклад\(6.2.5\).

Вправа\(6.2.6\).

Приклад\(6.2.7\).

Зауваження\(6.2.8\).

Приклад\(6.2.9\).

Вправа\(6.2.10\).

Зауваження\(6.2.11\).