Додаток A: Елементи стилю для доказів

Математика полягає у виявленні доказів та їх чіткому та переконливому написанні. Наступні рекомендації застосовуються кожного разу, коли ви пишете докази. Зберігайте ці рекомендації під рукою, щоб ви могли посилатися на них під час написання доказів.

1. Тягар спілкування лежить на вас, а не на вашого читача. Це ваша робота, щоб пояснити свої думки; це не робота вашого читача, щоб вгадати їх з кількох натяків. Ви намагаєтеся переконати скептично налаштованого читача, який вам не вірить, тому вам потрібно сперечатися з герметичною логікою кришталево чистою мовою; інакше читач буде продовжувати сумніватися. Якщо ви щось не написали на папері, то (а) ви цього не повідомляли, (б) читач цього не навчився, і (в) грейдер повинен припустити, що ви цього не знали в першу чергу.

2. Розкажіть читачеві, що ви доводите або цитуєте. Читач не обов'язково знає або пам'ятає, що таке «Теорема 2.13». Навіть професор, який оцінює стопку паперів, може час від часу втрачати трек. Тому твердження, яке ви доводите, має бути на тій же сторінці, що і початок вашого доказу.

   У більшості доказів ви хочете посилатися на більш раннє визначення, задачу, теорему або наслідок. В цьому випадку слід посилатися на твердження за номером, але читачеві також корисно підсумувати висловлювання, яке ви цитуєте. Наприклад, ви можете написати щось на кшталт: «За теоремою 2.3 сума двох послідовних цілих чисел непарна, і так...»

3. Використовуйте англійські слова. Хоча у ваших доказах зазвичай будуть рівняння або математичні твердження, використовуйте англійські речення, щоб з'єднати їх та відобразити їх логічні зв'язки. Якщо ви на докази в підручниках і наукових роботах, то побачите, що вони складаються здебільшого з англійських слів.

4. Використовуйте повні речення. Якби ви написали есе історії у фрагментах речень, читач не зрозуміє, що ви маєте на увазі; так само в математиці ви повинні використовувати повні речення з дієсловами, щоб передати свій логічний хід думки.

   Деякі повні речення можуть бути записані чисто математичними символами, такими як рівняння (наприклад,\(a^3=b^{-1}\)), нерівності (наприклад,\(x<5\)) та інші відносини (наприклад,\(5\big|10\) або\(7\in\mathbb{Z}\)). Ці твердження зазвичай виражають зв'язок між двома математичними об'єктами, такими як числа або множини. Однак вважається поганим стилем починати речення з символів. Поширеною фразою, яку слід використовувати, щоб уникнути початку речення з математичними символами, є «Ми бачимо, що...».

5. Покажіть логічні зв'язки між вашими реченнями. Використовуйте такі фрази, як «Тому», «Таким чином», «Звідси», «Тоді», «з тих пір», «тому що», «якщо..., то...» або «якщо і тільки якщо», щоб з'єднати свої пропозиції.

6. Знайте різницю між твердженнями та об'єктами. Математичний об'єкт - це річ, іменник, такий як множина, елемент, число, впорядкована пара, векторний простір тощо Об'єкти або існують, або не існують. Твердження, з іншого боку, є математичними реченнями: вони або істинні, або хибні.

   Коли ви бачите або пишете кластер математичних символів, переконайтеся, що ви знаєте, чи це об'єкт (наприклад, «\(x^2+3\)») або твердження (наприклад, «\(x^2+3<7\)»). Один із способів сказати полягає в тому, що кожне математичне твердження включає дієслово\(=\)\(\leq\), таке як\(\in\),,, «ділить» тощо.

7. Символ «\(=\)» означає «дорівнює». Не пишіть,\(A=B\) якщо ви не маєте на увазі, що\(A\) насправді дорівнює\(B\). Цей орієнтир здається очевидним, але є велика спокуса бути неохайним. Наприклад, у численні деякі люди можуть писати\(f(x)=x^{2}=2x\) (що є помилковим), коли вони дійсно означають, що «якщо\(f(x)=x^{2}\), то»\(f'(x)=2x\).

8. Чи не поміняються\({=}\) і\({\implies}\). Знак рівності з'єднує два об'єкти, як у «\(x^2=b\)»; символ «\(\implies\)» є абревіатурою «має на увазі» і з'єднує два твердження, як у «»\(a+b=a \implies b=0\). Слід уникати використання\(\implies\) в офіційних записах доказів.

9. Уникайте логічних символів у своїх доказах. Подібно до\(\implies\), вам слід уникати використання логічних символів\(\forall, \exists, \vee, \wedge\), і ⇒ у ваших офіційних записах. Ці символи корисні для скорочення у вашій роботі з подряпинами.

10. Скажіть саме те, що ви маєте на увазі. Так само, як\(=\) іноді зловживають, так і люди іноді пишуть,\(A\in B\) коли вони мають на увазі\(A\subseteq B\), або пишуть,\(a_{ij}\in A\) коли вони означають, що\(a_{ij}\) це запис в матриці\(A\). Математика є дуже точною мовою, і є спосіб сказати, що саме ви маєте на увазі; знайти його і використовувати.

11. Не використовуйте нічого недоведеного. Кожне твердження у вашому доказі має бути чимось, що ви знаєте, щоб бути правдою. Читач очікує, що вашим доказом буде серія тверджень, кожна з яких підтверджена твердженнями, які прийшли до нього. Якщо вам коли-небудь потрібно написати те, що ви ще не знаєте, що це правда, ви повинні передбачити це такими словами, як «припустити», «припустимо» або «якщо», якщо ви тимчасово припускаєте це, або словами на кшталт «нам потрібно показати це» або «ми стверджуємо, що», якщо це ваша мета. В іншому випадку читач буде думати, що він пропустив частину вашого доказу.

12. Запишіть рядки рівностей (або нерівностей) у належному порядку. Коли ваш читач бачить щось подібне,\[A=B\leq C=D,\] вони очікують легко зрозуміти\(A=B\), чому\(B\leq C\), чому і чому\(C=D\), і вони очікують, що точка всієї лінії буде більш складним фактом, що\(A\leq D\). Наприклад, якби ви обчислювали відстань\(d\) точки\((12,5)\) від початку, ви могли б написати\[d = \sqrt{12^2+5^2} = 13.\] У цьому рядку рівностей, перший знак дорівнює істинно теоремі Піфагора, другий - просто арифметика, а висновок що перший пункт дорівнює останньому елементу:\(d=13\).

    Поширеною помилкою є запис рядків рівнянь в неправильному порядку. Наприклад, якби ви написали «\(\sqrt{12^2+5^2}=13=d\)», ваш читач зрозумів би перший знак рівності, був би збентежений щодо того\(d=13\), як ми знаємо, і був би абсолютно здивований щодо того, чому ви хотіли або повинні пройти,\(13\) щоб довести це\(\sqrt{12^2+5^2}=d\).

13. Уникайте циркулярності. Будьте впевнені, що жоден крок у вашому доказі не використовує висновок!

14. Не пишіть доказ назад. Початківці студенти часто намагаються написати такі «докази», які намагаються довести це\(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):\[\begin{aligned} \tan^2(x) & = \sec^2(x) - 1 \\ \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 & = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \\ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} & = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ \sin^2(x) & = 1-\cos^2(x) \\ \sin^2(x) + \cos^2(x) & = 1 \\ 1 & = 1\end{aligned}\] Зверніть увагу, що тут сталося: студент почав з висновку, і вивів істинне твердження «»\(1=1\). Іншими словами, вони довели «Якщо\(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\), то»\(1=1\), що вірно, але вкрай нецікаво.

    Тепер це не поганий спосіб знайти докази. Робота назад від своєї мети часто є хорошою стратегією на вашому скретч-папері, але коли настав час написати свій доказ, ви повинні почати з гіпотез і працювати до висновку.

    Ось приклад відповідного доказу бажаного результату, де кожне вираз випливає з того, що відразу ж його випливає:\[\begin{aligned} \sec^2(x) - 1 & = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1\\ & = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 \\ & = \left(\tan(x)\right)^2 \\ & = \tan^2(x).\end{aligned}\]

15. Будьте лаконічні. Багато початківців письменників-доказів помиляються, пишучи свої докази занадто короткі, так що читач не може зрозуміти їх логіку. Тим не менш, цілком можливо бути занадто багатослівним, і якщо ви виявите собі написання повносторінкового есе, можливо, що у вас дійсно немає доказів, а просто деяка інтуїція. Коли ви знайдете спосіб перетворити цю інтуїцію на формальний доказ, вона буде набагато коротшою.

16. Введіть кожен символ, який ви використовуєте. Якщо ви використовуєте букву «»\(k\), читач повинен точно знати, що\(k\) таке. Хороші фрази для введення символів включають «Нехай»\(n\in \mathbb{N}\), «\(k\)Дозволяти бути найменш цілим таким, що...», «Для кожного дійсного числа\(a\)...» та «Припустимо\(A\subseteq\mathbb{R}\ldots\)».

17. Використовуйте відповідні квантори (один раз). Коли ви вводите змінну\(x\in S\), вашому читачеві повинно бути зрозуміло, чи маєте ви на увазі «для всіх\(x\in S\)» або просто «для деяких»\(x\in S\). Якщо ви просто говорите щось на кшталт «\(y=x^2\)де»\(x\in S\), слово «де» не вказує, чи маєте ви на увазі «для всіх» або «деякі».

    Фрази, що вказують на квантор «для всіх\(x\in S\)», включають «Нехай»; «для всіх\(x\in S\)»; «для кожного\(x\in S\)»; «для кожного\(x\in S\)»; і т.д. фрази, що вказують кількісний показник «якийсь» або «існує») включають «для деяких\(x\in S\)»; «існує an\(x\in S\)»; «для відповідного вибору\(x\in S\)»; і т.д.

    Після того, як ви сказали «Нехай»\(x\in S\), буква\(x\) має своє значення. Не потрібно знову говорити «за всіх\(x\in S\)», і вам точно не варто говорити «нехай\(x\in S\)» знову.

18. Використовуйте символ, щоб означати лише одне. Як тільки ви використовуєте лист\(x\) один раз, його значення фіксується на час вашого доказу. Ви не можете\(x\) використовувати щось інше. Є виняток з цього керівництва. Іноді доказ буде включати кілька піддоказів, які відрізняються один від одного. У цьому випадку ви можете повторно використовувати змінну або символ до тих пір, поки читачеві зрозуміло, що ви зробили висновок з попереднім підзахистом і перейшли на новий підзахисний.

19. Чи не «доводити на прикладі». [pfbyexample] Більшість проблем просять вас довести, що щось істинно «для всіх» —Ви не можете довести це, наводячи один приклад, а то й сотню. Ваш доказ повинен бути логічним аргументом, який тримає для кожного прикладу, можливо, може бути.

    З іншого боку, якщо твердження, яке ви намагаєтеся довести, передбачає існування математичного об'єкта з певною властивістю, то достатньо навести конкретний приклад.

20. Пишіть «Нехай»\(x=\dots\), а не «Нехай»\(\dots=x\). Якщо у вас є існуючий вираз\(a^{2}\), скажімо, і ви хочете дати йому нове, більш просте ім'я\(b\), наприклад, ви повинні написати «Дозволити»\(b=a^{2}\), що означає «Нехай новий символ\(b\) означає»\(a^{2}\). Ця конвенція дає зрозуміти читачеві, що\(b\) є абсолютно новим символом і\(a^{2}\) є старим виразом, який він вже розуміє.

    Якби ви написали його назад, кажучи «Нехай»\(a^{2}=b\), то ваш здивований читач запитав би: «А що, якщо\(a^{2}\neq b\)?»

21. Зробіть свої контрприклади конкретними і конкретними. Докази повинні бути цілком загальними, але зустрічніприклади повинні бути конкретними. Коли ви наводите приклад або зустрічнийприклад, зробіть його максимально конкретним. Для множини, наприклад, необхідно вказати його елементи, а для функції потрібно вказати відповідне відношення (можливо, алгебраїчне правило) і його домен і кодомен. Не кажіть такі речі, як «\(f\)може бути один до одного, але не на»; натомість надайте фактичну функцію,\(f\) яка є один-на-один, але не на.

22. Не включайте приклади в докази. У тому числі приклад дуже рідко додає що-небудь до вашого доказу. Якщо ваша логіка звукова, то їй не потрібен приклад, щоб створити резервну копію. Якщо ваша логіка погана, десяток прикладів їй не допоможе (див. Рекомендації [pfbyexample]). Є лише дві вагомі причини включити приклад в доказ: якщо це контрприклад, що спростовує щось, або якщо ви виконуєте складні маніпуляції в загальній обстановці і приклад якраз для того, щоб допомогти читачеві зрозуміти, про що ви говорите.

23. Використовуйте скретч-папір. Пошук вашого доказу буде довгим, потенційно безладним процесом, повним помилкових стартів і тупиків. Робіть все це на папері для подряпин, поки не знайдете справжній доказ, і лише потім виламуйте чистий папір, щоб ретельно написати остаточний доказ.

    Лише речення, які насправді сприяють вашому доказуванню, повинні бути частиною доказу. Не просто виконуйте «звалище мозку», кидаючи все, що ви знаєте, на папір, перш ніж показувати логічні кроки, які доводять висновок. Ось для чого потрібен скретч-папір.