Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2: Ірраціональність √2

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65514

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У цьому розділі ми доведемо одну з найдавніших і найважливіших теорем в математиці:\(\sqrt{2}\) є ірраціональною (див. Теорему 6.19). По-перше, нам потрібно знати, що це означає.

    Визначення 6.18. Нехай\(r\in\mathbb{R}\).

    1. Ми говоримо,\(r\) що раціонально якщо\(r=\frac{m}{n}\), де\(m,n\in\mathbb{Z}\) і\(n\neq 0\).
    2. На відміну від цього, ми говоримо, що\(r\) це нераціонально, якщо це не раціонально.

    Піфагорійці були давнім таємним суспільством, яке слідувало за своїм духовним лідером: Піфагор Самоський (c. 570—495 до н.е.). Піфагорійці вважали, що шлях до духовного виконання і до розуміння Всесвіту лежить через вивчення математики. Вони вважали, що всю математику, музику та астрономію можна описати цілими числами та їх співвідношеннями. У сучасному математичному плані вони вважали, що всі числа раціональні. До Піфагора приписується приказка: «Блаженніший - це знання досконалості чисел душі». А їх девізом був «Все - це число».

    Таким чином, вони були приголомшені, коли один із їхніх власних—Гіппас Метапонтум (c. 5 століття до н.е.) - виявив, що сторона і діагональ квадрата несумірні. Тобто відношення довжини діагоналі до довжини боку нераціонально. Дійсно, якщо сторона квадрата має довжину\(a\), то діагональ матиме довжину\(a\sqrt{2}\); співвідношення є\(\sqrt{2}\) (див. Рис.

    6.1.png
    Малюнок 6.1: Сторона і діагональ квадрата несумірні.

    У розділі 5.1 ми сприймали як належне, що\(\sqrt{2}\) було нераціонально. Ми зараз доведемо цей факт. Подумайте про використання доказу через протиріччя. Припустимо, що існують\(m,n\in\mathbb{Z}\) такі, що\(n\ne 0\) і\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\). Чи є непарне або парне число множників по 2 з кожного боку цього рівняння? Ваш висновок порушує фундаментальну теорему арифметики (теорема 6.17)?

    Теорема 6.19. Справжнє число\(\sqrt{2}\) є ірраціональним.

    Як і слід було очікувати, піфагорійці були незадоволені цим відкриттям. Легенда свідчить, що Гіппас був вигнаний з піфагорійців і, можливо, був потоплений в морі. Як не дивно, цей результат, який так сильно розлютив піфагорійців, є, мабуть, найбільшим їх внеском в математику: відкриття ірраціональних чисел.

    Подивіться, чи можете ви узагальнити техніку в доведенні теореми 6.19, щоб довести наступні дві теореми.

    Теорема 6.20. \(p\)Дозволяти просте число. Тоді\(\sqrt{p}\) нераціонально.

    Теорема 6.21. \(q\)Дозволяти\(p\) і бути відмінними простими числами. Тоді\(\sqrt{pq}\) нераціонально.

    Завдання 6.22. Створіть узагальнення теореми 6.21 і коротко опишіть, як буде йти її доказ. Будьте максимально загальні.

    Важливо зазначити, що не кожне додатне ірраціональне число дорівнює квадратному кореню якогось натурального числа. Наприклад,\(\pi\) нераціонально, але не дорівнює квадратному кореню натурального числа.