1.5: Деякі мінімальні вказівки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65473

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Особливо у вступних розділах не буде зрозуміло, які факти з вашого попереднього досвіду в математиці вам «дозволено» використовувати. На жаль, вирішити це питання складно і це те, що ми будемо розбиратися по дорозі. Крім того, ви, ймовірно, не знайомі з тим, як структурувати дійсний математичний доказ. Щоб ви не відчували себе повністю покинутими, ось кілька рекомендацій, про які слід пам'ятати, коли ви починаєте писати докази.

Заява, яку ви доводите, має бути на тій же сторінці, що і початок вашого доказу.
Ви повинні вказати, де починається доказ, написавши «Доказ. «на початку.
Дайте зрозуміти собі і читачеві, які ваші припущення знаходяться на самому початку вашого доказу. Зазвичай ці твердження починаються з «Припустимо...», «Припустимо...» або «Нехай...». Іноді будуть якісь неявні припущення, які ми можемо опустити, але принаймні на початку, ви повинні отримати звичку чітко висловлювати свої припущення наперед.
Уважно продумайте порядок, в якому ви пишете свій доказ. Кожне речення має випливати з більш раннього речення у вашому доказі або, можливо, результату, який ви вже довели.
На відміну від досвіду, який багато хто з вас мали письмові докази у вашому класі геометрії середньої школи, наші докази повинні бути написані в повних реченнях. Вам слід розбити розділи доказу на абзаци та використовувати правильну граматику. Існують деякі педантичні умовності для цього, які будуть вказані на цьому шляху. Спочатку це буде проблемою, з якою ви можете боротися, але ви отримаєте повісити його.
Буде багато ситуацій, коли ви захочете посилатися на більш раннє визначення, проблему, теорему або наслідок. В цьому випадку слід посилатися на твердження за номером, але читачеві також корисно підсумувати висловлювання, яке ви цитуєте. Наприклад, ви можете написати щось на кшталт: «Згідно з теоремою 2.3, сума двох послідовних цілих чисел непарна, і так...» або «За визначенням ділів (визначення 2.5) випливає, що...». Варто зазначити, що якщо ми цитуємо визначення, теорему чи задачу за числом, ми повинні робити великі літери «Визначення», «Теорема» або «Задача» відповідно (наприклад, «Відповідно до теореми 2.3...»). В іншому випадку ми не робимо ці слова з великої літери (наприклад, «За визначенням дільників...»).
Будуть випадки, коли нам потрібно буде зробити деякі основні алгебраїчні маніпуляції. Ви повинні сміливо робити це щоразу, коли виникне необхідність. Але слід проявити достатню роботу по дорозі. Крім того, слід організувати свої розрахунки так, щоб кожен крок виходив з попереднього. Має значення порядок, в якому ми пишемо речі. Вам не потрібно записувати обґрунтування для основних алгебраїчних маніпуляцій (наприклад, додавання 1 до обох сторін рівняння, додавання та віднімання однакової кількості на одній стороні рівняння, додавання подібних термінів, факторинг, базове спрощення тощо).
З іншого боку, вам потрібно зробити явне обґрунтування логічних кроків у доказі. Як зазначено вище, ви повинні навести попереднє визначення, теорему тощо, коли це необхідно.
Подібно до того, щоб зрозуміти, де починається ваш доказ, ви повинні вказати, де воно закінчується. Загальноприйнято укладати доказ зі стандартною «доказовою коробкою» (\(\square\)або\(\blacksquare\)). Цей маленький квадрат в кінці доказу іноді називають надгробним каменем або символом Халмоса після американського математика, що народився в Угорщині, Пола Хальмоса (1916—2006).

Надзвичайно важливо, щоб ви працювали, щоб зрозуміти кожен доказ. Питання, які задаються інструктору, вашим колегам і вам самим - часто є найкращим інструментом для визначення того, чи розумієте ви докази. Інший спосіб допомогти вам обробити та зрозуміти докази - спробувати зробити спостереження та зв'язки між різними ідеями, твердженнями та методами доказів, а також порівняти різні підходи.

Якщо ви хочете отримати додаткові вказівки, перш ніж копатися, перегляньте рекомендації в Додатку А: Елементи стилю для доказів. Пропонується періодично переглядати цей додаток, коли ви просуваєтесь у книзі, оскільки деякі вказівки спочатку можуть не мати сенсу або здаватися релевантними. Будьте готові витратити багато часу і виконати всю роботу. Ваші зусилля окупляться в інтелектуальному розвитку. Тепер ідіть, отримуйте задоволення і починайте вивчати математику!