9.1: Відповіді

Розділ 2.1

Лише (a), (c) і (e) є твердженнями.
1. помилкові
2. помилкові
3. помилкові
4. істинний
1. $\pi\notin\mathbb{Z}$
2. $1^3+2^3+3^3 \neq 3^2\cdot4^2/4$
3. $u$не є голосною
4. Це твердження або істинне, або хибне.
1. істинний
2. істинний
3. істинний
4. помилковий
5. помилковий
6. істинний
За визначенням раціональне число можна записати у вигляді співвідношення двох цілих чисел. Після множення чисельника на 7, у нас залишається співвідношення двох цілих чисел. І навпаки, задавши будь-яке раціональне число$x$, ми можемо помножити знаменник на 7, отримаємо ще одне раціональне число$y$ таке, що$7y=x$. Отже, дві множини$7\mathbb{Q}$ і$\mathbb{Q}$ містять однакову колекцію раціональних чисел. На відміну від цього,$0\mathbb{Q}$ містить лише одне число, а саме 0. Тому,$0\mathbb{Q}\neq\mathbb{Q}$.

Розділ 2.2

1. $p\wedge q$
2. $\overline{q}\wedge r$
3. $\overline{p}\vee \overline{q}$
4. $(p\vee q) \wedge \overline{p\wedge q}$
1. $p\wedge q$; завжди false незалежно від значення$r$.
2. $p\vee q$; завжди вірно незалежно від значення$r$.
3. $(p\wedge q)\vee r$; true якщо$r$ є true, і false, якщо$r$ є помилковим.
4. $\overline{q}\wedge r$; true якщо$r$ є true, і false, якщо$r$ є помилковим.
1. помилковий
2. істинний
1. $(4\leq x)\wedge (x\leq 7)$
2. $(4 < x)\wedge (x\leq 7)$
3. $(4\leq x)\wedge (x < 7)$

Розділ 2.3

1. $p\Rightarrow q$
2. $r\Rightarrow p$
3. $\overline{p}\Rightarrow q$
4. $\overline{p}\Rightarrow r$
5. $(\overline{p}\wedge q)\Rightarrow r$
1. $p\Rightarrow q$, Що є помилковим.
2. $p\Rightarrow r$, який є істинним, якщо$r$ є істинним, і є помилковим, якщо$r$ є помилковим.
3. $(p\vee q)\Rightarrow r$, який є істинним, якщо$r$ є істинним, і є помилковим, якщо$r$ є помилковим.
1. $x^3-3x^2+x-3=0 \Rightarrow x=3$
2. $x^3-3x^2+x-3=0 \Rightarrow x=3$
3. $x=3 \Rightarrow x^3-3x^2+x-3=0$
\ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|c|}\ hline p & q & r & p\ клин q & (р\ клин q)\ ве r\\ hline T &T & T\\ qquad\; T\ T &F & T &\ qquad\; T\ T & F &\ qquad; T\\ T &F & F & F &\ qquad\; F\ F &T & F &\ qquad\; T\\ F &F & F &\ qquad\; F\ F &F & F & F &\ qquad\; T\\ F &F & F &\ qquad\; F\ qquad\; F\\ hline\ кінець {масив}\ hspace {0.5in}
\ почати {масив} {|c|c|c|c|c|c|}\ hline p & q & p\ vee q & p\ клин r & (p\ vee q)\ Стрілка вправо (р\ клин r)\\ T & T & T & T & T & T\ T & T\ T & T & F & F\ T & F & F\ T & T & T & T\ T & F & T & T\ T & F & F & F\ F & F & F\ F & F & F\ F & F & F & F\ F & F & F\ F & F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ F & F\ & F & F & F & F & T\\\ hline\ кінець {масив}\)
1. Використовуючи таблицю істинності, ми виявляємо, що підтекст$(p\wedge q) \Rightarrow(q\vee r)$ завжди вірний. Отже, ніяке значення істини не$p$ зробило б$(p\wedge q)\Rightarrow(q\vee r)$ помилковим.
2. З таблиці істинності, ми знаходимо, що,$(q\wedge r)\Rightarrow (p\wedge q)$ є помилковим лише тоді, коли$p$ є помилковим. Ми можемо зробити такий же висновок, не використовуючи жодної таблиці істинності. Імплікація є помилковою лише тоді, коли його гіпотеза (в даному випадку,$q\wedge r$) вірна, а висновок (в даному випадку$p\wedge q$) помилковий. $q\wedge r$Щоб бути правдою, нам потрібно і те,$q$ і$r$ інше, і бути правдою. Тепер$q$ істинно і$p\wedge q$ є помилковим вимагають$p$, щоб бути помилковим.

Розділ 2.4

1. $p\Leftrightarrow q$
2. $r\Leftrightarrow\overline{p}$
3. $r\Leftrightarrow(q\wedge\overline{p})$
4. $r\Leftrightarrow(p\wedge q)$
1. $p\Leftrightarrow q$, Що є помилковим.
2. $p\Leftrightarrow r$, який є істинним, якщо$r$ є істинним, і є помилковим, якщо$r$ є помилковим.
3. $(p\vee q)\Leftrightarrow r$, який є істинним, якщо$r$ є істинним, і є помилковим, якщо$r$ є помилковим.
1. істинний
2. помилковий
3. помилковий
4. помилковий
Ми говоримо$n$, що це непарно, якщо і тільки якщо$n=2q+1$ для деякого цілого числа$q$.

Розділ 2.5

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\vee q & \overline{p\vee q} & \overline{p} & \overline{q} & \overline{p}\wedge\overline{q} \\ \hline T & T & T & F & F & F & F \\ T & F & T & F & F & T & F \\ T & T & T & F & T & F & F \\ T & F &F & T & T & T & T \\ \hline \end{array}$
Тільки (б) - це тавтологія, як зазначено в таблицях істинності нижче.
1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \overline{p} & \overline{p}\vee q & (\overline{p}\vee q)\Rightarrow p \\ \hline T & T & F & T & \qquad\;T \\ T & F & F & F & \qquad\;T \\ F & T & T & T & \qquad\; F \\ F & F & T & T & \qquad\; F \\ \hline \end{array}$
2. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{q} & p\Rightarrow\overline{q} & (p\Rightarrow q)\vee(p\Rightarrow\overline{q}) \\ \hline T &T &T & F & F &T \\ T &F &F & T & T &T \\ F &T &T & F & T &T \\ F &F &F & T & T &T \\ \hline \end{array}$
3. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & r & p\Rightarrow q & (p\Rightarrow q)\Rightarrow r \\ \hline T &T &T & T & \qquad\quad T \\ T &T &F & T & \qquad\quad F \\ T &F &T & F & \qquad\quad T \\ T &F &F & F & \qquad\quad T \\ F &T &T & T & \qquad\quad T \\ F &T &F & T & \qquad\quad F \\ F &F &T &T & \qquad\quad T \\ F &F &F &T & \qquad\quad F \\ \hline \end{array}$
Докази виводяться нижче без пояснень. Обов'язково заповніть їх.
1. $\begin{array}{lclc} (p\wedge q)\Rightarrow r &\equiv& \overline{p\wedge q}\vee r & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \\ &\equiv& (\overline{p}\vee\overline{q})\vee r & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \\ &\equiv& \overline{p}\vee(\overline{q}\vee r) & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \\ &\equiv& p\Rightarrow(\overline{q}\vee r) & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \end{array}$
2. $ \begin{array}{lclc} (p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (p\Rightarrow\overline{r}) &\equiv& (\overline{p}\vee\overline{q}) \wedge (\overline{p}\vee\overline{r}) & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \\ &\equiv& \overline{p}\vee(\overline{q}\wedge\overline{r}) & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \\ &\equiv& \overline{p}\vee\overline{q\vee r} & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \\ &\equiv& \overline{p\wedge(q\vee r)} & ( \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;) \end{array}$

Конверс:	Якщо$ABC$ трикутник - прямокутний трикутник,$ABC$ то рівнобедрений
	і містить кут 45 градусів.
Зворотний:	Якщо$ABC$ трикутник не рівнобедрений або не містить кута
	45 градусів, то$ABC$ це не прямокутний трикутник.
Контрапозитивні:	Якщо трикутник не$ABC$ є прямокутним трикутником, то не$ABC$ є рівнобедреним
	або не містить кута 45 градусів.

Конверс:	Якщо чотирикутник$ABCD$ - це і прямокутник, і ромб,
	потім$ABCD$ - квадрат.
Зворотний:	Якщо$ABCD$ чотирикутник не квадрат,
	то це не прямокутник або не ромб.
Контрапозитивні:	Якщо чотирикутник не$ABCD$ є прямокутником або не ромбом,
	то$ABCD$ це не квадрат.

1. істинний
2. істинний
3. помилковий
Тільки (б).
1. $p\wedge q$
2. $p\wedge\overline{q}$
3. $p\wedge q$

Розділ 2.6

1. Існує ціле число$n$ таке, що$n$ є простим і$n$ парним.
2. Для всіх цілих чисел$n$$n>2$, якщо, то$n$ є простим або$n$ парним.
3. Існує ціле число$n$ таке, що$n$ є простим, і або$n$ парним або$n>2$.
4. Для всіх цілих чисел$n$, якщо$n$ просте і$n$ парне, то$n\leq2$.
1. істинний
2. істинний
3. помилковий
4. помилковий
5. істинний
1. $\exists x<0\,\exists y,z\in\mathbb{R}\,(y<z \wedge xy\leq xz)$
2. $\exists x\in\mathbb{Z}\,[\overline{p(x)}\wedge\overline{q(x)}]$
3. $\exists x,y\in\mathbb{R}\,[p(x,y)\wedge\overline{q(x,y)}]$

$\forall x,y\in\mathbb{R}\,(x+y=y+x)$

$\exists x,y\in\mathbb{R}\,(x+y\neq y+x)$

Існують дійсні числа$x$ і$y$ такі, що$x+y\neq y+x$.

$\forall x\in\mathbb{R}^+\,\exists y\in\mathbb{R}\,(y^2=x)$

$\exists x\in\mathbb{R}^+\,\forall y\in\mathbb{R}\,(y^2\neq x)$

Існує додатне дійсне число,$x$ таке, що для всіх дійсних чисел$y$,$y^2\neq x$.

$\exists y\in\mathbb{R}\,\forall x\in\mathbb{Z}\,(2x^2+1>x^2y)$

$\forall y\in\mathbb{R}\,\exists x\in\mathbb{Z}\,(2x^2+1\leq x^2y)$

Для кожного дійсного числа$y$ існує ціле число$x$ таке, що$2x^2+1\leq x^2y$.

Твердження «квадрат повинен бути паралелограмом» означає, символічно,\[\forall PQRS\,(PQRS \mbox{ is a square} \Rightarrow PQRS \mbox{ is a parallelogram}), \nonumber\] але твердження «квадрат не повинен бути паралелограмом» означає\[\forall PQRS\,(PQRS \mbox{ is a square} \Rightarrow PQRS \mbox{ is not a parallelogram}). \nonumber\] Друге твердження не є запереченням першого. Правильне заперечення, в символі, є\[\exists PQRS\,(PQRS \mbox{ is a square} \wedge PQRS \mbox{ is a parallelogram}). \nonumber\] У словах, це означає «існує квадрат, який не є паралелограмом».

Розділ 3.1

Розміщення шести доміно горизонтально в кожному ряду охоплює всю шахову дошку.
Нехай$f(x)=x^3-12x+2$. З наступної діаграми\[\begin{array}{|c||*{9}{r|}} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & -14 & 12 & 18 & 13 & 2 & -9 & -14 & -7 & 18 \\ \hline \end{array} \nonumber\] ми робимо висновок, що$x^3-12x+2=0$ є рішення між$-4$ і$-3$, ще один між 0 і 1, і третій між 3 і 4. Таким чином, він має принаймні три реальних рішення.
Зауваження. Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що дійсний поліном ступеня$n$ має більшість$n$ реальних коренів. Значить, дане рівняння має рівно три реальних рішення.

$n=3$.

Розділ 3.2

Ні,$2^3+1=9$ є складовим.

Згідно з (i), число$\sqrt{2}$ нераціональне. Це випливає з (ii),$\sqrt[4]{2} = \sqrt{\sqrt{2}}$ що також нераціонально. Застосовуючи (ii) ще раз, ми робимо висновок, що$\sqrt[8]{2} = \sqrt{\sqrt[4]{2}}$ це нераціонально.
1. Твердження помилкове, тому що$(-3)^2 > (-2)^2$, але$-3\not>-2$.
2. Твердження помилкове, тому що коли$n=41$,\[n^2+n+41 = 41^2+41+41 = 41(41+1+1) = 41\cdot 43 \nonumber\] є складовим.

Розділ 3.3

1. Доведемо контрапозитив даного твердження. Тобто ми доведемо, що якщо$n$ непарне, то$n^2$ непарне. Якщо$n$ непарний, ми можемо написати$n=2q+1$ для деякого цілого числа$q$. Тоді\[n^2 = (2q+1)^2 = 4q^2+4q+1 = 2(2q^2+2q)+1, \nonumber\] де$2q^2+2q$ - ціле число. Це показує, що$n^2$ це непарно.
2. Припустимо, що дане твердження є помилковим. Тобто припустимо$n^2$ парне, але$n$ непарне. Так як$n$$n=2q+1$ непарна, для деякого цілого числа$q$. Тоді\[n^2 = (2q+1)^2 = 4q^2+4q+1 = 2(2q^2+2q)+1, \nonumber\] де$2q^2+2q$ - ціле число. Це показує, що$n^2$ є непарним, що суперечить припущенню,$n^2$ що парне. Тому дане твердження має бути вірним.

Припустимо, існують деякі цифри$a\neq b$ такі, що$a^2+b^2=2ab$. Тоді\[0 = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 \nonumber\] б це мав на увазі$a=b$. Це суперечить припущенню, що$a\neq b$. Тому,$a^2+b^2\neq 2ab$.

Припустимо$(p\Rightarrow q) \vee (p\Rightarrow \overline{q})$, є помилковим для деяких логічних тверджень$p$ і$q$. Щоб диз'юнкція була помилковою, нам потрібно

$p\Rightarrow q$бути помилковим, і
$p\Rightarrow \overline{q}$бути помилковим.

Вони в свою чергу вимагають

$p$бути істинним і$q$ бути помилковим, і
$p$бути правдою і$\overline{q}$ бути хибним.

Наявність$\overline{q}$ помилкового означає, що$q$ це правда, що суперечить тому, що ми знайшли. Тому дана логічна формула завжди вірна, отже, тавтологія.

Розділ 3.4

Приступаємо по індукції далі$n$. Коли$n=1$, ліва сторона тотожності зводиться до$1^3=1$, а права стає$\frac{1^2\cdot2^2}{4}=1$. Отже, ідентичність тримається коли$n=1$. Припустімо, що ідентичність тримає, коли$n=k$ для$k\geq1$ деякого цілого числа; тобто припустити\[1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} \nonumber\] для деякого цілого числа$k\geq1$. Ми хочемо показати, що він також тримається коли$n=k+1$; тобто ми хочемо показати, що\[1^3+2^3+3^3+\cdots+(k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}. \nonumber\] Використовуючи індуктивну гіпотезу, ми знаходимо\[\begin{array}{rcl} 1^3+2^3+3^3+\cdots+(k+1)^3 &=& 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3 \\ &=& \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \\ &=& \frac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{4} \\ &=& \frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4} \\ &=& \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}. \end{array} \nonumber\] Отже, ідентичність також тримається коли$n=k+1$. На цьому індукція закінчена.

Розділ 3.5

1. Приступаємо по індукції далі$n$. Коли$n=1$, продукт$n(n+1)(n+2)$ стає$1\cdot2\cdot3=6$, який, очевидно, кратний 3. Отже, позов тримається коли$n=1$. Припустимо, що претензія тримає, коли$n=k$ для$k\geq1$ деякого цілого числа;$k(k+1)(k+2)$ тобто припустимо, що кратне 3 для деякого цілого числа$k\geq1$. Тоді ми можемо написати\[k(k+1)(k+2) = 3q \nonumber\] для деякого цілого числа$q$. Ми хочемо показати, що позов залишається дійсним, коли$n=k+1$. Тобто ми хочемо показати, що$(k+1)(k+2)(k+3)$ це також кратне 3. Таким чином, ми хочемо, щоб знайти ціле число$Q$ таких, що\[(k+1)(k+2)(k+3) = 3Q. \nonumber\] ми відзначаємо, що, використовуючи індуктивну гіпотезу,\[\begin{array}{rcl} (k+1)(k+2)(k+3) &=& k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2) \\ &=& 3q + 3(k+1)(k+2) \\ &=& 3\,[q+(k+1)(k+2)], \end{array} \nonumber\] де$q+(k+1)(k+2)$ є ціле число. Отже,$(k+1)(k+2)(k+3)$ кратна 3. На цьому індукція закінчена.

1. $S_n=1-\frac{1}{(n+1)!}$для всіх цілих чисел$n\geq1$.
1. $T_n = \frac{n+1}{2n+3}$для всіх цілих чисел$n\geq0$.

Розділ 3.6

Приступаємо по індукції далі$n$. Коли$n=1$, ліва сторона тотожності зводиться до$F_1^2=1^2=1$, а права стає$F_1F_2=1\cdot1=1$. Отже, ідентичність тримається коли$n=1$. Припустімо, що ідентичність тримає, коли$n=k$ для$k\geq1$ деякого цілого числа; тобто припустити\[F_1^2+F_2^2+F_3^2+\cdots+F_k^2 = F_k F_{k+1} \nonumber\] для деякого цілого числа$k\geq1$. Ми хочемо показати, що він також тримається коли$n=k+1$; тобто ми хочемо показати, що\[F_1^2+F_2^2+F_3^2+\cdots+F_{k+1}^2 = F_{k+1} F_{k+2}. \nonumber\] Використовуючи індуктивну гіпотезу, ми знаходимо\[\begin{array}{rcl} F_1^2+F_2^2+F_3^2+\cdots+F_{k+1}^2 &=& F_1^2+F_2^2+F_3^2+\cdots+F_k^2+F_{k+1}^2 \\ &=& F_k F_{k+1} + F_{k+1}^2 \\ &=& F_{k+1} (F_k+F_{k+1}) \\ &=& F_{k+1} F_{k+2}. \end{array} \nonumber\] Отже, ідентичність також тримається коли$n=k+1$. На цьому індукція закінчена.

Розділ 4.1

1. $\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}$
2. $\{1,2,3\}$
3. $\{0,-2,3\}$
4. $\{-3,3\}$
1. $\{n\in\mathbb{Z} \mid n<0\}$
2. $\{n\in\mathbb{Z} \mid n \text{ is a perfect cube}\}$
3. $\{n\in\mathbb{Z} \mid n \text{ is a perfect square}\}$
1. $\mathbb{Z}^-$
4. $5\mathbb{Z}$
6. $4+6\mathbb{Z}$
  Зауваження. Ми не можемо писати (b) як$\mathbb{Z}^3$ і (c) як$\mathbb{Z}^2$, тому що$\mathbb{Z}^3$ і$\mathbb{Z}^2$ означають щось інше. Якщо скинути 0 з (e), то$\{4,8,12,\ldots\}=4\mathbb{N}$. Однак включення 0 ускладнює опис (d) у вигляді$4S$.
1. $(-4,7)$
2. $(-4,7]$
3. $(0,7]$
1. 10
2. 11
3. 7
1. істинний
2. істинний
3. істинний
4. помилковий
1. Некоректно писати,$(3,7]=3<x\leq7$ тому що$(3,7]$ це набір, але$3<x\leq7$ є логічним твердженням.
2. Ні, тому що обидва$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2<0\}$ і$\emptyset$ є множинами, тому ми повинні використовувати знак рівності, щоб порівняти їх. Позначення застосовується$\equiv$ тільки до логічних тверджень. Правильний спосіб сказати, що це «»$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2<0\} = \emptyset$.

Розділ 4.2

1. істинний
2. істинний
3. істинний
4. істинний
5. істинний
6. помилковий
У нас є$\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N}$ тому, що$n$ кожне ціле число також раціональне число, як ми можемо записати його як раціональне число$\frac{n}{1}$.
Так, це перехідне властивість.
1. $\big\{\emptyset,\{a\},\{\{b\}\},\{a,\{b\}\}\big\}$
1. False, оскільки$\{a\}$ множина не може бути знайдена$\{a,b,c\}$ як елемент.
2. False$a$, тому що, єдиний елемент в$\{a\}$, не може бути знайдений в$\{\{a\},b,c\}$ якості елемента.
3. Помилкові. Для$\{a\}\in\wp(\{\{a\},b,c\})$, множина$\{a\}$ повинна бути підмножиною$\{\{a\},b,c\}\}$. Це засіб$a$ має належати$\{\{a\},b,c\}$, що не відповідає дійсності.

Розділ 4.3

1. $\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$
2. $\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$
3. $\{-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$
1. помилковий
2. помилковий
1. $E\cap D$
2. $\overline{E}\cup B$
Наприклад, візьмемо$A=\{x\}$, і$B=\{\{x\},x\}$.
Припустимо$B\subseteq C$,$A\subseteq C$ і, ми хочемо, щоб показати, що$A\cup B \subseteq C$. У зв'язку з цим$x\in A\cup B$, нехай, ми хочемо показати, що$x\in C$ також. Так як$x\in A\cup B$, визначення множинного союзу стверджує, що або$x\in A$ або$x\in B$.
В обох випадках знаходимо$x\in C$. Це доводить це$A\cup B\subseteq C$.
- Випадок 1: Якщо$x\in A$, то$A\subseteq C$ означає, що$x\in C$.
- Випадок 2: Якщо$x\in B$, то це$B\subseteq C$ означає$x\in C$.
1. Позначення$\cap$ використовується для з'єднання двох множин, але «$x\in A$» і «$x\in B$» є одночасно логічними твердженнями. Ми також повинні використовувати$\Leftrightarrow$ замість$\equiv$. Заява повинна була бути написана як «»$x\in A \,\wedge\, x\in B \Leftrightarrow x\in A\cap B$.
2. Якщо ми читаємо його вголос, це звучить ідеально: біда\[\mbox{If $x$ belongs to $A$ and $B$, then $x$ belongs to $A\cap B$}. \nonumber\] в тому, що кожне позначення має своє значення та специфічне використання. В даному випадку$\wedge$ це не зовсім заміна англійському слову «і». Натомість це позначення для об'єднання двох логічних тверджень для формування кон'юнкції. Раніше$\wedge$ ми маємо «»$x\in A$, що є логічним твердженням. Але, після$\wedge$, у нас є «$B$,» який є набором, а не логічним твердженням. Вона повинна бути написана як «»$x\in A\,\wedge\,x\in B \Rightarrow x\in A\cap B$.

Розділ 4.4

1. $\{(-2,0), (-2,4), (2,0), (2,4)\}$
2. $\{(-2,-3), (-2,0), (-2,3), (-2,-3), (-2,0), (-2,3)\}$
$2\cdot2\cdot2\cdot3 = 24$.
1. $\{(-2,\emptyset),(-2,\{-2\}),(-2,\{2\}),(-2,\{-2,2\}), ( 2,\emptyset),( 2,\{-2\}),( 2,\{2\}),( 2,\{-2,2\})\}$

Розділ 4.5

$\bigcap_{n=1}^\infty A_n = [0,2)$,$\bigcup_{n=1}^\infty A_n = (-1,\infty)$.
$\bigcap_{n=0}^\infty C_n = \emptyset$,$\bigcup_{n=0}^\infty C_n = \mathbb{N}\cup\{0\}$.
$\bigcap_{n\in\mathbb{N}} E_n = E_0 = \{0\}$,$\bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_n = \mathbb{Z}$.
$\bigcup_{i\in I} A_i = [1,\infty)$,$\bigcap_{i\in I} A_i = \{1\}$.
$\bigcap_{x\in(1,2)} (1-2x,x^2) = [-1,1]$,$\bigcup_{x\in(1,2)} (1-2x,x^2) = (-3.4)$.
$\bigcap_{r\in(0,\infty)} A_r = \{(0,0)\}$,$\bigcup_{r\in(0,\infty)} A_r = \mathbb{R}^*\times\mathbb{R}^+ \cup \{(0,0)\}$.

Розділ 5.1

1. 3
2. 3
3. 3
4. 1
Ми стверджуємо, що$(3,5)$ підмножина не має найменшого елемента. Щоб зрозуміти чому, припустимо, що він має найменший елемент$x$. Середина між 3 і$x$ є числом$\frac{3+x}{2}$, і\[3 < \frac{3+x}{2} < x < 5. \nonumber\] Це означає, що також$\frac{3+x}{2}$ знаходиться всередині інтервалу$(3,5)$, і менше, ніж$x$. Це суперечить мінімалістичності$x$. Таким чином, інтервал$(3,5)$ не має найменшого елемента. Отже, інтервал не$(3,5]$ впорядкований.
Ми знаємо, що$\mathbb{N}$ це добре впорядковано. Оскільки$2\mathbb{N}$ є підмножиною і$2\mathbb{N}$ явно непорожній, ми робимо висновок з проблеми 4, яка$2\mathbb{N}$ також добре впорядкована.$\mathbb{N}$

Розділ 5.2

1. 23, 1
2. $-11$, 1
3. $-6$, 13
Це безпосередній наслідок 5.2.2.
1. $n$Дозволяти бути будь-яке ціле число. Потім$n\bmod3=0,1,2$.
  У всіх трьох випадках ми показали, що$n^3-n$ це кратне 3.
2. Зауважимо, що\[n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1) \nonumber\] є добутком трьох послідовних цілих чисел. Як ми бачили в задачі 4, будь-які три послідовних цілих числа повинні містити кратні 3. Звідси випливає, що їх продукт також кратний 3.
  - Випадок 1: якщо$n\bmod3=0$, то$n=3q$ для деякого цілого числа$q$, а\[n^3-n = (3q)^3-3q = 27q^3-3q = 3(9q^2-q), \nonumber\] де$9q^2-q$ - ціле число.
  - Випадок 2: якщо$n\bmod3=1$, то$n=3q+1$ для деякого цілого числа$q$, а\[n^3-n = (3q+1)^3-(3q+1) = 27q^3+27q^2+6q = 3(9q^3+9q^2+2q), \nonumber\] де$9q^3+9q^2+2q$ - ціле число.
  - Випадок 2: якщо$n\bmod3=2$, то$n=3q+2$ для деякого цілого числа$q$, а\[n^3-n = (3q+2)^3-(3q+2) = 27q^3+54q^2+33q+6 = 3(9q^3+18q^2+11q+2), \nonumber\] де$9q^3+18q^2+11q+2$ - ціле число.
1. $s+t$
2. 4

Розділ 5.3

Припустимо$a\mid b$ і$c\mid (-a)$. Існують цілі числа$x$ і$y$ такі, що$b=ax$ і$-a=cy$. Тоді\[b = ax = (-a)(-x) = cy\cdot(-x) = (-c)\cdot xy, \nonumber\] де$xy$ - ціле число. Таким чином,$(-c)\mid b$.

Існує три випадки, в залежності від залишку, коли ціле число ділиться на 3.

$(3q)^2 = 9q^2 = 3\cdot3q^2$.
$(3q+1)^2 = 9q^2+6q+1 = 3(3q^2+2q)+1$.
$(3q+2)^2 = 9q^2+12q+4 = 9q^2+12q+3+1 = 3(3q^2+4q+1)+1$.

У кожному випадку ми показали, що квадрат цілого числа має форму$3k$ або$3k+1$.

Розділ 5.4

1. $1\cdot 27+ 0\cdot 81= 27$
2. $-3\cdot 24+ 1\cdot 84= 12$
3. $-35\cdot1380+16\cdot3020= 20$

1, 2, 17 і 34.

Розділ 5.5

Так як\[-3\cdot(2n+1)+2\cdot(3n+2) = 1, \nonumber\] ми це виводимо$\gcd(2n+1,3n+2)=1$.

Нехай$a$,$b$, і$c$ бути позитивними цілими числами такі$a\mid c$, що$b\mid c$,, і$\gcd(a,b)=1$. Тоді існують цілі числа$x$ і$y$ такі, що$c=ax$ і$c=by$; і існують цілі числа$s$ і$t$ такі, що$sa+tb=1$. Звідси випливає$c=by$, що\[c = c\cdot 1 = c(sa+tb) = csa+ctb. \nonumber\] Використовуючи$c=ax$ і, знаходимо\[c = csa+ctb = by\cdot sa+ax\cdot tb = ab(ys+xt), \nonumber\]$ys+xt$ де ціле число. Таким чином,$ab\mid c$.

Розділ 5.6

1. $3^2\cdot5^2\cdot7$
2. $2\cdot3^2\cdot7^2\cdot11$
1. 81
2. 168
Кожні 50 днів.
Припустимо$x\in 10\mathbb{Z}\cap15\mathbb{Z}$, потім$x\in10\mathbb{Z}$ і$x\in15\mathbb{Z}$. Це означає$x$, що кратне як 10, так і 15. Отже,$x$ є кратним$\text{lcm}(10,15)=30$, що означає$x\in30\mathbb{Z}$. Таким чином,$10\mathbb{Z}\cap15\mathbb{Z} \subseteq 30\mathbb{Z}$.
Далі, припустимо$x\in 30\mathbb{Z}$,$x$ то кратна 30. Отже,$x$ є кратним 10, а також кратним 15. Це означає$x\in10\mathbb{Z}$, і$x\in15\mathbb{Z}$. Як результат,$x\in 10\mathbb{Z}\cap15\mathbb{Z}$. Таким чином,$30\mathbb{Z} \subseteq 10\mathbb{Z}\cap15\mathbb{Z}$. Разом з$10\mathbb{Z}\cap15\mathbb{Z} \subseteq 30\mathbb{Z}$, робимо висновок, що$10\mathbb{Z}\cap15\mathbb{Z} = 30\mathbb{Z}$.
1. Коли$p$ ділиться на 4, його залишок дорівнює 0, 1, 2 або 3. Але$p$ є непарним, отже,$p$ має форму$4k+1$ або$4k+3$ для деякого цілого числа$k$. Так як$p\geq3$, ми також повинні$k$ бути невід'ємним цілим числом.
2. Коли$p$ ділиться на 6, його залишок дорівнює 0, 1, 2, 3, 4 або 5. Але$p$ є$p$ непарним, отже, має форму$6k+1$$6k+3$, або$6k+5$. Ми виключаємо форму,$6k+3$ оскільки це буде$p$ кратним 3. Отже,$p$ має вигляд$6k+1$ або$6k+5$ для деякого невід'ємного цілого числа$k$.

Розділ 5.7

Таблиці додавання і множення для$\mathbb{Z}_8$ наведені нижче. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 \\ \hline 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 5 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 6 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 7 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline 3 & 0 & 3 & 6 & 1 & 4 & 7 & 2 & 5 \\ \hline 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 \\ \hline 5 & 0 & 5 & 2 & 7 & 4 & 1 & 6 & 3 \\ \hline 6 & 0 & 6 & 4 & 2 & 0 & 6 & 4 & 2 \\ \hline 7 & 0 & 7 & 2 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \nonumber\]Тільки 1, 3, 5 і 7 мають мультиплікативні зворотні. Насправді,,$1^{-1}=1$$3^{-1}=3$,$5^{-1}=5$, і$7^{-1}=7$.
Сума дорівнює 9, а добуток 7.
З наступного обчислення\[\begin{array}{|c|l|} \hline \mbox{$m$ (mod~7)} & \hfil\mbox{$m^2+1$ (mod~7)} \\ \hline 0 & 0^2+1 = 1 \\ \pm1 & 1^2+1 = 2 \\ \pm2 & 2^2+1 = 5 \\ \pm3 & 3^2+1 = 10 \equiv 3 \\ \hline \end{array} \nonumber\] визначаємо, що$m^2+1\not\equiv0$ (мод 7). Отже,$m^2+1$ не кратна 7 для всіх цілих чисел$m$.
Обидва способи$4^{45}=1$ поступаються$\mathbb{Z}_{11}$.
1. 9

Розділ 6.1

-24 пт$\begin{array}[t]{|c||*{6}{c|}} \hline x & 5.7 & \pi & e & -7.2 & -0.8 & 9 \\ \hline \lfloor x \rfloor & 5 & 3 & 2 & -8 & -1 & 9 \\ \lceil x \rceil & 6 & 4 & 3 & -7 &\phantom{-}0 & 9 \\ {[x]} & 6 & 3 & 3 & -7 & -1 & 9 \\ \hline \end{array}$
$[0,\infty)$.

Розділ 6.2

$\big[\frac{7}{3},\infty\big)$.
Тільки$g$ це чітко визначена функція. Зображення$f(4)$ не визначено, і є два значення для$h(3)$. Отже, обидва$f$ і не$h$ є чітко визначеними функціями.
1. Та тому, що ніякого поділу на нуль ніколи не відбудеться.
$\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p(x) & 3 & 1 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline q(x) & 2 & 3 & 1 & 3 \\ \hline \end{array}$
1. 7
2. 7
3. 3

Розділ 6.3

1. Ні. Наприклад,$f(0)=f(2)=1$.
2. Так, так як$g'(x)=3x^2-4x=x(3x-4)>0$ для$x>2$.
Оскільки домен та кодомен є напіввідкритими інтервалами, ми повинні бути обережними з включенням та виключенням кінцевих точок. Ми можемо використовувати графік, показаний нижче зліва.
$Знімок екрана 2020-01-15 о 4.06.51 PM.png$

Знаходимо$f(x) = \frac{3}{2}\,x+\frac{1}{2}$.
1. Один-на-один
2. Не один на один
1. Не один на один
2. Один-на-один
Є дванадцять функцій один до одного від$\{1,2\}$ до$\{a,b,c,d\}$. Зображення 1 і 2 під ними наведені нижче. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6 & f_7 & f_8 & f_9 & f_{10} & f_{11} & f_{12} \\ \hline\hline 1 & a & a & a & b & b & b & c & c & c & d & d & d \\ \hline 2 & b & c & d & a & c & d & a & b & d & a & b & c \\ \hline \end{array} \nonumber\]
1. Один-на-один
2. Не один на один
3. Не один на один

Розділ 6.4

1. Так! Це непросто$x$ висловити термінами$y$ з рівняння$y=x^3-2x^2+1$. Однак з його графіка ми можемо сказати, що$y$ -значення охоплюють всі можливі реальні значення в кодомені.
2. Ні, тому що$g(x)\geq1$.

1. Не на
2. На
1. Не на
2. На
Ні, тому що ми маємо щонайбільше два різних зображення, але кодомен має чотири елементи.
1. На
2. Не на
3. Не на

Розділ 6.5

1. $f_1(A)=\{a,b\}$,$f_1^{-1}(B)=\{2,3,4,5\}$
2. $f_2(A)=\{a,c\}$,$f_2^{-1}(B)=\{2,4\}$
3. $f_3(A)=\{b,d\}$,$f_3^{-1}(B)=\emptyset$
4. $f_4(A)=\{e\}$,$f_4^{-1}(B)=\{5\}$
Зображення$s$ наведені в таблиці нижче. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline s(x) & 7 & 11 & 3 & 7 & 11 & 3 & 7 & 11 & 3 & 7 & 11 & 3 \\ \hline \end{array} \nonumber\]
1. $\{3,11\}$
2. $\{0,3,6,9\}$
3. $\{3,7,11\}$
1. $[20,26)$;$\{20,23,26\}$
2. $[-3,-\frac{4}{3}\big)$;$\{-2\}$
1. $\big\{\frac{3}{5},\frac{9}{5},\frac{27}{5}, 3,9,27,15,45,135\big\}$
2. $\{(-3,2)\}$(c)$\mathbb{N}\times\{0\}$
Щоб функція була чітко визначеною, сума кожного рядка повинна дорівнювати 1. Щоб функція була один до одного, сума кожного стовпця повинна бути не більше 1. Щоб функція була включена, сума кожного стовпця повинна бути не менше 1 (отже, сума стовпця не дорівнює нулю).

Нехай$y\in f(C_1)-f(C_2)$, ми хочемо, щоб показати, що$y\in f(C_1-C_2)$ також. Так як$y\in f(C_1)-f(C_2)$, ми знаємо, існує$x\in A$ таке, що$f(x)=y$. Маючи$y\in f(C_1)-f(C-2)$ засоби$y\in f(C_1)$, але$y\notin f(C_2)$. Значить,$x\in C_1$ але$x\notin C_2$. Іншими словами,$x\in C_1-C_2$. Це призводить до$y=f(x)\in f(C_1-C_2)$. На цьому доказ цього закінчується$f(C_1)-f(C_2) \subseteq f(C_1-C_2)$.

$\{0,1,4,9\}$;$\{0,\pm1,\pm2,\pm3\}$.

Розділ 6.6

Тільки (е) є двооб'єктивним.
Їх${f^{-1},g^{-1}}:{(4,7)}\to{(1,3)}$ обернені функції визначаються\[f^{-1}(x) = \frac{2}{3}\left(x-\frac{ 5}{2}\right), \qquad\mbox{and}\qquad g^{-1}(x) = -\frac{2}{3}\left(x-\frac{17}{2}\right). \nonumber\]
${g^{-1}}:\to{[4,7]}{[1,3]}$, де$g^{-1}(x) = \cases{ x-3 & if $4\leq x <5$, \cr \frac{1}{2} (11-x) & if $5 \leq x \leq 7$. \cr}$
${s^{-1}}:{(-\infty,-3)}\to{\mathbb{R}}$, де$s^{-1}(x) = \frac{1}{2}\, \ln\left(\frac{4-x}{7}\right)$.
1. ${u^{-1}}:{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}$,$u^{-1}(x)=(x+2)/3$
Зображення під${\alpha^{-1}}:{\{a,b,c,d,e,f,g,h\}}\to {\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$ наведені нижче. \[\begin{array}{|c||*{8}{c|}} \hline x & a & b & c & d & e & f & g & h \\ \hline \alpha^{-1}(x)& 2 & 5 & 8 & 3 & 6 & 7 & 1 & 4 \\ \hline \end{array} \nonumber\]

Розділ 6.7

Обидва$f\circ g$ і$g\circ f$ знаходяться від$\mathbb{R}$ до$\mathbb{R}$, де$(f\circ g)(x)=15x^2+19$, і$(g\circ f)(x)=75x^2-30x+7$.
Нам не потрібно знаходити формулу складеної функції, так як ми можемо оцінити результат безпосередньо:$f(g(f(0))) = f(g(1)) = f(2) = -5$.
1. ${g\circ f}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Q}}$,$(g\circ f)(n)=1/(n^2+1)$
2. ${g\circ f}:{\mathbb{R}}\to{(0,1)}$,$(g\circ f)(x)=x^2/(x^2+1)$
1. $\begin{array}{l} {g\circ f}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{1,2,3,4,5\}}, \\ \phantom{(a)} (g\circ f)(1)=2, (g\circ f)(2)=5, (g\circ f)(3)=1, (g\circ f)(4)=3, (g\circ f)(5)=4 \end{array}$
${g\circ f}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$,$(g \circ f)(n) = \cases{ 3(2n-1) & if $n\geq 0$, \cr 2n+1 & if $n < 0$. \cr}$
1. $\begin{array}{ll}{f\circ g}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}, & (f\circ g)(n) = 3-n \\ \phantom{(a)} {(f\circ g)^{-1}}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}, & (f\circ g)^{-1}(n) = 3-n \\ \phantom{(a)} {f^{-1}:}{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}, & f^{-1}(n) =2-n \\ \phantom{(a)} {g^{-1}}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}, & g^{-1}(n) = n-1 \\ \phantom{(a)} {g^{-1}\circ: f^{-1}}{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}, & (g^{-1}\circ f^{-1})(n) = 3-n \end{array}$

Розділ 7.1

1. $Знімок екрана 2020-01-22 о 11.38.33 AM.png$
  
  $\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 6 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 6 \end{array} & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}$
2. $Знімок екрана 2020-01-22 о 11.38.16 AM.png$
  
  $\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 6 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 6 \end{array} & \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{array}$
3. $Знімок екрана 2020-01-22 о 11.38.24 AM.png$
  
  $\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 6 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 6 \end{array} & \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array}$
1. $\mbox{domain}=\mbox{image}=\{1,2,3,6\}$.
2. $\mbox{domain}=\mbox{image}=\{1,2,3,6\}$.
3. $\mbox{domain}=\{1,2,3\}$,$\mbox{image}=\{2,3,6\}$.

$Знімок екрана 2020-01-22 о 11.43.58 AM.png$

$\begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \\ 5 \\ 10 \\ 20 \end{array} & \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & 1 &\; 1 \;&\; 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &\; 1 \;&\; 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\; 0 \;&\; 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\; 1 \;&\; 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\; 0 \;&\; 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\; 0 \;&\; 0 \end{array}\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{cccc} \;\;\;\;\emptyset & \{1\} & \{2\} & \{1,2\} \end{array} \\ \begin{array}{c} \emptyset \\ \{1\} \\ \{2\} \\ \{1,2\} \end{array} & \left(\begin{array}{cccc} 0 &\;\;0\;&\;\;0&\;\;\;0 \\ 0 &\;\;1\;&\;\;0&\;\;\;1 \\ 0 &\;\;0\;&\;\;1&\;\;\;1 \\ 0 &\;\;1\;&\;\;1&\;\;\;1 \end{array}\right) \end{array}$

Розділ 7.2

1. Рефлексивний, симетричний, антисиметричний і перехідний.
2. Іррефлексивний, і симетричний.
3. Іррефлексивний, і перехідний.
1. Антисиметричний.
2. Рефлексивний, симетричний і перехідний.
3. Іррефлексивний, симетричний і перехідний.
Рефлексивний, симетричний і перехідний.
Антисиметричні, і перехідні.
Іррефлексивний, і антисиметричний.
Симетричний.
1. $A$не є рефлексивним, тому що$(X,X)\notin A$ якщо$X\neq\emptyset$.
2. $A$не є нерефлексивним, тому що$(\emptyset,\emptyset)\in A$.
3. Ні. Наприклад, розглянемо$S=\{a,b,c\}$,$X=\{a\}$,$Y=\{b\}$, і$Z=\{a,c\}$. Потім$(X,Y)\in A$$(Y,Z)\in A$, але$(X,Z)\notin A$.
4. $Знімок екрана 2020-01-22 о 12.38.16 PM.png$
  
  $\begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{cccccccc} \emptyset & \{a\} & \{b\} & \{c\} & \{a,b\} & \{a,c\} & \{b,c\} & \{a,b,c\} \end{array} \\ \begin{array}{c} \emptyset \\ \{a\} \\ \{b\} \\ \{c\} \\ \{a,b\} \\ \{a,c\} \\ \{b,c\} \\ \{a,b,c\} \end{array} & \left(\begin{array}{cccccccc} 1 & \phantom{a} 1 \phantom{a} & \phantom{a} 1 \phantom{a} & \phantom{a} 1 \phantom{a} & \phantom{(a} 1 \phantom {a)} & \phantom{a)} 1 \phantom{a)} & \phantom{a)} 1 \phantom{a)} & \phantom{(aa} 1 \phantom{(aa} \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array}$
1. Симетричний.
2. Рефлексивний, і симетричний.
1. Рефлексивний, антисиметричний і перехідний.
2. Рефлексивний, симетричний і перехідний.
3. Симетричний.
1. Рефлексивний, антисиметричний і перехідний.
2. Симетричний.
3. Симетричний, і перехідний.
1. Рефлексивний, і перехідний.
2. симетричні,
3. Рефлексивний, симетричний і перехідний.
1. Симетричний, і перехідний.
2. Рефлексивний, симетричний і перехідний.
3. Рефлексивний, і перехідний.

Розділ 7.3

1. Класи еквівалентності мають вигляд$\{3-k,3+k\}$ деякого цілого числа$k$. Наприклад,,$[3]=\{3\}$$[2]=\{2,4\}$,$[1]=\{1,5\}$, і$[-5]=\{-5,11\}$.
2. Існує три класи еквівалентності:$[0]=3\mathbb{Z}$,$[1]=1+3\mathbb{Z}$, і$[2]=2+3\mathbb{Z}$.
1. Правда
2. Помилковий
3. $[\{1,5\}] = \big\{ \{1\}, \{1,2\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{1,2,4\}, \{1,2,5\}, \{1,4,5\}, \{1,2,4,5\} \big\}$
4. $[X] = \{(X\cap T)\cup Y \mid Y\in\wp(\overline{T})\}$. Іншими словами,$S\sim X$ якщо$S$ містить той самий елемент в$X\cap T$, плюс, можливо, деякі елементи не в$T$.
1. Так, с$[(a,b)] = \{(x,y) \mid y=x+k \text{ for some constant } k$. Іншими словами, класи еквівалентності - це прямі лінії форми$y=x+k$ для деякої константи$k$.
2. Ні. Наприклад,$(2,5)\sim(3,5)$ і$(3,5)\sim(3,7)$, але$(2,5)\not\sim(3,7)$. Отже, відношення не$\sim$ є перехідним.
Знаходимо$[0] = \frac{1}{2}\,\mathbb{Z} = \{\frac{n}{2} \mid n\in\mathbb{Z}\}$, і$[\frac{1}{4}] = \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\,\mathbb{Z} = \{\frac{2n+1}{4} \mid n\in\mathbb{Z}\}$.

Розділ 7.4

Діаграма Хассе показана нижче.
$Знімок екрана 2020-01-22 о 11.59.10 AM.png$
Нехай$a\in B$, так як$B\subseteq A$, ми теж знаходимо$a\in A$. Оскільки$(A,\preceq)$ є poset, відношення$\preceq$ на$A$ є рефлексивним, отже,$a\preceq a$. Це показує,$\preceq$ що все ще рефлексивно, коли обмежується$B$. Антисиметрія і транзитивність доведені подібним аргументом.

1. Діаграма Хассе показана нижче.
  $Знімок екрана 2020-01-22 о 11.59.15 AM.png$
  Скопіюйте та вставте підпис тут
$B=\big\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\big\}$.

Розділ 8.2

6.
70.
$7\cdot5+7\cdot4+5\cdot4$
$4^5$,$4^5-3\cdot4^2$
1. $52^4$
2. $39^4$
3. $4\cdot13^4$
4. $4\cdot48\cdot52^3$
5. $52^4-48^4$
1. $9\cdot10^3$
2. $8\cdot9^3$
3. $9\cdot10^3-8\cdot9^3$
4. $9\cdot10$
1. $8^6$
2. $8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3$
3. 0
4. $8^6-4^6$
5. $4\cdot8^4$(f)$7^5$

Розділ 8.3

$62^8$,$P(62,8)$.
$P(14,5)$.
$p(7,3)\cdot P(10,3) + P(7,3)\cdot P(11,3) + P(10,3)\cdot P(11,3)$.
$P(11,7)\cdot3!/7$.

Розділ 8.4

$\binom{6}{3}\binom{8}{3}$.
1. не менше 5
2. не менше 7
10.
1. $\binom{14}{4}$
2. $\binom{14}{4}-\binom{11}{4}$
3. $\binom{3}{2}\binom{7}{1}\binom{4}{1} +\binom{3}{1}\binom{7}{2}\binom{4}{1} +\binom{3}{1}\binom{7}{1}\binom{4}{2}$
1. $8!$
2. $\binom{8}{2}\,P(8,2)\, \big[\binom{6}{2}\,P(8,2)+2\cdot7\cdot6\cdot7+7\cdot6\big]$
$\binom{16}{7}$.
1. $\binom{52}{5}$
2. $4 \,\binom{13}{2}\,13^3$
3. $13\,\binom{4}{2}\binom{12}{3}\,4^3$
4. $13\,\binom{4}{3}\binom{12}{2}\,4^2$
5. $13\,\binom{4}{3}\,12\,\binom{4}{2}$
6. $10\cdot(4^5-1)$
7. $4\,\big[\binom{13}{5}-10\big]$
8. $4\cdot10$

Розділ 8.5

1. $x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$
2. $s^6-6s^5t+15s^4t^2-20s^3t^3+15s^2t^4-6st^5+t^6$
3. $a^4+12a^3b+54a^2b^2+108ab^3+81b^4$
1. $\binom{4}{2}=6$
2. $-\binom{9}{3}\,3^6\left(\frac{2}{5}\right)^3 =-\frac{489888}{125}$
3. 0
4. $-\binom{6}{3}\,3^3\left(\frac{5}{7}\right)^3 =-\frac{67500}{343}$
$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} r^k = (1+r)^n$
1. $k^2 = 2\binom{k}{2} + \binom{k}{1}$
2. $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}\,n(n+1)(2n+1)$

Конверс:	Якщо чотирикутник\(ABCD\) - це і прямокутник, і ромб,
	потім\(ABCD\) - квадрат.
Зворотний:	Якщо\(ABCD\) чотирикутник не квадрат,
	то це не прямокутник або не ромб.
Контрапозитивні:	Якщо чотирикутник не\(ABCD\) є прямокутником або не ромбом,
	то\(ABCD\) це не квадрат.

Конверс:	Якщо\(ABC\) трикутник - прямокутний трикутник,\(ABC\) то рівнобедрений
	і містить кут 45 градусів.
Зворотний:	Якщо\(ABC\) трикутник не рівнобедрений або не містить кута
	45 градусів, то\(ABC\) це не прямокутний трикутник.
Контрапозитивні:	Якщо трикутник не\(ABC\) є прямокутним трикутником, то не\(ABC\) є рівнобедреним
	або не містить кута 45 градусів.