8.5: Біноміальна теорема

Біноміал - це многочлен з рівно двома долями. Біноміальна теорема дає формулу розширення\((x+y)^n\) для будь-якого натурального цілого числа\(n\).

Як ми розширюємо добуток многочленів? Ми вибираємо один член з першого многочлена, множимо на член, обраний з другого многочлена, а потім множимо на член, обраний з третього многочлена, і так далі. В особливому\((x+y)^n\) випадку ми вибираємо\(x\) або\(y\) з кожного з\(n\) біноміалів,\(x+y\) щоб сформувати продукт. Деякі з цих продуктів будуть ідентичними, отже, нам потрібно збирати їх коефіцієнти. Розширення\((x+y)^3\) продемонстровано нижче.

Ми знаходимо\[\begin{array}{rl} (x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\ &= xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy \\ &= x^3+x^2y+x^2y+xy^2+x^2y+xy^2+xy^2+y^3 \\ &= x^3+3x^2y+3xy^2+y^3. \end{array} \nonumber\] Що відбувається, коли ми розширюємося\((x+y)^n\)?

Якщо ми виберемо\(y\) з\(k\) копій\((x+y)\) s, і\(x\) з інших\(n-k\) примірників, їх продукт буде\(x^{n-k} y^k\). Тому при розширенні\((x+y)^n\), типовим терміном буде вид\(x^{n-k} y^k\), де\(0\leq k\leq n\). Питання в тому, який її коефіцієнт в розширенні, після того як ми збираємо подібні терміни? Цей коефіцієнт - це кількість разів\(x^{n-k} y^k\) з'являється твір, коли ми множимо описаним вище способом.\((x+y)^n\) Це залежить від того, які\(k\) копії\((x+y)\) s ми будемо\(y\) вибирати. Є\(\binom{n}{k}\) вибір, отже, продукт\(x^{n-k}y^k\) з'являється\(\binom{n}{k}\) раз. Таким чином, коефіцієнт є\(\binom{n}{k}\). З цієї причини ми також\(\binom{n}{k}\) називаємо біноміальні коефіцієнти.

Теорема\(\PageIndex{1}\) (Binomial Theorem)

Для будь-якого натурального числа\(n\)\[\begin{array}{rcl} (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k. \qquad \end{array} \nonumber\]

Через симетрії в формулі ми можемо обмінюватися\(x\) і\(y\). Крім того, у нас також є\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Отже, біноміальна теорема може бути записана в трьох інших формах:

\[\begin{array}{rl} (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{n-k} x^{n-k} y^k, \\ (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{ k} x^k y^{n-k}, \\ (x+y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{n-k} x^k y^{n-k}. \end{array} \nonumber\]

Вам не потрібно турбуватися, який з них використовувати. Вони всі однакові! Ось як запам'ятати ці чотири різні форми. У кожному терміні повноваження\(x\) і\(y\) завжди складаються\(n\). Якщо потужність однієї з двох змінних є\(k\), де\(0\leq k\leq n\), то сила іншої повинна бути\(n-k\), і нам потрібно помножити коефіцієнт\(\binom{n}{k}\), який такий же, як\(\binom{n}{n-k}\), на їх добуток.

При\((x+y)^n\) розширенні може бути корисно, якщо ви спочатку викладіть всі терміни\(x^n\)\(x^{n-1}y\)\(x^{n-2}y^2\), і так далі. Потім ви заповнюєте з біноміальними коефіцієнтами. Наприклад, щоб розширити\((x+y)^3\), ми спочатку перерахуємо всі терміни, які ми очікуємо знайти:

\[(x+y)^3 = \underline{\text{ }}\, x^3 + \underline{\text{ }}\, x^2y + \underline{\text{ }}\, xy^2 + \underline{\text{ }}\, y^3. \nonumber\]

Далі заповнюємо біноміальні коефіцієнти:

\[(x+y)^3 = \binom{3}{0} x^3 + \binom{3}{1} x^2 y + \binom{3}{2} xy^2 + \binom{3}{3} y^3.\nonumber\]

Нарешті, оцініть біноміальні коефіцієнти і спростіть результат.

\[(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.\nonumber\]

Аналогічним чином ми теж знаходимо\((x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\). Зверніть увагу на схожість між двома розширеннями.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:binom-01}\)

Обчислити\((x+y)^4\).

Рішення

Слідуючи крокам, які ми виклали вище, знаходимо

\[\begin{array}{rl} (x+y)^4 &= \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3y + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}xy^3 + \binom{4}{4}y^4 \\ &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4. \end{array} \nonumber\]

Так\(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\) як розширення завжди починається з\(x^n\) і закінчується на\(y^n\).

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:binom-02}\)

Обчислити\((x-y)^4\).

Рішення

знаходимо

\[\begin{array}{rl} (x-y)^4 &= [x+(-y)]^4 \\ &= \binom{4}{0} x^4 + \binom{4}{1}x^3(-y) + \binom{4}{2}x^2(-y)^2 + \binom{4}{3}x(-y)^3 + \binom{4}{4} (-y)^4 \\ &= x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4. \end{array} \nonumber\]

Візьміть на замітку чергуються знаки в розширенні. Це говорить про те, що ми могли б\((A-B)^n\) розширити точно так само, як ми б з\((A+B)^n\), за винятком того, що знаки чергуються.

Ми можемо здійснити розширення, дотримуючись цих кроків. Спочатку перерахуйте всі терміни, які ми очікуємо знайти

\[(x+y)^4 = \underline{\text{ }}\, x^4 \phantom{-} \underline{\text{ }}\, x^3y \phantom{+} \underline{\text{ }}\, x^2y^2 \phantom{-} \underline{\text{ }}\, xy^3 \phantom{+} \underline{\text{ }}\, y^4. \nonumber\]

Далі заповнюємо знаки:

\[(x+y)^4 = \underline{\text{ }}\, x^4 - \underline{\text{ }}\, x^3y + \underline{\text{ }}\, x^2y^2 - \underline{\text{ }}\, xy^3 + \underline{\text{ }}\, y^4, \nonumber\]

а потім біноміальні коефіцієнти:

\[(x+y)^4 = \binom{4}{0} x^4 - \binom{4}{1} x^3y + \binom{4}{2} x^2y^2 - \binom{4}{3} xy^3 + \binom{4}{4} y^4. \nonumber\]

Нарешті, обчислити біноміальні коефіцієнти, щоб закінчити розширення.

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:binom-03}\)

Розгорнути\((2x-3y)^5\).

Рішення

Розширення дає\[(2x)^5-\binom{5}{1}(2x)^4(3y)+\binom{5}{2}(2x)^3(3y)^2 -\binom{5}{3}(2x)^2(3y)^3+\binom{5}{4}(2x)(3y)^4-(3y)^5. \nonumber\] Отже,\((2x-3y)^5 = 32x^5-240x^4y+720x^3y^2-1080x^2y^3+810xy^4-243y^5\).

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:binom-01}\)

Використовуйте біноміальну теорему для розширення\((3x-5y)^4\).

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:binom-04}\)

Знайти коефіцієнт\(x^3\) в розширенні\((1+x)^{102}\).

Рішення

Так як\[(1+x)^{102} = \sum_{k=0}^{102} \binom{102}{k} x^k, \nonumber\] термін, що містить\(x^3\) є\(\binom{102}{3} x^3\). Тому коефіцієнт є\(\binom{102}{3}\). Залежно від того, яку форму біноміальної теореми ви використовуєте, ви можете закінчити термін\(\binom{102}{99} x^3\). Чисельно це дає нам той же коефіцієнт, тому що\(\binom{102}{99}=\binom{102}{102-99}=\binom{102}{3}\).

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:binom-05}\)

Який коефіцієнт\(t^4\) в розширенні\((2+3t)^9\)?

Рішення

Так як\[(2+3t)^9 = \sum_{k=0}^9 \binom{9}{k} 2^{9-k} (3t)^k, \nonumber\] нам потрібно\(k=4\). Коефіцієнт є\(\binom{9}{4} 2^5\cdot3^4\cdot\).

Приклад\(\PageIndex{6}\label{eg:binom-06}\)

Який коефіцієнт\(t^5\) в розширенні\((3-2t)^7\)?

Рішення

Так як\((3-2t)^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 3^{7-k} (-2t)^k\), нам потрібно\(k=5\), і коефіцієнт є\(\binom{7}{5}3^2\cdot(-2)^5 = -\binom{7}{5} 3^2\cdot2^5\).

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:binom-02}\)

Що таке коефіцієнт\(t^5\) в\((1+3t)^8\)?

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:binom-03}\)

Який коефіцієнт\(t^4\) в розширенні\((2-5t)^9\)?

Приклад\(\PageIndex{7}\label{eg:binom-07}\)

Який коефіцієнт\(t^6\) в розширенні\((4+5t^2)^8\)?

Рішення

Загальний термін в розширенні є\(\binom{8}{k} 4^{8-k} (5t^2)^k = \binom{8}{k} 4^{8-k} \cdot 5^k t^{2k}\). Значить, нам і потрібно\(k=3\), і коефіцієнт є\(\binom{8}{3}4^5\cdot5^3\).

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:binom-04}\)

Який коефіцієнт\(t^9\) в розширенні\((3-2t^3)^8\)?

Постійний термін у розширенні не містить жодної змінної. Його можна трактувати як термін, що містить\(x^0\).

Приклад\(\PageIndex{8}\label{eg:binom-08}\)

Знайдіть постійний термін в розширенні\(\left(x+\frac{2}{x}\right)^8\).

Рішення

Загальний термін у розширенні -\[\binom{8}{k} x^{8-k} \left(\frac{2}{x}\right)^k = \binom{8}{k} x^{8-k} \cdot\frac{2^k}{x^k} = \binom{8}{k} 2^k x^{8-2k}. \nonumber\] Нам потрібно\(8-2k=0\) або\(k=4\). Тому коефіцієнт є\(\binom{8}{4} 2^4\).

практичні вправи\(\PageIndex{5}\label{he:binom-05}\)

Знайти постійний термін в розширенні двох виразів\(\left(x+\frac{3}{x}\right)^9\) і\(\left(2x-\frac{3}{x}\right)^{10}\).

Приклад\(\PageIndex{9}\label{eg:binom-09}\)

Визначаємо коефіцієнт\(x^7\) в розширенні\((1+x+x^2)(1+x)^{10}\).

Рішення

Розгорнути\((1+x+x^2) (1+x)^{10}\) наступним чином:\[\begin{array}{rl} (1+x+x^2) (1+x)^{10} &= (1+x+x^2) \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^k \\ &= \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^k +\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^{k+1} +\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} x^{k+2}. \end{array}\] Отже, коефіцієнт\(x^7\) є\(\binom{10}{7} + \binom{10}{6} + \binom{10}{5}\).

практичні вправи\(\PageIndex{6}\label{he:binom-06}\)

Знайти коефіцієнт\(x^8\) в розширенні\((1−2x+3x^2)(1+2x)^{12}\).

Трикутник Паскаля

Для швидкого обчислення біноміальних коефіцієнтів можна використовувати трикутник Паскаля, в якому\(n\) й ряд (\(n \geq 0\)) складається з біноміальних коефіцієнтів\(\binom{n}{k}\), де\(0 \leq k \leq n\):

\[\begin{array}{*{13}{c}} & & & & & & 1 \\ & & & & & 1 & & 1 \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\ & 1 & & 5 & &10 & &10 & & 5 & & 1 \\ 1 & & 6 & &15 & &20 & &15 & & 6 & & 1 \end{array} \nonumber\]

Побудувати трикутник Паскаля нескладно. Ми генеруємо рядки по одному. Крайні кінці завжди 1. Кожен із внутрішніх записів є сумою двох записів прямо над ним у попередньому рядку. Наприклад, наступний рядок (for\(n=7\)) має бути

\[\begin{array}{*{15}{c}} 1 & & 7 & &21 & &35 & &35 & &21 & & 7 & & 1 \end{array} \nonumber\]

Такі обчислення дають правильні біноміальні коефіцієнти, через наступного результату.

Теорема\(\PageIndex{2}\) (Pascal's Identitity)

Для всіх цілих чисел\(n\) і\(k\) задовольняє\(1\leq k\leq n\),\[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}. \nonumber\]

(Аналітичний доказ)

З визначення біноміальних коефіцієнтів випливає, що

\[\begin{aligned} \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!} \\ &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k-1)!} \left( \frac{1}{n-k} + \frac{1}{k} \right) \\ &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k-1)!} \cdot \frac{n}{k(n-k)} \\ &= \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.\end{aligned} \nonumber\]

На цьому доказ завершено.

(Комбінаторний доказ)

\(A\)Дозволяти бути\(n\) -element набір. Потім\(\binom{n}{k}\) підраховує кількість підмножин\(k\) -element\(A\). Ці підмножини можна класифікувати відповідно до того, чи містять вони фіксований елемент, скажімо\(x\). Якщо підмножина містить\(x\), то інші\(k-1\) елементи повинні бути обрані з інших\(n-1\) елементів\(A\). В іншому випадку, якщо підмножина не містить\(x\), то всі її\(k\) елементи повинні бути обрані з інших\(n-1\) елементів\(A\). Числа цих двох видів підмножин задаються\(\binom{n-1}{k-1}\) і\(\binom{n-1}{k}\), відповідно. Теорема тепер випливає відразу, застосовуючи принцип додавання.

практичні вправи\(\PageIndex{7}\label{he:binom-07}\)

Визначте 8-й і 9-й ряди в трикутнику Паскаля.

Приклад\(\PageIndex{10}\label{eg:binom-10}\)

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити

1. \((C-D)^5\)
2. \((2A+5B)^3\)
3. \((3C-4B)^4\)

Рішення

Намалюйте значення\(\binom{n}{k}\) з трикутника Паскаля безпосередньо. Відповіді такі:

1. \((C-D)^5 = C^5-5C^4D+10C^3D^2-10C^2D^3+5CD^4-D^5\).
2. \((2a+5B)^3 = 8A^3+60A^2B+150AB^2+125B^3\).
3. \((3C-4B)^4 = 81C^4-432C^3B+864C^2B^2-768CB^3+256B^4\).

Багато цікавих результатів можна отримати з біноміальної теореми.

Приклад\(\PageIndex{11}\label{eg:binom-11}\)

Встановлюючи\(x=y=1\), отримуємо просте (аналітичне) підтвердження знайомої особистості\(2^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\).

Приклад\(\PageIndex{12}\label{eg:binom-12}\)

Здача\(x=1\) і\(y=-1\) врожайність\(0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\). Ми можемо переписати його як\[\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \cdots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \cdots. \nonumber\]

Комбінаторно це означає, що кількість підмножин парних кардинальностей дорівнює кількості підмножин непарних кардинальностей.

Резюме та огляд

• Біноміальна теорема може бути виражена в чотирьох різних, але еквівалентних формах.
• Розширення\((x+y)^n\) починається з\(x^n\), потім ми зменшуємо показник в\(x\) на один, тим часом збільшуємо показник\(y\) на один, і повторюємо це, поки ми не маємо\(y^n\).
• Наступні кілька термінів\(x^{n-1}y\), отже\(x^{n-2}y^2\), і т.д., які закінчуються на\(y^n\).
• Загалом, сума експонент в\(x\) і\(y\) є завжди\(n\). Значить, загальний термін - це\(x^k y^{n-k}\), чий коефіцієнт є\(\binom{n}{k}\).
• Розширення\((x+y)^n\) і\((x-y)^n\) виглядають практично однаково, хіба що ознаки в\((x-y)^n\) чергуються.

Вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:binom-01}\)

Використовуйте біноміальну теорему, щоб розширити такі вирази:

1. \((x + y)^5\)
2. \((s − t)^6\)
3. \((a + 3b)^4\)

Вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:binom-02}\)

Знайти коефіцієнт

1. \(x^{11}y^3\)в\((x+y)^{14}\)
2. \(x^4y^7\)в\((2x-y)^{11}\)
3. \(x^4y^3\)в\((3x+2y)^7\)
4. \(x^5\)в\((1-x+x^2)(1+x)^7\)

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:binom-03}\)

Знайти постійний термін в розширенні

1. \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^4\)
2. \(\left(3x-\frac{2}{5x^2}\right)^9\)
3. \(\left(3x^2-\frac{5}{7x^3}\right)^4\)
4. \((1-x^2+x^3)\left(3x^2-\frac{5}{7x^3}\right)^6\)

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:binom-04}\)

Показати, що\( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k = 3^n\) для будь-якого натурального цілого числа\(n\).

Вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:binom-05}\)

\(n\)Дозволяти бути натуральним цілим числом. Оцініть\( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} r^k\) будь-яке дійсне число\(r\).

Вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:binom-06}\)

Знайдіть замкнуту форму для підсумовування\( \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}\).

Підказка

\((1+x)^n\)Диференціювати по відношенню до\(x\).

Вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:binom-07}\)

Мета цієї проблеми полягає в тому, щоб вивести формулу для\(\sum_{k=1}^n k^2\).

1. Використовуйте індукцію, щоб показати, що\[\sum_{k=1}^n \binom{k}{1} = \frac{n(n+1)}{2} \nonumber\] для будь-якого натурального цілого числа\(n\).
2. Використовуйте індукцію, щоб показати, що\[\sum_{k=1}^n \binom{k}{2} = \frac{n(n+1)(n-1)}{3!} \nonumber\] для будь-якого додатного цілого\(n\)
3. Знайти цілі числа\(a\) і\(b\) такі, що\[k^2 = a\binom{k}{2} + b\binom{k}{1}. \nonumber\]
4. З частини (c) отримуємо\[\sum_{k=1}^n k^2 = a\sum_{k=1}^n \binom{k}{2} + b\sum_{k=1}^n \binom{k}{1}. \nonumber\] Застосувати результати з частин (a) і (b), щоб вивести формулу для\(\sum_{k=1}^n k^2\).

Підказка (б)

Зауважте, що\(\binom{1}{2}=0\).

Підказка (c)

Порівняти коефіцієнти.

Вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:binom-08}\)

Мета цієї проблеми полягає в тому, щоб вивести формулу для\(\sum_{k=1}^n k^3\).

1. Використовуйте індукцію, щоб показати, що\[\sum_{k=1}^n \binom{k}{3} = \frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{4!} \nonumber\] для будь-якого натурального цілого числа\(n\).
2. Знайти цілі числа\(a\)\(b\), і\(c\) такі, що\[k^3 = a\binom{k}{3} + b\binom{k}{2} + c\binom{k}{1}. \nonumber\]
3. Застосуйте результати з частин (a) та (b), щоб отримати формулу для\(\sum_{k=1}^n k^3\).

Підказка (а)

Зауважте, що\(\binom{1}{2}=0\).

Підказка (б)

Порівняти коефіцієнти.