8.4: Комбінації

У багатьох проблемах підрахунку порядок розташування або підбору значення не має. По суті, ми вибираємо або формуємо підмножини.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:combin-01}\)

Визначте кількість способів вибору 4 значень з 1, 2, 3,..., 20, при яких порядок вибору не має значення.

Рішення

\(N\)Дозволяти кількість способів вибрати 4 числа. Оскільки порядок, в якому вибираються числа, не має значення, це не послідовності (в якому порядок появи має значення). Ми можемо змінити вибір з 4 чисел у послідовність. 4 числа можна розташувати\(P(4,4)=4!\) способами. Тому всі ці 4-числові вибори разом створюють\(N\cdot4!\) послідовності. Кількість 4-числових послідовностей дорівнює\(P(20,4)\). Таким чином\(N\cdot4!=P(20,4)\), або еквівалентно,\(N=P(20,4)/4!\).

Визначення: комбінації

Кількість підмножин\(r\) -element у множині\(n\) -element позначається

\[C(n,r) \qquad\mbox{ or }\qquad \binom{n}{r}, \nonumber\]

де\({n\choose r}\) читається як «\(n\)вибрати»\(r\). Він визначає кількість комбінацій\(n\) предметів, взятих\(r\) за один раз (без заміни). Альтернативні позначення, такі як\(_nC_r\) і\(C_r^n\) можна знайти в інших підручниках. Не пишіть так, як\((\frac{n}{r})\); це позначення має зовсім інше значення.

Нагадаємо, що\(\binom{n}{r}\) підраховується кількість способів вибору або вибору\(r\) об'єктів з пулу\(n\) об'єктів, в яких порядок виділення не має значення. Отже,\(r\) -комбінації є підмножинами розміру\(r\).

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:combin-02}\)

У 2-х комбінаціях\(S=\{a,b,c,d\}\) є

\[\{a,b\}, \quad \{a,c\}, \quad \{a,d\}, \quad \{b,c\}, \quad \{b,d\}, \quad\mbox{and}\quad \{c,d\}. \nonumber\]

Тому\(\binom{4}{2}=6\). Які бувають 1-комбінації та 3-комбінації\(S\)? Що можна сказати про значення\(\binom{4}{1}\) і\(\binom{4}{3}\)?

Рішення

1-комбінації - це одноелетні набори\(\{a\}\),\(\{b\}\),\(\{c\}\), і\(\{d\}\). Отже,\(\binom{4}{1}=4\). У 3-комбінації\[\{a,b,c\}, \quad \{a,b,d\}, \quad \{a,c,d\}, \quad\mbox{and}\quad \{b,c,d\}. \nonumber\] Таким чином,\(\binom{4}{3}=4\).

Теорема\(\PageIndex{1}\label{thm:combin}\)

Для всіх цілих чисел\(n\) і\(r\) задовольняє\(0\leq r\leq n\), ми маємо\[\binom{n}{r} = \frac{P(n,r)}{r!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}. \nonumber\]

Доказ

Ідея схожа на ту, яку ми використовували в альтернативному доведенні теореми 8.3.2. \(A\)Дозволяти бути множиною всіх\(r\) -перестановок, і нехай\(B\) буде набір всіх\(r\) -комбінацій. \(f: A \to B\)Визначте функцію, яка перетворює перестановку в комбінацію шляхом «розшифровки» її порядку. Тоді\(f\) є функцією\(r!\) до одного, оскільки існують\(r!\) способи впорядкування (або перетасування)\(r\) об'єктів. Тому\[|A| = r!\cdot|B|. \nonumber\] Оскільки\(|A|=P(n,r)\), і\(|B|=\binom{n}{r}\), з цього випливає\(\binom{n}{r} = P(n,r)/r!\).

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:combin-03}\)

Є\(\binom{40}{5}\) способи вибрати 5 чисел, без повторень, з цілих чисел\(1,2,\ldots,40\). Обчислити його числове значення вручну простіше, якщо спочатку скасувати загальні множники в чисельнику і знаменнику. знаходимо

\[\binom{40}{5} = \frac{40\cdot39\cdot38\cdot37\cdot36} {5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = 13\cdot38\cdot37\cdot36, \nonumber\]

який дає\(\binom{40}{5}=658008\).

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:combin-01}\)

Обчислення\(\binom{12}{3}\) вручну.

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:combin-02}\)

Виконавчий комітет з трьох членів повинен бути обраний з групи з семи кандидатів. Скільки способів може бути сформований комітет?

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:combin-03}\)

Скільки підмножин\(\{1,2,\ldots,23\}\) мають п'ять елементів?

Слідство\(\PageIndex{2}\)

Бо\(0\leq r\leq n\), у нас є\(\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\).

Доказ

Відповідно до теореми 8.4.1, ми маємо\[\binom{n}{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!\,(n-(n-r))!} = \frac{n!}{(n-r)!\,r!}, \nonumber\] що саме\(\binom{n}{r}\).

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:combin-04}\)

Для обчислення числового значення замість обчислення добутку 47 факторів\(\binom{50}{47}\), як зазначено у визначенні, це набагато швидше, якщо ми використовуємо,\[\binom{50}{47} = \binom{50}{3} = \frac{50\cdot 49\cdot48}{3\cdot 2\cdot 1}, \nonumber\] з якого ми отримуємо\(\binom{50}{47} = 19600\).

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:combin-04}\)

Обчислити вручну числове значення\(\binom{529}{525}\).

Тепер ми готові розглянути деякі змішані приклади. У всіх цих прикладах іноді нам доводиться використовувати перестановку, в іншому випадку нам доводиться використовувати комбінацію. Дуже часто нам потрібно використовувати обидва, разом з принципами додавання і множення. Ви можете запитати, як я можу зрозуміти, що робити? Пропонуємо задати собі такі питання:

1. Використовуйте будівельний підхід. Якщо ви хочете перерахувати всі конфігурації, які відповідають вимогам, як ви збираєтеся це робити систематично?
2. Чи є кілька випадків, пов'язаних з проблемою? Якщо так, нам потрібно спочатку перерахувати їх, перш ніж проходити кожен з них по одному. Нарешті, додайте результати, щоб придумати остаточну відповідь.
3. Чи дозволяємо ми повторення або заміни? Це питання також може набувати вигляду того, чи є предмети помітними або нерозрізненими.
4. Чи має значення порядок? Якщо так, ми повинні використовувати перестановку. В іншому випадку використовуйте комбінацію.
5. Іноді може бути простіше використовувати принцип множення замість перестановки, оскільки повторення можуть бути дозволені (у цьому випадку ми не можемо використовувати перестановку, хоча ми все ще можемо використовувати принцип множення). Спробуйте намалювати принципову схему і визначитеся з неї, що нам потрібно. Якщо аналіз передбачає закономірність, яка слідує за тією, яка знайдена в перестановці, ви можете використовувати формулу для перестановки.
6. Не забувайте: може бути простіше працювати з доповненням.

Часто незрозуміло, як почати роботу, тому що, здається, є кілька способів почати будівництво. Наприклад, як би ви розподілили банки з газованою водою серед групи студентів? Можливі два підходи:

1. З точки зору студентів. Уявіть, що ви один із студентів, яку газовану воду ви б отримали?
2. З точки зору банки з содою. Уявіть, що ви тримаєте в руках банку з содою, кому б ви дали цю соду?

Залежно від актуальної проблеми, зазвичай працює лише один із цих двох підходів.

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:combin-05}\)

Припустимо, ми повинні роздати 10 різних банок з газованою водою 20 студентам. Зрозуміло, що деякі студенти можуть не отримати ніякої газованої води. Насправді деякі щасливі студенти могли отримати не одну газовану воду (проблема не говорить, що цього не може статися). Значить, простіше почати з точки зору банок з газованою водою.

Рішення

Ми можемо дати першу газовану воду будь-якому з 20 студентів, а також можемо дати другу соду будь-якому з 20 студентів. Насправді у нас завжди є 20 варіантів для кожної газованої води. Оскільки у нас є 10 газованих напоїв, є\(\underbrace{20\cdot20\cdots20}_{10} = 20^{10}\) способи розподілу газованої води.

Приклад\(\PageIndex{6}\label{eg:combin-06}\)

Скільки способів може бути відібрана команда з трьох представників з класу 885 студентів? Скільки способів може бути обрана команда з трьох представників, що складається з голови, заступника голови та секретаря?

Рішення

Якщо нас цікавить лише вибір трьох представників, порядок не має значення. Отже, відповідь була б\(\binom{885}{3}\). Якщо ми стурбовані тим, які посади займатимуть ці три представника, то відповідь повинна бути\(P(885,3)\).

практичні вправи\(\PageIndex{5}\label{he:combin-05}\)

Майку потрібні нові сорочки, але у нього є лише достатньо грошей, щоб придбати п'ять з восьми, які йому подобаються. Скільки способів він може придбати п'ять сорочок, вибравши їх навмання?

практичні вправи\(\PageIndex{6}\label{he:combin-06}\)

Мері хоче придбати чотири сорочки для своїх чотирьох братів, і вона хотіла б, щоб кожна з них отримала іншу сорочку. Вона знаходить десять сорочок, які, на її думку, їм сподобаються. Багато в чому вона може їх вибрати?

Гральні карти дають відмінні приклади для підрахунку проблем. Про всяк випадок, якщо ви з ними не знайомі, давайте коротко розглянемо, що містить колода гральних карт.

• Є 52 гральних карти, кожна з них відзначена мастю і рангом.
• Існує чотири масті: піки (\(\spadesuit\)), серця (\(\heartsuit\)), діаманти (\(\diamondsuit\)) і трефи (\(\clubsuit\)).
• Кожна масть має 13 рангів, позначені A, 2, 3,..., 9, 10, J, Q і K, де A означає туз, J означає валет, Q означає даму, а K означає король.
• Кожен ранг має по 4 масті (див. Вище).

практичні вправи\(\PageIndex{7}\label{he:combin-07}\)

Визначте кількість п'ятикарткових покерних рук, які можна роздати з колоди з 52 карт.

Рішення

Все, що нас хвилює, це те, які п'ять карт можна знайти в руці. Це проблема вибору. Відповідь є\(\binom{52}{5}\).

практичні вправи\(\PageIndex{7}\label{eg:combin-07}\)

Скільки способів може бути роздана 13-карткова бридж-рука зі стандартної колоди з 52 карт?

Приклад\(\PageIndex{8}\label{eg:combin-08}\)

Скільки способів можна роздати колоду з 52 карт в грі в бридж? (У грі на міст є чотири гравці, позначені як Північ, Схід, Південь і Захід, кожному з них роздається рука з 13 карт.)

Рішення

Різниця між цією проблемою та останнім прикладом полягає в тому, що порядок розподілу чотирьох мостових рук має значення. Це проблема, яка поєднує в собі перестановки і комбінації. Як ми вже пропонували раніше, найкращим підходом є початок з нуля, використовуючи принципи додавання та/або множення, а також перестановки та/або комбінації, коли це здається доречним.

Є\(\binom{52}{13}\) способи дати 13 карт першому гравцеві. Тепер у нас залишилося 39 карт, з яких ми вибираємо 13, які будуть віддані другому гравцеві. Тепер з решти 26 карт ми повинні віддати 13 третьому гравцеві. Нарешті, останні 13 карт будуть передані останньому гравцеві (є тільки один спосіб зробити це). Кількість способів роздати карти в грі на міст є\(\binom{52}{13} \binom{39}{13} \binom{26}{13}\).

Ми могли б сказати відповідь:\[\binom{52}{13} \binom{39}{13} \binom{26}{13} \binom{13}{13}. \nonumber\] Останній фактор\(\binom{13}{13}\) - це кількість способів дати останні 13 карт четвертому гравцеві. Чисельно\(\binom{13}{13}=1\), так що дві відповіді однакові. Не відкидайте цей зайвий фактор як надлишковий. Візьміть до відома приємний візерунок у цій відповіді. Нижні цифри - 13, тому що ми вибираємо 13 карт, які будуть дані кожному гравцеві. Верхні цифри вказують, скільки карт ще доступно для розповсюдження на кожному етапі роздачі. Міркування, що стоїть за рішенням, є зрозумілими!

Приклад\(\PageIndex{9}\label{eg:combin-09}\)

Визначте кількість п'ятикарткових покерних рук, які містять три королеви. Скільки з них містить, крім трьох цариць, ще пару карт?

Рішення

1. Насамперед необхідно вибрати трьох маток\(\binom{4}{3}\) способами, після чого інші дві карти можна вибрати\(\binom{48}{2}\) способами. Тому і зовсім є\(\binom{4}{3} \binom{48}{2}\) руки, які відповідають вимогам.
2. Як і в частині (а), трьох маток можна вибрати\(\binom{4}{3}\) способами. Далі нам потрібно вибрати пару. Ми можемо вибрати будь-яку карту з решти 48 карт (отже, є 48 варіантів), після чого ми повинні вибрати одну з решти 3 карт того ж рангу. Це дає\(48\cdot3\) вибір для пари, чи не так? Відповідь - НІ!

Перша карта, яку ми вибрали\(\heartsuit 8\), може бути, а друга може бути\(\clubsuit 8\). Однак перша карта могла бути\(\clubsuit 8\), а друга\(\heartsuit 8\). Ці два вибори зараховуються як різні вибори, але насправді вони є однією і тією ж парою! Біда в тому, що ми розглядаємо «першу», і «другу» карти, яка по суті накладає порядок серед двох карт, тим самим перетворюючи її в послідовність або впорядкований відбір. Ми повинні розділити відповідь на 2, щоб подолати подвійний підрахунок. Отже, відповідь є\(\frac{48\cdot3}{2}\).

Ось кращий спосіб підрахувати кількість пар. Важливе питання, яке потрібно задати:

Який з них ми повинні вибрати в першу чергу: костюм чи звання?

Тут ми хочемо вибрати ранг першим. Є 12 варіантів (пара не може бути королевами) для рангу, і серед чотирьох карт цього рангу ми можемо вибрати дві карти\(\binom{4}{2}\) способами. Тому відповідь є\(12\binom{4}{2}\). Чисельно дві відповіді ідентичні, тому що\(12\binom{4}{2} = 12\cdot\frac{4\cdot3}{2} = \frac{48\cdot3}{2}\). Підсумовуючи: остаточна відповідь є\(\binom{4}{3}\cdot12\binom{4}{2}\).

практичні вправи\(\PageIndex{8}\label{he:combin-08}\)

Скільки мостових рук містять рівно чотири лопати?

практичні вправи\(\PageIndex{9}\label{he:combin-09}\)

Скільки мостових рук містять рівно чотири піки і чотири серця?

практичні вправи\(\PageIndex{10}\label{he:combin-10}\)

Скільки мостових рук там містять рівно чотири піки, три серця, три діаманти та три трефи?

Приклад\(\PageIndex{10}\label{eg:combin-10}\)

Скільки натуральних чисел, що не перевищують 99999, містять рівно три 7s?

Рішення

Розцінюйте кожне законне ціле число як послідовність з п'яти цифр, кожна з яких вибирається з 0, 1, 2,..., 9. Наприклад, ціле число 358 можна вважати 00358. Три з п'яти позицій повинні бути зайняті 7. Існують\(\binom{5}{3}\) способи вибору цих трьох слотів. Решта дві позиції можна заповнити будь-якою з дев'яти інших цифр. Значить, є\(\binom{5}{3} \cdot 9^2\) такі цілі числа.

Приклад\(\PageIndex{11}\label{eg:combin-11}\)

Скільки п'ятизначних натуральних чисел містять рівно три 7s?

Рішення

На відміну від останнього прикладу, перша з п'яти цифр не може бути 0. Тим не менш, відповідь - ні\(\binom{5}{3} \cdot 9 \cdot 8\). Так, є\(\binom{5}{3}\) варіанти розміщення трьох 7s, але деякі з цих виборів, можливо, поставили 7s в останні чотири позиції. Це залишає першу цифру незаповненою. Дев'ять варіантів, порахованих на 9, дозволяє поставити нуль в першу позицію. В результаті виходить, в кращому випадку, чотиризначне число. Правильний підхід полягає в розгляді двох випадків:

• Випадок 1. Якщо перша цифра не 7, то є вісім способів заповнити цей слот. Серед решти чотирьох позицій три з них повинні бути 7, а остання може бути будь-якою цифрою, крім 7. Таким чином, є\(8\cdot \binom{4}{3}\cdot 9\) цілі числа в цій категорії.
• Випадок 2. Якщо перша цифра дорівнює 7, нам все одно доведеться поставити дві інші 7s в інших чотирьох позиціях. Є\(\binom{4}{2} \cdot 9^2\) такі цілі числа.

Разом два випадки дають загальну кількість цілих\(8\cdot \binom{4}{3}\cdot 9 + \binom{4}{2} \cdot 9^2 = 774\) чисел.

практичні вправи\(\PageIndex{11}\label{he:combin-11}\)

П'ять кульок вибираються з мішка з восьми синіх кульок, шести червоних кульок і п'яти зелених кульок. Скільки з цих п'ятикульних виборів містять рівно дві сині кулі?

Приклад\(\PageIndex{12}\label{eg:combin-12}\)

Знайдіть кількість способів вибрати п'ять куль з мішка з шести червоних куль, вісім синіх куль і чотири жовті кулі, такі, що п'ять кульок вибору містять рівно дві червоні кулі або дві сині кулі.

Рішення

Ключове слово «or» передбачає, що це проблема, яка передбачає об'єднання двох множин, отже, ми повинні використовувати PIE для вирішення проблеми.

• Скільки виділень містять дві червоні кулі? Після того ж аргументу, який використовувався в останньому прикладі, відповідь є\(\binom{6}{2} \binom{12}{3}\).
• Скільки виділень містять дві сині кулі? Відповідь є\(\binom{8}{2} \binom{10}{3}\).
• Відповідно до PIE, остаточна відповідь -\[\binom{6}{2} \binom{12}{3} + \binom{8}{2} \binom{10}{3} - \binom{6}{2} \binom{8}{2} \binom{4}{1}. \nonumber\] У кожному семестрі верхні числа завжди складаються до 18, а сума нижніх чисел завжди дорівнює 5. Чи можете ви пояснити чому?
• Скільки виборів містять дві червоні кулі та 2 сині кулі? Відповідь є\(\binom{6}{2} \binom{8}{2} \binom{4}{1}\).

Приклад\(\PageIndex{13}\label{eg:combin-13}\)

У нас є 11 кульок, п'ять з яких сині, три з яких червоні, а решта три зелені. Скільки колекцій з чотирьох кульок можна вибрати таку, щоб було відібрано хоча б два синіх кульки? Припустимо, що кульки одного кольору не відрізняються.

Рішення

Ключові слова «принаймні» означають, що ми могли б мати дві, три або чотири сині кулі. Є\[\binom{5}{2} \binom{6}{2} + \binom{5}{3} \binom{6}{1} + \binom{5}{4} \binom{6}{0} \nonumber\] способи, щоб вибрати чотири кулі, принаймні два з них сині.

практичні вправи\(\PageIndex{12}\label{he:combin-12}\)

Джеррі купив вісім банок Pepsi, сім банок спрайту, три банки доктора Пеппера і шість банок Mountain Dew. Він хоче принести 10 банок до будинку свого приятеля, коли вони дивляться баскетбольну гру сьогодні ввечері. Якщо припустити, що банки помітні, скажімо, з різними термінами придатності, скільки виділень він може зробити, якщо захоче принести

1. Рівно чотири банки Pepsi?
2. Принаймні чотири банки Pepsi?
3. Не більше чотирьох банок Pepsi?
4. Рівно три банки Pepsi, а максимум три банки Sprite?

Доказ наступного результату використовує те, що ми називаємо комбінаторним або підрахунковим аргументом. Взагалі комбінаторний аргумент не спирається на алгебраїчні маніпуляції. Швидше, він використовує комбінаторну значущість ситуацій для вирішення проблеми.

Теорема\(\PageIndex{3}\)

Доведіть, що\(\sum_{r=0}^n \binom{n}{r} = 2^n\) для всіх невід'ємних цілих чисел\(n\).

Доказ

Оскільки\(\binom{n}{r}\) підраховує кількість підмножин\(r\) -element\(S\), вибраних із множини\(n\) -element, підсумовування ліворуч є сумою кількості підмножин усіх можливих кардинальностей.\(S\) Іншими словами, це загальна кількість підмножин в\(S\). Раніше ми дізналися, що\(S\) має\(2^n\) підмножини, які встановлюють ідентичність відразу.

Резюме та огляд

• Використовуйте перестановку, якщо порядок має значення, інакше використовуйте комбінацію.
• Розташування ключових слів, послідовність та порядок пропонують використовувати перестановку.
• Вибір ключових слів, підмножина та група пропонують використовувати комбінацію.
• Найкраще почати з будівництва. Уявіть, що ви хочете перерахувати всі можливості, як би ви почали?
• Можливо, нам доведеться використовувати як перестановку, так і комбінацію, і, швидше за все, нам також може знадобитися використовувати принципи додавання та множення.

Вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:combin-01}\)

Якщо Buffalo Bills і Клівленд Браунс мають вісім і шість гравців, відповідно, доступні для торгівлі, скільки способів вони можуть поміняти трьох гравців на трьох гравців?

Вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:combin-02}\)

У грі Mastermind один гравець, кодемейкер, вибирає послідовність з чотирьох кольорів («код»), обраних з червоного, синього, зеленого, білого, чорного та жовтого.

1. Скільки різних кодів можна сформувати?
2. Скільки кодів використовують чотири різних кольори?
3. Скільки кодів використовують тільки один колір?
4. Скільки кодів використовують рівно два кольори?
5. Скільки кодів використовують рівно три кольори?

Вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:combin-03}\)

Беккі любить дивитися DVD щовечора. Скільки DVD-дисків вона повинна мати, якщо вона може дивитися щовечора протягом 24 вечорів поспіль під час зимової перерви?

1. Інша підмножина DVD-дисків?
2. Інша підмножина з трьох DVD-дисків?

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:combin-04}\)

У Бріджит є\(n\) друзі зі свого бридж-клубу. Щочетверга ввечері вона запрошує трьох друзів до себе додому на гру в міст. Вона завжди сидить у північній позиції, і вона вирішує, які друзі повинні сидіти на сході, півдні та заході. Вона здатна це робити протягом 200 тижнів, не повторюючи розсадження. Яке мінімальне значення\(n\)?

Вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:combin-05}\)

У Бріджит є\(n\) друзі зі свого бридж-клубу. Вона здатна запрошувати різну підмножину з трьох з них до себе додому щочетверга ввечері протягом 100 тижнів. Яке мінімальне значення\(n\)?

Вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:combin-06}\)

Скільки п'ятизначних чисел можна сформувати з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Скільки з них не мають повторюваних цифр?

Вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:combin-07}\)

На кафедрі математики невеликого коледжу працюють три професори, сім доцентів та чотири доценти. Скільки способів може бути сформований комітет з чотирьох членів за цими обмеженнями:

1. Обмежень немає.
2. Відбирається хоча б один повний професор.
3. Комітет повинен містити професора з кожного звання.

Вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:combin-08}\)

Менеджер універмагу отримує від штаб-квартири компанії 12 футбольних квитків на ту ж гру (отже, вони можуть розглядатися як «ідентичні»). Скільки способів вона може розподілити їх на 20 співробітників, якщо ніхто не отримає більше одного квитка? Що робити, якщо квитки на 12 різних ігор?

Вправа\(\PageIndex{9}\label{ex:combin-09}\)

Шахова дошка має 64 різних квадратів, розташованих на вісім рядків і вісім стовпців.

1. Скільки способів можна розмістити вісім однакових шашок на дошці, щоб жодна дві шашки не могли займати один ряд або один стовпець?
2. Скільки способів можна розмістити на дошці дві однакові червоні шашки і дві однакові чорні шашки, щоб жодна дві шашки одного кольору не могли займати один ряд або один стовпець?

Вправа\(\PageIndex{10}\label{ex:combin-10}\)

Визначте кількість перестановок\(\{A, B, C, D, E\}\), які задовольняють наступним умовам:

1. \(A\)займає першу позицію.
2. \(A\)займає першу позицію,\(B\) а другу.
3. \(A\)з'являється раніше\(B\).

Вправа\(\PageIndex{11}\label{ex:combin-11}\)

Двійковий рядок - це послідовність цифр, обраних з 0 і 1. Скільки двійкових рядків довжиною 16 містять рівно сім 1s?

Вправа\(\PageIndex{12}\label{ex:combin-12}\)

Скільки способів можна вибрати непорожню підмножину людей з восьми чоловіків і восьми жінок так, щоб кожна підмножина містила рівну кількість чоловіків і жінок?

Вправа\(\PageIndex{13}\label{ex:combin-13}\)

Покерна рука - це вибір з п'яти карт, обраний зі стандартної колоди з 52 карт. Скільки покерних рук задовольняють наступним умовам?

1. Обмежень немає.
2. Рука містить щонайменше одну карту з кожної масті.
3. Рука містить рівно одну пару (інші три карти всіх різних рангів).
4. Рука містить три рангу (інші дві карти всіх різних рангів).
5. Рука - це аншлаг (три одного рангу і пара іншого).
6. Рука пряма (послідовні ряди, як в 5, 6, 7, 8, 9, але не всі з однієї масті).
7. Рука - флеш (все та ж масть, але не пряма).
8. Рука - прямий флеш (як прямий, так і флеш).

Вправа\(\PageIndex{14}\label{ex:combin-14}\)

Місцевий піцерія пропонує наступні начинки на сирні піци: додатковий сир, пепероні, гриби, зелений перець, цибуля, ковбаса, шинка та анчоуси.

1. Скільки видів піци можна замовити?
2. Скільки видів піци можна замовити рівно з трьома начинками?
3. Скільки видів вегетаріанської піци (без пепероні, ковбаси чи шинки) можна замовити?