8.2: Принципи додавання та множення

Нагадаємо, що кардинальність кінцевої множини\(A\), що позначається\(|A|\), - це кількість елементів, які вона містить.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:addmult-01}\)

Якщо\(A=\{-1,0,2\}\), то\(|A|=3\). Також\[\begin{array}{rcl} |\{2\}| &=& 1, \\ |\{2,5,-1,-3\}| &=& 4, \\ |\{x\in\mathbb{R}\mid x^2=1\}| &=& 2. \end{array} \nonumber\] зверніть увагу\(|\emptyset|=0\), що, оскільки порожній набір не містить жодного елемента.

Цікавіше стає, якщо розглядати кардинальність союзу або перетину двох і більше множин.

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:addmult-02}\)

Визначте\(|A \cup B|\) і\(|A \cap B|\) якщо\(A=\{2,5\}\) і\(B=\{7,9,10\}\).

Рішення

Так як\(A\cup B = \{2,5,7,9,10\}\), і\(A\cap B = \emptyset\), зрозуміло\(|A\cup B|=5\), що, і\(|A\cap B|=0\).

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:addmult-03}\)

Визначте\(|A \cup B|\) і\(|A \cap B|\) якщо\(A=\{2,5\}\) і\(B=\{5,9,10\}\).

Рішення

Так як\(A\cup B = \{2,5,9,10\}\), і\(A\cap B = \{5\}\), зрозуміло\(|A\cup B|=4\), що, і\(|A\cap B|=1\).

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:addmult-01}\)

Нехай\(A=\{n\in\mathbb{Z} \mid -5\leq n\leq3\}\), і\(B=\{n\in\mathbb{Z} \mid -3\leq n\leq5\}\). Оцініть\(|A\cap B|\) і\(|A\cup B|\).

Різниця між двома останніми прикладами полягає в тому, чи\(B\) мають дві множини\(A\) і непорожнє перетин. Два\(A\) набори і\(B\) розмежовуються, якщо\(A \cap B = \emptyset\). \(A_1, A_2, \ldots, A_n\)Колекція наборів, як кажуть, попарно не поєднується, якщо\(A_i \cap A_j = \emptyset\) коли завгодно\(i\neq j\). Коли попарно\(A_1, A_2, \ldots, A_n\) розчленовані, їх союз називається нероз'ємним союзом.

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:addmult-04}\)

Нехай\(A=\{1,0,-1\}\),\(B=\{-2,0,2\}\),\(C=\{-2,2\}\) і\(D=\{3,4,5\}\). Тоді\(A\)\(C\), і\(D\) попарно розмежовуються, так є\(B\) і\(D\), але\(A\)\(B\), і не\(C\) є.

Теорема\(\PageIndex{1}\): Addition Principle

Якщо скінченні\(A_1, A_2, \dots, A_n\) множини попарно нез'єднані, то\[|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| = |A_1| + |A_2| + \cdots + |A_n|. \nonumber\]

Використовуйте принцип додавання, якщо ми можемо розбити проблеми на випадки, і порахувати, скільки предметів або варіантів у нас є в кожному випадку. Загальна кількість - це сума цих індивідуальних підрахунків. Ідея полягає в тому, що замість того, щоб рахувати великий набір, ми ділимо його на кілька менших підмножин, і підраховуємо розмір кожної з них. Кардинальність вихідної множини - це сума кардинальностей менших підмножин. Цей підхід «розділяй і володарюй» чудово працює лише тоді, коли набори попарно не з'єднані.

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:addmult-05}\)

Щоб знайти кількість учнів, присутніх на лекції, викладач підраховує, скільки учнів є в кожному рядку, а потім додає цифри, щоб отримати загальну кількість.

Коли множини не розмежовуються, принцип додавання не дає нам правильної відповіді, оскільки елементи, що належать до перетину, підраховуються не один раз. Ми повинні компенсувати надмірний підрахунок, віднімаючи кількість разів, коли ці елементи перезараховуються. Найпростіший чохол охоплює два комплекти.

Теорема\(\PageIndex{2}\label{pie}\): Principle of Inclusion-Exclusion (PIE)

Для будь-яких скінченних множин\(A\) і\(B\), у нас є\[|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|. \nonumber\]

Доказ

Спостерігайте, що\(A\cup B\) це неспільний союз трьох наборів\[A \cup B = (A-B) \cup (A \cap B) \cup (B-A). \nonumber\] Зрозуміло\(|A-B| = |A|-|A\cap B|\), що, і\(|B-A|=|B|-|A\cap B|\). Тому,\[\begin{array}{rcl} |A \cup B| &=& |A-B| + |A\cap B| + |B-A| \\ &=& (|A|-|A \cap B|) + |A\cap B| + (|B|-|A \cap B|) \\ &=& |A| + |B| - |A \cap B|, \end{array} \nonumber\] що ми повинні довести.

Принцип включення-виключення також працює, якщо\(A\) і\(B\) є неспільними, тому що в такому випадку\(|A\cap B|=0\), зводиться PIE до принципу додавання.

Приклад\(\PageIndex{6}\label{eg:pie}\)

Припустимо, що поточний зарахування в коледжі становить 4689, з 60 студентами, які приймають MATH 210, 42 приймають CSIT 260, і 24 приймають обидва. Разом, скільки різних студентів беруть ці два курси? Іншими словами, визначити кількість студентів, які беруть або MATH 210 або CSIT 260.

Рішення

Нехай\(A\) буде набір студентів, що приймають MATH 210, і\(B\) набір студентів, які приймають CSIT 260, Тоді,\(|A|=60\),\(|B|=42\), і\(|A\cap B|=24\). Ми хочемо знайти\(|A\cup B|\). Відповідно до PIE,\[|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 60+42-24 = 78. \nonumber\] Таким чином, 78 студенти беруть або MATH 210 або CSIT 260.

Приклад\(\PageIndex{7}\label{eg:addmult-07}\)

Серед 4689 студентів 2112 з них заробили щонайменше 60 кредитних годин, а 2678 з них заробили максимум 60 кредитних годин. Скільки там студентів, які накопичили рівно 60 годин?

Рішення

Нехай\(A\) буде набір студентів, які заробили щонайменше 60 кредитних годин, і\(B\) буде набір студентів, які заробили максимум 60 кредитних годин. Ми хочемо знайти\(|A\cap B|\). За даними PIE,\[4689 = |A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B| = 2112+2678-|A\cap B|. \nonumber\] Отже,\[|A\cap B| = (2112+2678)-4689 = 101. \nonumber\] Є 101 студенти, які накопичили рівно 60 кредитних годин.

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:addmult-02}\)

Відвідуваність двох послідовних футбольних ігор коледжу становила 72397 та 69211 відповідно. Якщо 45713 людей відвідали обидві гри, скільки різних людей переглянули ігри?

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:addmult-03}\)

Відвідуваність двох послідовних футбольних ігор коледжу становила 72397 та 69211 відповідно. Якщо 93478 різних людей відвідали ці дві ігри, скільки пішли в обидві?

Іноді, легко працювати з доповненням набору.

Лемма\(\PageIndex{3}\)

Для будь-якого скінченного\(S\) множини, у нас\({\cal U}\) є\[|\overline{S}| = |{\cal U}| - |S|, \nonumber\] де є універсальний набір, що містить\(S\).

Приклад\(\PageIndex{8}\label{eg:addmult-08}\)

У прикладі 8.2.6, оскільки є 78 студентів, які беруть або MATH 210 або CSIT 260, кількість студентів, які беруть ні, не є\(4689-78=4611\).

Принцип включення-виключення може бути поширений на будь-яку кількість множин. Ситуація складніша, тому що деякі елементи можуть бути підраховані подвійно, якісь потрійні і т.д. щоб дати вам смак загального результату, ось принцип включення-виключення для трьох сетів.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Для будь-яких трьох скінченних множин\(A\),\(B\) і\(C\),\[|A \cup B \cup B| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \nonumber\]

Доказ

Об'єднання\(A \cup B \cup C\) є нероз'єднаним об'єднанням семи підмножин:\[\displaylines{ A-(B\cup C), \quad B-(C\cup A), \quad C-(A\cup B), \quad (A\cap B)-(A\cap B\cap C), \cr (B\cap C)-(A\cap B\cap C), \quad (C\cap A)-(A\cap B\cap C), \quad \mbox{and}\quad A\cap B\cap C. \cr} \nonumber\] Ми можемо застосувати аргумент, подібний до того, який використовується в об'єднанні двох множин для завершення доказу. Деталі залишаємо як вправу.

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:addmult-04}\)

Група студентів стверджує, що кожен з них бачив хоча б одну частину трилогії «Назад у майбутнє». Швидке показ рук показує, що

• 47 дивилися Частина I;
• 43 дивилися Частина II;
• 32 дивилися Частина ІІІ;
• 33 дивилися обидві частини I і II;
• 27 дивилися обидві частини I і III;
• 25 дивилися обидві частини II і III;
• 22 дивилися всі три частини.

Скільки студентів в групі?

Ще одна корисна методика підрахунку - принцип множення.

Теорема\(\PageIndex{5}\) (Multiplication Principle)

Для будь-яких скінченних множин\(A\) і\(B\), у нас є\[|A\times B| = |A|\cdot|B|. \nonumber\]

Зрозуміло, що це може бути розширено до декартового продукту.\(n\)

Теорема\(\PageIndex{6}\)

Для будь-яких скінченних множин\(A_1, A_2, \ldots, A_n\) ми маємо\[|A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \cdots \cdot |A_n|. \nonumber\]

У багатьох додатках може бути корисно використовувати еквівалентну форму.

Теорема\(\PageIndex{7}\) (Multiplication Principle: Alternate Form)

Якщо завдання складається з\(k\) етапів, а якщо є\(n_i\) способи закінчити крок\(i\), то всю роботу можна виконати\(n_1 n_2 \ldots n_k\) по-різному.

Тепер, коли у нас є дві методики підрахунку, принцип додавання та принцип множення, який з них слід використовувати? Основна відмінність між ними полягає в тому, чи

• робочі місця можна розділити на випадки, групи або категорії; або
• кожне завдання можна розбити на етапи.

На практиці це допомагає намалювати картину конфігурацій, які ми рахуємо.

Приклад\(\PageIndex{9}\label{eg:addmult-09}\)

Скільки різних номерних знаків, якщо стандартний номерний знак складається з трьох букв, за якими слідують три цифри?

Рішення

Нам потрібно вирішити, скільки варіантів у нас є в кожній позиції. Намалюйте картинку, щоб показати конфігурацію. Намалюйте шість ліній, щоб представити шість позицій. Над кожним рядком коротко опишіть можливих кандидатів на цю посаду, а під кожним рядком напишіть кількість варіантів.

\[ \begin{array}{ccccccc} \text{choices:} & \text{any letter} & \text{any letter} & \text{any letter} & \text{any digit} & \text{any digit} & \text{any digit} \\ & - & - & - & - & - & - \\ \text{# of choices:} & 26 & 26 & 26 & 10 & 10 & 10 \end{array} \nonumber\]

Ця конфігурація зліва направо передбачає, що слід використовувати принцип множення. Відповідь є\(26\cdot 26\cdot 26\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 260^3\).

У міру того, як ви стаєте більш досвідченими, ви можете сперечатися безпосередньо, наступним чином. Є 26 варіантів для кожної з трьох букв і 10 варіантів для кожної цифри. Так існують\(26\cdot 26\cdot 26\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 260^3\) різні номерні знаки.

Приклад\(\PageIndex{10}\label{eg:addmult-10}\)

Знайти кількість натуральних чисел, що не перевищують 999, які закінчуються на 7.

Рішення 1

Цілі числа можуть мати один, два або три цифри, тому ми повинні проаналізувати три випадки.

• Випадок 1. Існує тільки одне ціле число з однією цифрою, а саме ціле число 7.
• Випадок 2. Якщо є дві цифри, перша може бути будь-якою цифрою між 1 і 9, а остання цифра повинна бути 7. \[ \begin{array}{ccc} \text{choices:} & 1-9 & 7 \\ & - & - \\ \text{# of choices:} & 9 & 1 \end{array} \nonumber\]Це дає нам дев'ять варіантів.
• Випадок 3. Якщо є три цифри, перша цифра може бути будь-якою цифрою від 1 до 9, друга будь-яка цифра між 0 і 9, а остання цифра повинна бути 7. \[ \begin{array}{cccc} \text{choices:} & 1-9 & \text{any digit} & 7 \\ & - & - & - \\ \text{# of choices:} & 9 & 10 & 1 \end{array} \nonumber\]Отже, в даному випадку є 90 цілих чисел.

Поєднуючи три випадки, ми маємо загальну кількість\(1+9+90=100\) цілих чисел, які відповідають вимогам.

Рішення 2

Цілі числа можуть бути записані як тризначні цілі числа, якщо ми дозволимо 0 як провідні цифри. Наприклад, 7 можна записати як\(007\), так і\(34\) як\(034\). За цією угодою ми повинні заповнити три позиції, де остання завжди зайнята цифрою 7. Перші дві цифри\(0, 1, 2, \ldots, 8\), або 9, тому є 10 варіантів для кожної позиції.

\[ \begin{array}{cccc} \text{choices:} & \text{any digit} & \text{any digit} & 7 \\ & - & - & - \\ \text{# of choices:} & 10 & 10 & 1 \end{array} \nonumber\]

Разом існують\(10\cdot10=100\) такі цілі числа.

практичні вправи\(\PageIndex{5}\label{he:addmult-05}\)

Скільки натуральних чисел менше 1000000, які закінчуються цифрою 3?

практичні вправи\(\PageIndex{6}\label{he:addmult-06}\)

Скільки натуральних чисел менше 10000, які закінчуються цифрою 0?

Приклад\(\PageIndex{11}\label{eg:addmult-11}\)

Визначте кількість чотиризначних натуральних чисел без повторюваних цифр.

Рішення

Ми хочемо визначити, скільки варіантів є для кожного місця значення. Перша цифра має дев'ять варіантів, оскільки вона не може бути 0. Після вибору першої цифри залишається дев'ять варіантів для другої цифри; а потім вісім варіантів для наступної цифри та сім варіантів для останньої цифри. Разом ми маємо\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7 =4536\) чотиризначні натуральні числа, які не містять повторюваних цифр. Питання: Чи можемо ми почати відлік з останньої цифри?

практичні вправи\(\PageIndex{7}\label{he:addmult-07}\)

Скільки існує шестизначних натуральних чисел, які не мають повторюваної цифри?

Приклад\(\PageIndex{12}\label{eg:addmult-12}\)

Визначте\(|\wp(S)|\), де\(S\) знаходиться набір\(n\) -елементів.

Рішення

Ми хочемо визначити кількість способів формування підмножини. Нехай\(n\) стихії будуть\(s_1, s_2, \ldots, s_n\). Щоб сформувати підмножину, ми проходимо кожен елемент\(s_i\) і вирішуємо, чи слід його включати в підмножину, таким чином, є два варіанти для кожного елемента.

\[ \begin{array}{ccccc} \text{element:} & s_1 & s_2 & & s_n \\ \text{choices} & \text{Y/N} & \text{Y/N} & \cdots & \text{Y/N} \\ & - & - & & - \\ \text{# of choices:} & 2 & 2 & & 2 \end{array} \nonumber\]

У нас є\(\underbrace{2\cdot2\cdot\,\cdots\, \cdot2}_{n \text{ factors}} = 2^n\) способи формування підмножин. Таким чином,\(|\wp(S)|=2^n\).

Приклад\(\PageIndex{13}\label{eg:addmult-13}\)

Скільки двозначних натуральних чисел не мають послідовних 5s?

Рішення 1

Розрізняють три неспільних випадки:

1. обидві цифри не 5,
2. тільки перша цифра дорівнює 5, а
3. тільки остання цифра дорівнює 5.

Існують\(8\cdot9+9+8=89\) цілі числа, які відповідають вимозі.

Рішення 2

Простіше рішення - розглянути доповнення проблеми. Існує лише одне ціле число з послідовними 5s, а саме ціле число 55. Існує 90 двозначних цілих чисел, отже\(90-1=89\) з них немає послідовних 5s.

практичні вправи\(\PageIndex{8}\label{he:addmult-08}\)

Скільки існує тризначних натуральних чисел, які не мають послідовних 4s?

Приклад\(\PageIndex{14}\label{eg:addmult-14}\)

Скільки способів ми можемо витягнути послідовність з трьох карт зі стандартної колоди з 52 карт?

Рішення

Це питання хитрість! Відповідь залежить від того, чи зможемо ми повернути витягнуту карту в колоду. З заміною відповідь є\(52^3\); без заміни, так і є\(52 \cdot 51 \cdot 50\).

Приклад\(\PageIndex{15}\label{eg:addmult-15}\)

Стандартний номерний знак штату Нью-Йорк складається з трьох букв, за якими слідують чотири цифри. Визначте номер стандартних номерних знаків штату Нью-Йорк з K як першою літерою або 8 як першою цифрою.

Рішення

Ключове слово «або» говорить про те, що ми дивимося на союз, отже, ми повинні застосувати PIE. Потрібно проаналізувати три можливості:

• Є\(26^2\cdot10^4\) номерні знаки з K в якості першої літери.
• Є\(26^3\cdot10^3\) номерні знаки з 8 в якості першої цифри.
• Існують\(26^2\cdot10^3\) номерні знаки з K в якості першої літери і 8 як перша цифра.

Відповідь є\(26^2\cdot10^4+26^3\cdot10^3-26^2\cdot10^3\).

практичні вправи\(\PageIndex{9}\label{he:addmult-09}\)

Щоб отримати доступ до інформації особистого кабінету, клієнт міг увійти на веб-сайт банку за допомогою PIN-коду, що складається з двох літер, за якими слід

1. рівно чотири цифри,
2. максимум шість цифр,
3. принаймні дві, але не більше 6 цифр.

Скільки різних PIN-кодів існує в кожному конкретному випадку?

Резюме та огляд

• Використовуйте принцип додавання, якщо проблему можна розділити на випадки. Слідкуйте за тим, щоб справи не перекривалися.
• Якщо випадки перекриваються, кількість об'єктів, що належать до випадків, що перекриваються, необхідно відняти із загальної суми, щоб отримати правильний підрахунок.
• Зокрема, про це свідчить принцип включення-виключення\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
• Використовуйте принцип множення, якщо проблему можна вирішити в кілька кроків.
• Як ми можемо розпочати роботу? Уявіть, що ви хочете перерахувати всі можливості, що таке систематичний спосіб зробити це? Дотримуйтесь інструкцій і порахуйте, скільки об'єктів ви б в кінцевому підсумку з.
• Може бути корисним використання принципової схеми. Намалюйте по одній лінії для кожного кроку. Над рядками напишіть варіанти вибору. Нижче рядків напишіть кількість варіантів вибору. Застосуйте принцип множення, щоб закінчити задачу.
• Якщо є інші випадки, повторіть і додайте результати з усіх можливих випадків.

вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:addmult-01}\)

Професор опитав 98 студентів у своєму класі, щоб підрахувати, скільки з них переглянули принаймні один із трьох фільмів у трилогії «Володар кілець». Ось що вона знайшла:

• 74 дивилися Частина I;
• 57 дивилися Частина II;
• 66 дивився Частина ІІІ;
• 52 дивилися обидві частини I і II;
• 51 дивився обидві частини I і III;
• 45 дивилися обидві частини II і III;
• 43 переглянули всі три частини.

Скільки студентів не дивилися жодного з цих трьох фільмів?

вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:addmult-02}\)

Сорок шість студентів в кінокласі розповіли професору, що вони переглянули принаймні один з трьох фільмів у трилогії «Хрещений батько». Подальший запит призвів до отримання наступних даних:

• 41 дивився Частина I;
• 37 дивилися Частина II;
• 33 дивилися Частина ІІІ;
• 33 дивилися обидві частини I і II;
• 30 дивилися обидві частини I і III;
• 29 спостерігав як частини II, так і III.

1. Скільки студентів переглянули всі три фільми?
2. Скільки студентів дивилися лише Частина I?
3. Скільки студентів переглянули лише частину II?
4. Скільки студентів переглянули лише частину ІІІ?

вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:addmult-03}\)

Джо має 10 суконь сорочок і сім краваток-метеликів. Скільки способів він може поєднувати сорочки з краватками-метеликами?

вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:addmult-04}\)

Номер соціального страхування - це послідовність з дев'яти цифр. Визначте кількість номерів соціального страхування, які задовольняють наступним умовам:

1. Обмежень немає.
2. Цифра 8 ніколи не використовується.
3. Послідовність не починається і не закінчується з 8.
4. Жодна цифра не використовується більше одного разу.

вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:addmult-05}\)

Професор має сім книг з дискретної математики, п'ять з теорії чисел і чотири з абстрактної алгебри. Скільки способів студент може запозичити дві книги не обидві з одного предмета?

Підказка

Які два предмети обрав би студент?

вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:addmult-06}\)

Скільки різних колекцій банок можна сформувати з п'яти однакових банок «Кола-Кола», чотирьох однакових банок Seven-Up та семи однакових банок Mountain Dew?

Підказка

Скільки банок Cola-Cola, Seven-Up та Mountain Dew ви б вибрали?

вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:addmult-07}\)

Скільки п'ятилітерних слів (технічно ми повинні називати їх рядками, тому що нам все одно, чи мають вони сенс) можна сформувати за допомогою букв A, B, C і D, з дозволеними повтореннями. Скільки з них не містять підрядка BAD?

Підказка

Для другого питання розгляньте використання доповнення.

вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:addmult-08}\)

Скільки різних п'ятизначних цілих чисел можна сформувати за допомогою цифр 1, 3, 3, 3, 5?

Підказка

Три цифри 3 однакові, тому ми не можемо визначити різницю між ними. Отже, що насправді має значення, де ми ставимо цифри 1 і 5. Як тільки ми помістимо цифри 1 і 5, інші три позиції повинні бути зайняті цифрами 3.

вправа\(\PageIndex{9}\label{ex:addmult-09}\)

Чотири карти вибираються навмання зі стандартної колоди з 52 гральних карт, при цьому допускається заміна. Це означає, що після вибору карти карта повертається в колоду, а колода перетасовується перед тим, як випадковим чином буде обрана інша карта. Визначте кількість таких чотирикарткових послідовностей, якщо

1. Обмежень немає.
2. Жодна з карт не може бути піками.
3. Всі чотири карти з однієї масті.
4. Перша карта - туз, а друга - не король.
5. Принаймні одна з чотирьох карт - туз.

вправа\(\PageIndex{10}\label{ex:addmult-10}\)

Три різні випускні іспити з математики та два різні випускні іспити з інформатики повинні бути заплановані протягом п'ятиденного періоду. Визначте кількість способів призначення цих випускних іспитів з 11 ранку до 13:00, якщо

1. Обмежень немає.
2. Жодних двох іспитів не можна призначити в один день.
3. Жодних двох іспитів з одного відділення не може бути призначено в один день.
4. Кожен іспит з математики повинен бути єдиним іспитом за день, на який він запланований.

вправа\(\PageIndex{11}\label{ex:addmult-11}\)

Визначте кількість чотиризначних натуральних чисел, які задовольняють наступним умовам:

1. Обмежень немає.
2. Жодне ціле число не містить цифру 8.
3. Кожне ціле число містить цифру 8 принаймні один раз.
4. Кожне ціле число - паліндром (додатне число - паліндром, якщо воно залишається незмінним при читанні назад, наприклад, 3773 і 47874).

вправа\(\PageIndex{12}\label{ex:addmult-12}\)

Коробка містить 12 різних кольорових кульок (наприклад, ми могли б позначити їх як 1, 2,..., 12, щоб відрізнити їх). Три з них червоні, чотири - жовті, а п'ять - зелені. Три кульки вибираються навмання з коробки, з заміною. Визначте кількість послідовностей, які задовольняють наступним умовам:

1. Обмежень немає.
2. Перший куля червоний, другий - жовтий, а третій - зелений.
3. Перший куля червоного кольору, а другий і третій - зелені.
4. Рівно дві кульки жовтого кольору.
5. Всі три кульки зелені.
6. Всі три кульки одного кольору.
7. Принаймні один з трьох куль червоного кольору.

вправа\(\PageIndex{13}\label{ex:addmult-13}\)

Нехай\(A=\{a,b,c,d,e,f\}\) і\(B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Визначте кількість функцій\(f: A \to B\), які задовольняють наступним умовам:

1. Обмежень немає.
2. \(f\)один до одного.
3. \(f\)знаходиться на.
4. \(f(x)\)є непарним для принаймні одного\(x\) в\(A\).
5. \(f(a)=3\)або\(f(b)\) непарна.
6. \(f^{-1}(4)=\{a\}\).

вправа\(\PageIndex{14}\label{ex:addmult-14}\)

Скільки функцій є від\(n\) -element, встановленого\(A\) до\(\{a,b\}\)?