7.1: Визначення відносин

З урахуванням двох непорожніх множин\(A\) і функція говорить нам\(B\), як отримати унікальний елемент\(b\in B\) з будь-якого елемента\(a\in A\). Дуже часто нас цікавить лише якась взаємозв'язок між елементами з цих двох множин. Знайомий приклад - рівність двох чисел. \(a=b\)Говорячи, ми проголошуємо, що два числа\(a\) і\(b\) пов'язані між собою рівними за вартістю. Так само\(a\geq b\) є ще одним прикладом відносини.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:defnrelat-01}\)

Дано\(a, b\in\mathbb{R}^*\),\(b\) оголосити\(a\) і бути пов'язаними, якщо вони мають один і той же знак. Наприклад,\(7.14\) і\(e\) пов'язані, так\(-\pi\) і і\(-\sqrt{2}\). Однак 5 і не\(-2\) є. Зверніть увагу, що\(a\) пов'язано з\(b\) означає,\(b\) що також пов'язано з\(a\).

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:defnrelat-02}\)

Для\(a,b\in\mathbb{R}\), визначити «\(a\)пов'язаний з\(b\)» якщо і тільки якщо\(a<b\). Зверніть увагу\(3<5\), що, але\(5\nless3\). Це\(a\) демонструє, що пов'язане з\(b\) не обов'язково означає, що\(b\) це також пов'язано з\(a\).

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:defnrelat-03}\)

Нехай\(A\) буде набір учнів, а нехай\(B\) буде набір курсів. З огляду на\(a\in A\) і\(b\in B\), визначити «\(a\)пов'язаний з\(b\)» якщо і тільки якщо\(a\) студент приймає курс\(b\). Хоча можливо, що «Джон Сміт пов'язаний з MATH 210», тому що Джон приймає MATH 210, безумовно, абсурдно сказати, що «MATH 210 пов'язаний з Джоном Смітом», тому що не має особливого сенсу говорити, що MATH 210 приймає Джона Сміта. Це знову\(a\) ілюструє, що пов'язано з\(b\) не обов'язково означає, що\(b\) це також пов'язано з\(a\).

У цих прикладах ми бачимо, що коли ми говоримо «\(a\)пов'язаний з»\(b\), порядок, в якому\(a\) і\(b\) з'являються, може мати значення. Це говорить про наступне визначення.

Визначення

Відношення від\(A\) множини до\(B\) множини є підмножиною\(A \times B\). Отже, відношення\(R\) складається з впорядкованих пар\((a,b)\), де\(a\in A\) і\(b\in B\). Якщо\((a,b)\in R\), скажемо, що пов'язано з, і ми теж пишемо\(a\,R\,b\).

Зауваження

Ми також можемо\(R\) замінити символом, особливо коли він доступний. Це саме те, що ми робимо, наприклад,\(a<b\). Сказати\(a<b\), що це неправда, ми можемо написати\(a\nless b\). Так само, якщо\((a,b)\notin R\),\(a\) то не має відношення до\(b\), і ми могли б написати\(a\!\not\!R\,b\). Але слеш може бути нелегко розпізнати, коли він написаний над великою літерою. У зв'язку з цим може бути гарною практикою уникати використання позначення косої риски над літерою. Крім того, можна використовувати позначення «бар»,\(\overline{a\,R\,b}\) щоб вказати, що\(a\) і не\(b\) пов'язані між собою.

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:defnrelat-04}\)

Визначте\(R=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2 \mid a<b \}\), отже,\((a,b)\in R\) якщо і тільки якщо\(a<b\). Очевидно, що сказати «\(a<b\)» набагато зрозуміліше, ніж «»\(a\,R\,b\). Якщо\(a\) і не\(b\) пов'язані, можна сказати\((a,b)\notin R\), або\(a\nless b\).

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:defnrelat-05}\)

Визначити\[F = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \biggm| y=\frac{1}{x^2+1} \right\}. \nonumber\] Тому\(x\) пов'язано з\(y\) якщо і тільки якщо\(y=\frac{1}{x^2+1}\). Ми також можемо написати\[F = \left\{\left(x,\frac{1}{x^2+1}\right) \biggm| x\in\mathbb{R} \right\}, \nonumber\], які можуть виглядати трохи простіше.

Наприклад\((1,0.5)\in F\), але\((1,0)\not\in F\). У цьому випадку,\((2,0.2)\in F\) напевно, легше зрозуміти, ніж\(2\,F\,0.2\). Так само,\((1,2)\notin F\) може бути легше читати, ніж\(1\!\not\!F\,2\).

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:defnrelat-01}\)

Визначте відношення\(H\) як\(\{(x,x^2+1)\mid x\in\mathbb{R}\}\). Визначте, чи є наступні твердження\[\textstyle 2\,H\,3, \quad (-4,17)\notin H, \quad \big(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\big)\notin H, \quad (\sqrt{2},3)\in H, \quad (1,2)\in H, \nonumber\] істинними чи хибними.

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:defnrelat-02}\)

Нехай\(G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid xy=1\}\). Чи 2 пов'язані з 0,5? Як би ви це написали? Повторіть з 4 і 0,5, а з 10 і 3.

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:defnrelat-03}\)

В останньому прикладі 0 пов'язано з 3? Як би ви це написали? Повторіть з 1 і\(-1\). Знову з\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) і\(\sqrt{2}\).

Оскільки відношення є множиною, ми можемо описати відношення, перерахувавши його елементи (тобто за допомогою методу реєстру).

Приклад\(\PageIndex{6}\label{eg:parity}\)

Нехай\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) і\(B=\{1,2,3,4\}\). Визначте,\((a,b)\in R\) якщо і тільки якщо\((a-b)\bmod 2 = 0\). Тоді\[R=\{(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (6,2), (6,4)\}. \nonumber\] відзначимо, що\(R\) складається з впорядкованих пар\((a,b)\), де\(a\) і\(b\) мають однакову парність. Будьте обережні, що\(1\leq a\leq 6\) і\(1\leq b\leq 4\). Значить, говорити про те,\((1,5)\in R\) чи є, безглуздо\((1,5)\notin R\).

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:relat-div}\)

Нехай\(A=\{2,3,4,7\}\) і\(B=\{1,2,3,\ldots,12\}\). Визначте,\(a\,S\,b\) якщо і тільки якщо\(a\mid b\). Використовуйте метод реєстру для опису\(S\).

В останньому прикладі 7 ніколи не відображається як перший елемент (у першій координаті) будь-якої впорядкованої пари. Так само 1, 5, 7 та 11 ніколи не відображаються як другий елемент (у другій координаті) будь-якої впорядкованої пари.

Визначення

Область зв'язку\(R\subseteq A\times B\) визначається як,\[\mbox{dom}\,R = \{ a\in A \mid (a,b)\in R \mbox{ for some $b\in B$} \}, \nonumber\] а зображення або діапазон визначається як\[\mathrm{ im }{R} = \{ b\in B \mid (a,b)\in R \mbox{ for some $a\in A$} \}. \nonumber\]

практичні вправи\(\PageIndex{5}\label{he:defnrelat-05}\)

Знайти\(\mbox{dom}\,S\) і\(\mathrm{ im }{S}\), де\(S\) в практичній вправі 7.1.4.

Відношення\(R\subseteq A\times B\) може відображатися графічно на диграфі, який також називається орієнтованим графом. Представляти елементи з\(A\) вершин або точок і використовувати спрямовані лінії (також звані спрямованими ребрами або дугами) для з'єднання двох вершин, якщо\(B\) відповідні елементи пов'язані між собою. Рисунок\(\PageIndex{1}\) відображає графічне представлення відношення в прикладі 7.1.6.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Графічне зображення відношення.

Хоча диграф дає нам чітке та точне візуальне уявлення про зв'язок, він може стати дуже заплутаним і важким для читання, коли відношення містить багато впорядкованих пар. Як ми побачимо в розділі 4, ми іноді можемо спростити диграфи в деяких особливих ситуаціях. В іншому випадку графічне представлення ефективно лише для відносин з невеликою кількістю впорядкованих пар.

Ми можемо використовувати матричне представлення для опису відношення. Матриця складається зі значень, розташованих у рядках і стовпцях. \(R\)Відношення від\(A=\{a_1,\ldots, a_m\}\) до\(B=\{b_1,\ldots,b_n\}\) може бути описано\(n\) матрицею\(m\) -by-, запис\(M=(m_{ij})\) якої в рядку\(i\) і стовпці\(j\)\(M\) визначається матрицею падіння для\(R\).\[m_{ij} = \cases{ 1 & if $a_i\,R\,b_j$, \cr 0 & otherwise. \cr} \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{7}\label{eg:defnrelat-07}\)

Матриця падіння для відношення\(R\) в прикладі 7.1.6,\[\begin{array}{cc} & \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\] в якій ми позначаємо рядки та стовпці з елементами, що беруть участь у відношенні.

практичні вправи\(\PageIndex{6}\label{he:defnrelat-06}\)

Визначте матрицю випадковості для співвідношення\(S\) в практичній вправі 7.1.4.

практичні вправи\(\PageIndex{7}\label{he:defnrelat-07}\)

Курси, прийняті Джоном, Мері, Павлом і Саллі перераховані нижче.

Джон:	МАТЕМАТИКА 210, СЦИТ 121, МАТЕМАТИКА 223
Мері:	МАТЕМАТИКА 231, СЦИТ 121, МАТЕМАТИКА 210
Павло:	ЦИСТ 120, МАТЕМАТИКА 231, МАТЕМАТИКА 223
Саллі:	МАТЕМАТИКА 210, ЦИСТ 120

Представляють, використовуючи графік і матрицю, відношення,\(R\) визначене як\(a\,R\,b\) якщо\(a\) студент приймає курс\(b\).

Резюме та огляд

• Відносини - це узагальнення функцій. Відношення просто стверджує, що елементи з двох множин\(A\) і\(B\) пов'язані певним чином.
• Більш формально відношення визначається як підмножина\(A\times B\).
• Область відношення - це набір елементів,\(A\) які з'являються в перших координатах деяких впорядкованих пар, а зображення або діапазон - це набір елементів,\(B\) які з'являються у другій координаті деяких впорядкованих пар.
• Для стислості і для наочності ми часто пишемо\(x\,R\,y\) if\((x,y)\in R\).
• За цією конвенцією математичні позначення\(\leq\),\(\geq\),\(=\),\(\subseteq\) тощо, можуть розглядатися як реляційні оператори.

Вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:defnrelat-01}\)

Представте кожне з наступних відносин від\(\{1,2,3,6\}\) до\(\{1,2,3,6\}\) за допомогою диграфа та матриці випадковості.

1. \(\{(x,y)\mid x = y\}\)
2. \(\{(x,y)\mid x\neq y\}\)
3. \(\{(x,y)\mid x < y\}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:defnrelat-02}\)

Знайдіть домен та зображення кожного відношення в Задачі 7.1.1.

Вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:defnrelat-03}\)

Представте кожне з наступних відносин від\(\{1,2,3,6\}\) до\(\{1,2,3,6\}\) за допомогою диграфа та матриці випадковості.

1. \(\{(x,y)\mid x^2\leq y\}\)
2. \(\{(x,y) \mid x \)ділить\(y \}\)
3. \(\{(x,y) \mid x + y\)є навіть\(\}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:defnrelat-04}\)

Знайдіть домен та зображення кожного відношення в Задачі 7.1.3.

Вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:defnrelat-05}\)

Знайдіть матрицю випадковості для кожного з наступних співвідношень від\(\{1,2,3,4\}\) до\(\{1,2,3,4,5\}\).

1. \(R=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,5)\}\)
2. \(S=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4)\}\)
3. \(T=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,1),(4,4)\}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:defnrelat-06}\)

Визначте матрицю падіння та диграф, що представляють відношення,\(R\) визначене\(\{x\in\mathbb{Z} \mid -3\leq x\leq3\}\) на\[x\,R\,y \Leftrightarrow 3\mid(x-y). \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:defnrelat-07}\)

Визначте матрицю падіння та диграф, що представляють відношення,\(S\) визначене\(\{1,2,4,5,10,20\}\) на\[x\,S\,y \Leftrightarrow \mbox{($x<y$ and $x$ divides $y$)}. \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:defnrelat-08}\)

Нехай\(D=\{1,2,3,\ldots,30\}\) буде набір дат у листопаді, і нехай\(W=\{\) неділя, понеділок, вівторок, середа, четвер, п'ятниця, субота\(\}\) будуть набором днів тижня. За листопад цього року визначте відношення\(T\) від\(D\) до\[(x,y)\in T \Leftrightarrow \mbox{$x$ falls on $y$}. \nonumber\] списку\(W\) впорядкованих пар в\(T\). Чи\(T\) є функція від\(T\) до\(W\)?

Вправа\(\PageIndex{9}\label{ex:defnrelat-09}\)

Знайти матрицю випадковості для відношення\(I\subseteq \wp(\{1,2\}) \times \wp(\{1,2\})\), де\[(S,T)\in I \Leftrightarrow S\cap T\neq\emptyset. \nonumber\]

Вправа\(\PageIndex{10}\label{ex:defnrelat-10}\)

Для відношення\(R\subseteq A\times A\), замість того, щоб використовувати два рядки вершин у диграфі, ми можемо використовувати диграф на вершині, які представляють елементи\(A\). Отже, можна мати дві спрямовані дуги між парою вершин, і петля може з'явитися навколо вершини,\(x\) якщо\((x,x)\in R\). Знайдіть матрицю випадковості для відношення, представленого наступним диграфом: