6.7: Композитні функції

Задано функції\(f :{A}\to{B}\) і\(g :{B}\to{C}\), складова функція\(g\circ f\), яка вимовляється як «\(g\)коло\(f\)», визначається як\[{g\circ f}:{A}\to{C}, \qquad (g\circ f)(x) = g(f(x)). \nonumber\] Зображення виходить в два етапи. По-перше,\(f(x)\) виходить. Далі його передають для\(g\) отримання кінцевого результату. Це працює як з'єднання двох машин, щоб сформувати більшу, див\(\PageIndex{1}\). Рис. Ми також можемо використовувати діаграму зі стрілками для надання іншого образотворчого вигляду, див\(\PageIndex{2}\). Рисунок.

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Композитна функція, розглядається як машини введення-виведення.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Інший мальовничий вигляд складеної функції.

Числове значення\((g\circ f)(x)\) можна обчислити в два етапи. Наприклад, для обчислення\((g\circ f)(5)\) ми спочатку обчислюємо значення\(f(5)\), а потім значення\(g(f(5))\). Щоб знайти алгебраїчний опис\((g\circ f)(x)\), нам потрібно обчислити і спростити формулу для\(g(f(x))\). При цьому часто простіше почати з функції «зовні». Точніше, почніть з\(g\), і напишіть проміжний відповідь з точки зору\(f(x)\), потім підставляйте у визначенні\(f(x)\) і спростіть результат.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:compfcn-01}\)

Припустімо, що\(f,g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначаються як\(f(x)=x^2\), і\(g(x)=3x+1\). знаходимо

\[\displaylines{ (g\circ f)(x)=g(f(x))=3[f(x)]+1=3x^2+1, \cr (f\circ g)(x)=f(g(x))=[g(x)]^2=(3x+1)^2. \cr} \nonumber\]

Тому,

\[g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad (g \circ f)(x)=3x^2+1 \nonumber\]

\[f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \qquad (f \circ g)(x)=(3x+1)^2 \nonumber\]

Відзначимо, що, в загальному,\(f\circ g \neq g\circ f\).

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:compfcn-01}\)

Якщо\(p,q:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) визначаються як\(p(x)=2x+5\), і\(q(x)=x^2+1\), визначити\(p\circ q\) і\(q\circ p\). Не забудьте описати домен і кодомен.

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:compfcn-02}\)

Функції\(f,g :\mathbb{Z}_{12} \to \mathbb{Z}_{12}\) визначаються

\[f(x) \equiv 7x+2 \pmod{12}, \qquad\mbox{and}\qquad g(x) \equiv 5x-3 \pmod{12}. \nonumber\]

Обчислити складену функцію\(f\circ g\).

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:compfcn-02}\)

Визначити\(f,g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) як

\[f(x) = \cases{ 3x+1 & if $x < 0$, \cr 2x+5 & if $x\geq0$, \cr} \nonumber\]

і\(g(x)=5x-7\). Знайти\(g\circ f\).

Відповідь

Оскільки\(f\) це кусково визначена функція, ми очікуємо, що композитна функція також\(g\circ f\) є кусково визначеною функцією. Він визначається\[(g\circ f)(x) = g(f(x)) = 5f(x)-7 = \cases{ 5(3x+1)-7 & if $x < 0$, \cr 5(2x+5)-7 & if $x\geq0$. \cr} \nonumber\]

Після спрощення ми знаходимо\(g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), шляхом:\[(g\circ f)(x) = \cases{ 15x-2 & if $x < 0$, \cr 10x+18 & if $x\geq0$. \cr} \nonumber\] У цьому прикладі досить очевидно, що таке домен і кодомен. Тим не менш, завжди є гарною практикою включати їх, коли ми описуємо функцію.

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:compfcn-03}\)

Функції\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) і\(g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначаються\[f(x) = 3x+2, \qquad\mbox{and}\qquad g(x) = \cases{ x^2 & if $x\leq5$, \cr 2x-1 & if $x > 5$. \cr} \nonumber\] Визначити\(f\circ g\).

Наступний приклад далі ілюструє, чому часто легше почати з зовнішньої функції\(g\) при виведенні формули для\(g(f(x))\).

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:compfcn-03}\)

\(p :{[1,5]}\to{\mathbb{R}}\)Функція визначається

\[p(x) = \cases{ 2x+3 & if $1\leq x< 3$, \cr 5x-2 & if $3\leq x\leq 5$; \cr} \nonumber\]

і функція\(q :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) по

\[q(x) = \cases{ 4x & if $x < 7$, \cr 3x & if $x\geq7$. \cr} \nonumber\]

Опишіть функцію\(q\circ p\).

Відповідь

Оскільки\[(q\circ p)(x) = q(p(x)) = \cases{ 4p(x) & if $p(x)<7$, \cr 3p(x) & if $p(x)\geq7$, \cr} \nonumber\] ми повинні з'ясувати, коли буде\(p(x)<7\), а коли буде\(p(x)\geq7\), тому що ці умови визначають, що нам потрібно зробити далі, щоб продовжити обчислення. Оскільки\(p(x)\) обчислюється двома різними способами, ми повинні проаналізувати два випадки.

Випадок 1:\(1\leq x<3\). В даному випадку\(p(x)\) визначається як\(2x+3\). Це зростаюча функція, отже,\[p(x)\geq p(1) = 2\cdot1+3 = 5, \qquad\mbox{and}\qquad p(x) < p(3) = 2\cdot3+3 = 9. \nonumber\] Для деяких\(x\) s в цьому діапазоні, у нас є\(p(x)<7\), але для інших\(x\) -значення, у нас є\(p(x)\geq7\). Нам потрібно знати точку зрізу. Це відбувається тоді\(p(x)=2x+3=7\), коли, тобто коли\(x=2\). Це призводить до двох підвипадків.

• Випадок 1а: Коли\(1\leq x<2\), ми маємо\(p(x)=2x+3 <7\). Таким чином,\[q(p(x)) = 4p(x) = 4(2x+3) = 8x+12. \nonumber\]
• Випадок 1b: Коли\(2\leq x<3\), ми маємо\(p(x)=2x+3\geq7\). Таким чином,\[q(p(x)) = 3p(x) = 3(2x+3) = 6x+9. \nonumber\]

Випадок 2:\(3\leq x\leq 5\). У цьому випадку\(p(x)\) обчислюється як\(5x-2\). Це зростаюча функція, отже\(p(x) \geq p(3) = 5\cdot3-2=13\). Оскільки\(p(x)\) завжди більше 7, ми знаходимо\[q(p(x)) = 3p(x) = 3(5x-2) = 15x-6. \nonumber\]

Поєднуючи ці випадки, ми визначаємо, що складена функція\({q\circ p\,}{[1,5]}\to{\mathbb{R}}\) визначається\[(q\circ p)(x) = \cases{ 8x+12 & if $1\leq x<2$, \cr 6x+9 & if $2\leq x<3$, \cr 15x-6 & if $3\leq x\leq5$. \cr} \nonumber\] вивченням цього прикладу ще раз, щоб переконатися, що ви зрозуміли її досконально.

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:compfcn-04}\)

Функції\(f,g :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) визначаються методом\[f(n) = \cases{ n+1 & if $n$ is even \cr n-1 & if $n$ is odd \cr} \qquad g(n) = \cases{ n+3 & if $n$ is even \cr n-7 & if $n$ is odd \cr} \nonumber\] Визначити\(f\circ g\).

Строго кажучи\(g\circ f\), чітко визначено, якщо кодомен\(f\) дорівнює домену\(g\). Зрозуміло,\(g\circ f\) що все ще чітко визначено\(\mathrm{ im }{f}\), якщо є підмножиною домену\(g\). Отже, якщо\[f :{A}{B}, \quad g :{C}{D}, \nonumber\] тоді\(g\circ f\) чітко визначено\(B\subseteq C\), якщо, або в цілому,\(\mathrm{ im }{f}\subseteq C\).

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:compfcn-04}\)

Нехай\(\mathbb{R}^*\) позначають безліч ненульових дійсних чисел. Припустимо

\[f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, \qquad f(x)=\frac{1}{x} \nonumber\]

\[g : \mathbb{R} \to (0, \infty), \qquad g(x)=3x^2+11. \nonumber\]

Визначте\(f\circ g\) і\(g\circ f\). Обов'язково вказуйте їх домени і кодомени.

Відповідь

Для обчислення\(f\circ g\) ми починаємо з того\(g\), чий домен\(\mathbb{R}\). Отже,\(\mathbb{R}\) є доменом\(f\circ g\). Результатом з\(g\) є число в\((0,\infty)\). Інтервал\((0,\infty)\) містить лише позитивні числа, тому він є підмножиною\(\mathbb{R}^*\). Тому ми можемо продовжувати наші обчислення\(f\), і кінцевим результатом є число в\(\mathbb{R}\). Отже, кодомен\(f\circ g\) є\(\mathbb{R}\). Зображення обчислюється відповідно до\(f(g(x)) = 1/g(x) = 1/(3x^2+11)\). Тепер ми готові представити нашу відповідь:

\(f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\)по:

\[(f \circ g)(x) = \frac{1}{3x^2+11}. \nonumber\]

Аналогічним чином композитна функція\(g\circ f :{\mathbb{R}^*} {(0,\infty)}\) визначається як Переконайтеся,\[(g\circ f)(x) = \frac{3}{x^2}+11. \nonumber\] що ви розумієте, як ми визначаємо домен і кодомен\(g\circ f\).

практичні вправи\(\PageIndex{5}\label{he:compfcn-05}\)

Дозвольте\(\mathbb{Z}\) позначити безліч цілих чисел. Визначте\(h\circ g\), де\[\begin{array}{cc} g: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, & g(x) = \sqrt{|x|}, \\ h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, & h(x) = (x-5)^2 \end{array} \nonumber\]\(g\circ h\) добре визначено? Поясніть!

Як завжди, будьте особливо обережні з модульною арифметикою.

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:compfcn-05}\)

Визначте\(f :{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{23}}\) і\(g :{\mathbb{Z}_{23}}\to{\mathbb{Z}_{32}}\) відповідно

\[\begin{aligned} f(x) &\equiv& 3x+5 \pmod{23}, \\ g(x) &\equiv& 2x+1 \pmod{32}. \end{aligned} \nonumber\]

Ми можемо\(g\circ f :{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{23}}\) очікувати, що ми будемо визначені як

\[(g\circ f)(x) \equiv 2(3x+5)+1 \equiv 6x+11) \pmod{32}. \nonumber\]

Зокрема,\((g\circ f)(8) \equiv 59 \equiv 27\) (мод 32).

Якщо ми виконуємо обчислення по одному кроку за раз, ми знаходимо\(f(8)\equiv 29\equiv6\) (мод 23), з якого ми\[(g\circ f)(8) = g(f(8)) = g(6) \equiv 13 \pmod{32}. \nonumber\] отримуємо, що не те, що ми щойно знайшли. Чи можете ви пояснити чому?

Відповідь

Джерелом проблеми є різні модулі, що використовуються в\(f\) і\(g\). Складену функцію слід визначити як\[(g\circ f)(x) \equiv 2r+1 \pmod{32}, \qquad\mbox{where } r \equiv 3x+5 \pmod{23}. \nonumber\] У певному сенсі це визначення змушує нас проводити обчислення у два кроки. Отже, отримаємо правильну відповідь\((g\circ f)(8)=13\).

Існує тісний зв'язок між біекцією та його оберненою функцією, з точки зору композиції.

Теорема\(\PageIndex{1}\label{thm:compfcn-inv}\)

Для двооб'єктивної функції\(f :{A}\to{B}\)

\[f^{-1}\circ f=i_A, \qquad\mbox{and}\qquad f\circ f^{-1}=i_B, \nonumber\]

де\(i_A\) і\(i_B\) позначають функцію ідентичності на\(A\) і\(B\), відповідно.

Доказ

Щоб це довести\(f^{-1}\circ f = i_A\), нам потрібно показати це\((f^{-1}\circ f)(a)=a\) для всіх\(a\in A\). Припустимо\(f(a)=b\). Тоді, тому що\(f^{-1}\) це зворотна функція\(f\), ми знаємо, що\(f^{-1}(b)=a\). Тому,

\[(f^{-1}\circ f)(a) = f^{-1}(f(a)) = f^{-1}(b) = a, \nonumber\]

що ми хочемо показати. Доказ\(f\circ f^{-1} = i_B\) процесу точно таким же чином, і тут опускається.

Приклад\(\PageIndex{6}\label{eg:compfcn-06}\)

Показати, що функції,\(f,g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\)\(f(x)=2x+1\) визначені і\(g(x)=\frac{1}{2}(x-1)\) є оберненими функціями один одного.

Відповідь

Задача не просить вас знайти зворотну функцію\(f\) або обернену функцію\(g\). Замість цього відповіді вам вже даються. Ваша робота полягає в тому, щоб переконатися, що відповіді дійсно правильні, що функції є зворотними функціями один одного.

Сформуйте дві складові функції\(f\circ g\) і\(g\circ f\), і перевірте, чи однакові вони однакові функції ідентичності:

\[\displaylines{ \textstyle (f\circ g)(x) = f(g(x)) = 2 g(x)+1 = 2\left[\frac{1}{2}(x-1)\right]+1 = x, \cr \textstyle (g\circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{1}{2} \big[f(x)-1\big] = \frac{1}{2} \left[(2x+1)-1\right] = x. \cr} \nonumber\]

Зробимо висновок, що\(f\) і\(g\) є оберненими функціями один одного.

практичні вправи\(\PageIndex{6}\label{he:compfcn-06}\)

Переконайтеся\(f(x)=e^x\), що\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}^+}\) визначені та\(g :{\mathbb{R}^+}\to{\mathbb{R}}\) визначені\(g(x)=\ln x\), є зворотними функціями один одного.

Теорема\(\PageIndex{2}\label{thm:compfcn-02}\)

Припустимо\(f :{A}\to{B}\), і\(g :{B}\to{C}\). Нехай\(i_A\) і\(i_B\) позначають функцію ідентичності на\(A\) і\(B\), відповідно. У нас є такі результати.

1. \(f\circ i_A=f\)і\(i_B\circ f=f\).
2. Якщо\(g\) обидва\(f\) і один до одного,\(g\circ f\) то також один до одного.
3. Якщо обидва\(f\) і\(g\) знаходяться на,\(g\circ f\) то також на.
4. Якщо обидва\(f\) і\(g\) є двооб'єктивними, то також\(g\circ f\) є двооб'єктивним. Насправді,\((g\circ f)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}\).

Доказ (а)

Щоб показати це\(f\circ i_A=f\), нам потрібно показати це\((f\circ i_A)(a)= f(a)\) для всіх\(a\in A\). Це випливає з прямого\[(f\circ i_A)(a) = f(i_A(a)) = f(a). \nonumber\] обчислення:\(i_B\circ f=f\) Докази і (b) — (d) залишаються як вправи.

Приклад\(\PageIndex{7}\label{eg:compfcn-07}\)

Конверси (b) і (c) в теоремі 6.7.2 є хибними, як показано у функціях

\[\begin{array}{cc} g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, & f(x)=2x, \\ h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, & g(x)= \lfloor x/2 \rfloor \end{array} \nonumber\]

Тут\(g\circ f=i_{\mathbb{Z}}\), так само\(g\circ f\) один до одного, і очевидно,\(f\) що також один до одного, але не\(g\) один до одного. Легко помітити, що обидва\(g\) і\(g\circ f\) знаходяться на, але\(f\) це не так.

Резюме та огляд

• Склад двох функцій\(f :{A}\to{B}\) і\(g :{B}\to{C}\) є функцією, яка\(g\circ f :{A}\to{C}\) визначається\((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
• Якщо\(f :{A}\to{B}\) є двооб'єктивним, то\(f^{-1}\circ f=i_A\) і\(f\circ f^{-1}=i_B\).
• Щоб перевірити, чи\(g :{B}\to{A}\) є\(f :{A}\to{B}\) і є зворотними один одному, нам потрібно показати, що
  • \((g\circ f)(x)=g(f(x))=x\)для всіх\(x\in A\), і
  • \((f\circ g)(y)=f(g(y))=y\)для всіх\(y\in B\).

вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:compfcn-01}\)

Функції\(g,f:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначаються\(f(x)=5x-1\) і\(g(x)=3x^2+4\). Визначте\(f\circ g\) і\(g\circ f\).

вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:compfcn-02}\)

Функція\(h :{(0,\infty)}\to{(0,\infty)}\) визначається за допомогою\(h(x)=x+\frac{1}{x}\). Визначте\(h\circ h\). Максимально спрощуйте свою відповідь.

вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:compfcn-03}\)

Функції\(g,f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначаються\(f(x)=1-3x\) і\(g(x)=x^2+1\). Оцініть\(f(g(f(0)))\).

вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:compfcn-04}\)

Функції\(p :{(2,8]}\to{\mathbb{R}}\) та\(q :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначаються методом\[\begin{array}{rcl} p(x) &=& \cases{ 3x-1 & if $2<x\leq 4$, \cr 17-2x & if $4<x\leq 8$, \cr} \\ q(x) &=& \cases{ 4x-1 & if $x < 3$, \cr 3x+1 & if $x\geq3$. \cr} \end{array} \nonumber\] Valuate\(q\circ p\).

вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:compfcn-05}\)

Опишіть\(g\circ f\).

1. \(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}}\),\(f(n)=n^2+1\);\(g :{\mathbb{N}}\to{\mathbb{Q}}\),\(g(n)=\frac{1}{n}\).
2. \(f :{\mathbb{R}}\to{(0,1)}\),\(f(x)=1/(x^2+1)\);\(g :{(0,1)}\to{(0,1)}\),\(g(x)=1-x\).
3. \(f :{\mathbb{Q}-\{2\}}\to{\mathbb{Q}^*}\),\(f(x)=1/(x-2)\);\(g :{\mathbb{Q}^*}\to{\mathbb{Q}^*}\),\(g(x)=1/x\).
4. \(f :{\mathbb{R}}\to{[\,1,\infty)}\),\(f(x)=x^2+1\);\(g :{[\,1,\infty)}\to {[\,0,\infty)}\)\(g(x)=\sqrt{x-1}\).
5. \(f :{\mathbb{Q}-\{10/3\}}\to{\mathbb{Q}-\{3\}}\),\(f(x)=3x-7\);\(g :{\mathbb{Q}-\{3\}}\to{\mathbb{Q}-\{2\}}\),\(g(x)=2x/(x-3)\).

вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:compfcn-06}\)

Опишіть\(g\circ f\).

1. \(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}_5}\),\(f(n)\equiv n\) (мод 5);\(g :{\mathbb{Z}_5}\to{\mathbb{Z}_5}\),\(g(n)\equiv n+1\) (мод 5).
2. \(f :{\mathbb{Z}_8}\to{\mathbb{Z}_{12}}\),\(f(n)\equiv 3n\) (мод 12);\(g :\to{\mathbb{Z}_{12}}{\mathbb{Z}_6}\),\(g(n)\equiv 2n\) (мод 6).

вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:compfcn-07}\)

Опишіть\(g\circ f\).

1. \(f :{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{1,2,3,4,5\}}\),\(f(1)=5\)\(f(2)=3\),\(f(3)=2\),\(f(4)=1\),\(f(5)=4\);
2. \(g :{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{1,2,3,4,5\}}\);\(g(1)=3\),\(g(2)=1\),\(g(3)=5\),\(g(4)=4\),\(g(5)=2\)
3. \(f :{\{a,b,c,d,e\}}\to{\{1,2,3,4,5\}}\);\(f(a)=5\)\(f(b)=1\),\(f(c)=2\),\(f(d)=4\),\(f(e)=3\);
4. \(g :{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\);\(g(1)=e\),\(g(2)=d\),\(g(3)=a\),\(g(4)=c\),\(g(5)=b\)

вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:compfcn-08}\)

Переконайтеся, що\(f,g:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\)\[f(x) = \cases{ 11-2x & if $x<4$ \cr 15-3x & if $x\geq4$ \cr} \qquad\mbox{and}\qquad g(x) = \cases{ \textstyle \frac{1}{3}(15-x) & if $x\leq3$ \cr \textstyle \frac{1}{2}(11-x) & if $x > 3$ \cr} \nonumber\] визначені є зворотними один одному.

вправа\(\PageIndex{9}\label{ex:compfcn-09}\)

Функції\(f,g :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) визначаються методом\[f(n) = \cases{ 2n-1 & if $n\geq0$ \cr 2n & if $n < 0$ \cr} \qquad\mbox{and}\qquad g(n) = \cases{ n+1 & if $n$ is even \cr 3n & if $n$ is odd \cr} \nonumber\] Визначити\(g\circ f\).

вправа\(\PageIndex{10}\label{ex:compfcn-10}\)

Визначте функції\(f\) та\(g\) на материнському генеалогічному древі (див. Задача 6.7.8 у Вправи 1.2) відповідно до\[\begin{array}{rcl} f(x) &=& \mbox{the mother of $x$}, \\ g(x) &=& \mbox{the eldest daughter of the mother of $x$}. \end{array} \nonumber\] опису цих функцій.

1. \(f\circ g\)
2. \(g\circ f\)
3. \(f\circ f\)
4. \(g\circ g\)

вправа\(\PageIndex{11}\label{ex:compfcn-11}\)

З огляду на біекції\(f\) і\(g\), знайти\(f\circ g\),\((f\circ g)^{-1}\) і\(g^{-1}\circ f^{-1}\).

1. \(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\),\(f(n)=n+1\);\(g :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\),\(g(n)=2-n\).
2. \(f :{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}\),\(f(x)=5x\);\(g :{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}\),\(g(x)=\frac{x-2}{5}\).
3. \(f :{\mathbb{Q}-\{2\}}\to{\mathbb{Q}-\{2\}}\),\(f(x)=3x-4\);\(g :{\mathbb{Q}-\{2\}}\to{\mathbb{Q}-\{2\}}\),\(g(x)=\frac{x}{x-2}\).
4. \(f :{\mathbb{Z}_7}\to{\mathbb{Z}_7}\),\(f(n)\equiv 2n+5\) (мод 7);\(g :{\mathbb{Z}_7}\to{\mathbb{Z}_7}\),\(g(n)\equiv 3n-2\) (мод 7).

вправа\(\PageIndex{12}\label{ex:compfcn-12}\)

Наведіть приклад множин\(A\)\(B\), і\(C\), і функцій\(f :{A}\to{B}\) і\(g :{B}\to{C}\), таких, що\(g\circ f\) і\(f\) є одночасно один-на-один, але\(g\) не один до одного.

вправа\(\PageIndex{13}\label{ex:compfcn-13}\)

Доведіть частину (b) теореми 6.7.2.

вправа\(\PageIndex{14}\label{ex:compfcn-14}\)

Доведіть частину (c) теореми 6.7.2.

вправа\(\PageIndex{15}\label{ex:compfcn-15}\)

Доведіть частину (d) теореми 6.7.2.

вправа\(\PageIndex{16}\label{ex:compfcn-16}\)

Матриці падіння для функцій\(f :{\{a,b,c,d,e\}} \to{\{x,y,z,w\}}\) і\(g :{\{x,y,z,w\}}\to{\{1,2,3,4,5,6\}}\) є\[\begin{array}{ccccc} & \begin{array}{cccc} x & y & z & w \end{array} & & & \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{array} \\ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array} & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) & \text{ and } & \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} & \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} \nonumber\] відповідно. Побудувати матрицю падіння для композиції\(g\circ f\).