6.6: Зворотні функції

Біекція - це функція, яка є як один до одного, так і на. Природно, якщо функція є біекцією, ми говоримо, що вона є двооб'єктивною. Якщо функція\(f :A \to B\) є біекцією, ми можемо визначити іншу функцію,\(g\) яка по суті змінює правило присвоєння, пов'язане з\(f\). Потім, застосовуючи функцію\(g\) до будь-якого елементу\(y\) з codomain\(B\), ми можемо отримати елемент\(x\) з домену\(A\) такий, що\(f(x)=y\). Давайте уточнимо цю ідею в більш конкретне визначення.

Визначення: обернена функція

\(f :{A}\to{B}\)Дозволяти бути двооб'єктивною функцією. Його обернена функція - це функція\({f^{-1}}:{B}\to{A}\) з властивістю, що\[f^{-1}(b)=a \Leftrightarrow b=f(a).\] позначення\(f^{-1}\) вимовляється як «\(f\)обернена». Див. Рисунок\(\PageIndex{1}\) для образотворчого перегляду оберненої функції.

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Образковий вигляд оберненої функції.

Чому чітко\(f^{-1}:B \to A\) визначена функція? Щоб вона була чітко визначена, кожен елемент\(b\in B\) повинен мати унікальний образ. Це означає, що враховуючи будь-який елемент\(b\in B\), ми повинні бути в змозі знайти один і тільки один елемент\(a\in A\) такий, що\(f(a)=b\). Таке\(a\) існує, тому що\(f\) є на, і є тільки один такий елемент,\(a\) тому\(f\) що один до одного. Тому\(f^{-1}\) є чітко визначеною функцією.

Якщо функція\(f\) визначається обчислювальним правилом, то вхідне значення\(x\) і\(y\) вихідне значення пов'язані рівнянням\(y=f(x)\). У зворотній функції перемикають роль входу і виходу. Тому ми можемо знайти зворотну функцію,\(f^{-1}\) виконавши наступні кроки:

1. Обмін роллю\(x\) і\(y\) в рівнянні\(y=f(x)\). Тобто пишіть\(x=f(y)\).
2. Вирішити для\(y\). Тобто, висловити\(y\) в терміні\(x\). Отриманий вираз є\(f^{-1}(x)\).

Обов'язково напишіть остаточну відповідь у формі\(f^{-1}(x) = \ldots\,\). Не забудьте включити домен і кодомен, і описати їх належним чином.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{invfcn-01}\)

Щоб знайти обернену функцію,\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначену по\(f(x)=2x+1\), почнемо з рівняння\(y=2x+1\). Далі, поміняємося\(x\) з\(y\) для отримання нового рівняння\[x = 2y+1. \nonumber\] Рішення для\(y\), знаходимо\(y=\frac{1}{2}\,(x-1)\). Тому зворотна функція є\[{f^{-1}}:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}, \qquad f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\,(x-1). \nonumber\] Важливо описати домен і кодомен, оскільки вони можуть бути не такими ж, як вихідна функція.

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:invfcn-02}\)

Функція,\(s :{\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]}\to{[-1,1]}\)\(s(x)=\sin x\) визначена, є біекцією. Його обернена функція

\[s^{-1}:[-1,1] \to {\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]}, \qquad s^{-1}(x)=\arcsin x. \nonumber\]

Функція також записується як\(\sin^{-1}x\), що\(\arcsin x\) слідує за тими ж позначеннями, які ми використовуємо для обернених функцій.

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:invfcn-01}\)

Функція\(f :{[-3,\infty)}\to{[\,0,\infty)}\) визначається як\(f(x)=\sqrt{x+3}\). Покажіть, що це біекція, і знайдіть його обернену функцію

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:invfcn-02}\)

Знайти обернену функцію,\(g :{\mathbb{R}}\to{(0,\infty)}\) визначену по\(g(x) = e^x\).

Зауваження

Будьте обережні з позначеннями. Припустімо\(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\), що функція є біекцією. Позначення\(f^{-1}(3)\) означає зображення 3 під оберненою функцією\(f^{-1}\). Якщо\(f^{-1}(3)=5\), ми це знаємо\(f(5)=3\). Позначення\(f^{-1}(\{3\})\) означає передзображення множини\(\{3\}\). В даному випадку знаходимо\(f^{-1}(\{3\})=\{5\}\). Результати по суті однакові, якщо функція є двооб'єктивною.

Якщо функція\(g :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\) багато до одного, то вона не має зворотної функції. Це робить позначення\(g^{-1}(3)\) безглуздими. Тим не менш,\(g^{-1}(\{3\})\) є чітко визначеним, тому що це означає попередній образ\(\{3\}\). Якщо\(g^{-1}(\{3\})=\{1,2,5\}\), ми знаємо\(g(1)=g(2)=g(5)=3\).

Загалом,\(f^{-1}(D)\) означає попередній образ підмножини\(D\) під функцією\(f\). Тут функція\(f\) може бути будь-якою функцією. Якщо\(f\) це біекція, то також\(f^{-1}(D)\) може означати зображення підмножини\(D\) під оберненою функцією\(f^{-1}\). Тут немає плутанини, тому що результати однакові.

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:invfcn-03}\)

Функція\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначається як\[f(x) = \cases{ 3x & if $x\leq 1$, \cr 2x+1 & if $x > 1$. \cr} \nonumber\] Знайти її обернену функцію.

Рішення

Оскільки\(f\) це кусково визначена функція, ми очікуємо, що її обернена функція буде кусково визначена, а також. По-перше, нам потрібно знайти два діапазони вхідних значень в\(f^{-1}\). Зображення для\(x\leq1\) є\(y\leq3\), а зображення для\(x>1\) є\(y>3\). Отже, кодомен\(f\), який стає доменом\(f^{-1}\), розділений на дві половини на 3. Зворотна функція повинна виглядати як\[f^{-1}(x) = \cases{ \mbox{???} & if $x\leq 3$, \cr \mbox{???} & if $x > 3$. \cr} \nonumber\] Next, визначаємо формули в двох діапазонах. знаходимо

\[f^{-1}(x) = \cases{ \textstyle\frac{1}{3}\,x & if $x\leq 3$, \cr \textstyle\frac{1}{2} (x-1) & if $x > 3$. \cr} \nonumber\]Подробиці залишаються вам як вправу.

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:invfcn-03}\)

Знайдіть обернену функцію,\(g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначену за допомогою\[g(x) = \cases{ 3x+5 & if $x\leq 6$, \cr 5x-7 & if $x > 6$. \cr} \nonumber\] Переконайтеся, що ви\(g^{-1}\) правильно описуєте.

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:mod10fcn}\)

Функція\(g :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\) визначається\(g(x)\equiv 7x+2\) (мод 10). Знайдіть його обернену функцію.

Рішення

З\(x=g(y)\equiv7y+2\) (мод 10) отримуємо\[y \equiv 7^{-1}(x-2) \equiv 3(x-2) \pmod{10}. \nonumber\] Отже, зворотна функція\(g^{-1} :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\) визначається\(g^{-1}(x)\equiv 3(x-2)\) (мод 10).

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:invfcn-04}\)

Функція\(h:{\mathbb{Z}_{57}}\to{\mathbb{Z}_{57}}\) визначається\(h(x)\equiv 49x-3\) (мод 57). Знайдіть його обернену функцію.

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:invfcn-05}\)

Визначте\(h:{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}\) відповідно до\(h(x)=2(x+3)\bmod10\). Чи\(h^{-1}\) існує?

Рішення

Оскільки\(2^{-1}\) не існує, ми підозрюємо, що відповідь - ні. Насправді\(h(x)\) це завжди рівно, і це легко перевірити\(\text{im}h = \{0,2,4,6,8\}\). Оскільки\(h\) не на,\(h^{-1}\) не існує.

Приклад\(\PageIndex{6}\label{eg:invfcn-06}\)

Знайти обернену функцію,\(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}\cup\{0\}}\) визначену\[f(n) = \cases{ 2n & if $n\geq0$, \cr -2n-1 & if $n < 0$. \cr} \nonumber\]

Рішення

У зворотній функції домен і кодомен перемикаються, тому ми повинні почати з,\(f^{-1}:\mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{Z}\) перш ніж описувати формулу, яка визначає\(f^{-1}\). \(n=f(m)\)Пишемо,\[n = \cases{ 2m & if $m\geq0$, \cr -2m-1 & if $m < 0$. \cr} \nonumber\] знаходимо Потрібно розглянути два випадки.

1. Якщо\(n=2m\), то\(n\) рівний, і\(m=\frac{n}{2}\).
2. Якщо\(n=-2m-1\), то\(n\) непарна, і\(m=-\frac{n+1}{2}\).

Тому обернена функція визначається за\(f^{-1}:\mathbb{N} \cup \{0\} \to \mathbb{Z}\) допомогою:

\[f^{-1}(n) = \cases{ \frac{2}{n} & if $n$ is even, \cr -\frac{n+1}{2} & if $n$ is odd. \cr} \nonumber\]

Перевірте це за допомогою деяких числових прикладів.

практичні вправи\(\PageIndex{5}\label{he:invfcn-05}\)

Функція\(f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}}\) визначається як\[f(n) = \cases{ -2n & if $n < 0$, \cr 2n+1 & if $n\geq0$. \cr} \nonumber\] Знайти її зворотну.

\(B\)Дозволяти\(A\) і бути скінченними множинами. Якщо існує біекція\(f :{A}{B}\), то елементи\(A\) і\(B\) знаходяться в однозначній відповідності через\(f\). Отже,\(|A|=|B|\). Ця ідея дає основу для деяких цікавих доказів.

Приклад\(\PageIndex{7}\label{eg:invfcn-07}\)

\(A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}\)Дозволяти бути\(n\) -element множини. Нагадаємо, що потужність\(\wp(A)\) множини містить всі підмножини\(A\), і\[\{0,1\}^n = \{(b_1,b_2,\ldots,b_n) \mid b_i\in\{0,1\} \mbox{ for each $i$, where $1\leq i\leq n$} \}. \nonumber\] Define\(F:{\wp(A)}\to{\{0,1\}^n}\) відповідно до\(F(S) = (x_1,x_2,\ldots,x_n)\), де\[x_i = \cases{ 1 & if $a_i\in S$, \cr 0 & if $a_i\notin S$. \cr} \nonumber\] Простіше кажучи,\(F(S)\) є впорядкованим\(n\) -кортежем, чий\(i\) запис або 1 або 0, вказуючи, чи\(S\) містить \(i\)-й елемент\(A\) (1 для yes, а 0 для no).

Зрозуміло, що\(F\) це біекція. Бо\(n=8\), у нас є, наприклад,\[F(\{a_2,a_5,a_8\}) = (0,1,0,0,1,0,0,1), \nonumber\] і\[F^{-1}\big((1,1,0,0,0,1,1,0)\big) = \{a_1,a_2,a_6,a_7\}. \nonumber\] Функція\(F\) визначає відповідність один до одного між підмножинами\(A\) і\(n\) впорядкованими -кортежів в\(\{0,1\}^n\). Оскільки є два варіанти для кожного запису в цих упорядкованих\(n\) -кортежів, у нас є\(2^n\) такі впорядковані\(n\) -кортежі. Це доводить\(|\wp(A)|=2^n\), що, тобто\(A\) має\(2^n\) підмножини.

практичні вправи\(\PageIndex{6}\label{he:invfcn-06}\)

Розглянемо функцію,\(F\) визначену в прикладі 6.6.7. Припустимо\(n=8\). Знайти\(F(\emptyset)\) і\(F^{-1}\big( (1,0,1,1,1,0,0,0)\big)\).

Резюме та огляд

• Біекція - це функція, яка є як один до одного, так і на.
• Обернена біекція -\(f :{A}{B}\) це функція\({f^{-1}}:{B}\to{A}\) з властивістю, яка\[f(x)=y \Leftrightarrow x=f^{-1}(y). \nonumber\]
• Коротше кажучи, обернена функція змінює правило присвоєння\(f\). Він починається з елемента\(y\) в кодомені\(f\), і відновлює елемент\(x\) в області\(f\) такого, що\(f(x)=y\).

Вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:invfcn-01}\)

Які з наведених нижче функцій є біекціями? Поясніть!

1. \(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(f(x)=x^3-2x^2+1\).
2. \(g :{[\,2,\infty)}\to{\mathbb{R}}\),\(g(x)=x^3-2x^2+1\).
3. \(h:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(h(x)=e^{1-2x}\).
4. \(p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\),\(p(x)=|1-3x|\).
5. \(q:{[\,2,\infty)}\to{[\,0,\infty)}\),\(q(x)=\sqrt{x-2}\).

Вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:invfcn-02}\)

Для тих функцій, які не є двоїками в останній задачі, чи можемо ми змінити їх кодомени, щоб змінити їх на біекції?

Вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:invfcn-03}\)

\(f\)\(g\)Дозволяти і бути функції від\((1,3)\) до\((4,7)\) визначені\[f(x) = \frac{3}{2}\,x+\frac{5}{2}, \qquad\mbox{and}\qquad g(x) = -\frac{3}{2}\,x+\frac{17}{2}. \nonumber\] Знайти їх обернені функції. Обов'язково опишіть їх домени і кодомени.

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:invfcn-04}\)

Знайти обернену функцію,\(f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\) визначену\[f(x) = \cases{ 3x+5 & if $x\leq 6$, \cr 5x-7 & if $x > 6$. \cr} \nonumber\]

Обов'язково опишіть\(f^{-1}\) правильно і правильно.

Вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:invfcn-05}\)

Функція\(g :{[\,1,3\,]}\to{[\,4,\,7]}\) визначається відповідно до\[g(x) = \cases{ x+3 & if $1\leq x< 2$, \cr 11-2x & if $2\leq x\leq 3$. \cr} \nonumber\] Знайти її обернену функцію. Обов'язково опишіть його правильно і правильно.

Вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:invfcn-06}\)

Знайти обернену функцію,\(r :{(0,\infty)}\to{\mathbb{R}}\) визначену за допомогою\(r(x)=4+3\ln x\).

Вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:invfcn-07}\)

Знайти обернену функцію,\(s :{\mathbb{R}}\to{(-\infty,-3)}\) визначену за допомогою\(s(x)=4-7e^{2x}\).

Вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:invfcn-08}\)

Знайдіть обернене кожного з наступних двоеціїв.

1. \(h:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}\),\(h(1)=e\)\(h(2)=c\),\(h(3)=b\),\(h(4)=a\),\(h(5)=d\).
2. \(k :{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{1,2,3,4,5\}}\),\(k(1)=3\)\(k(2)=1\),\(k(3)=5\),\(k(4)=4\),\(k(5)=2\).

Вправа\(\PageIndex{9}\label{ex:invfcn-09}\)

Знайдіть обернене кожного з наступних двоеціїв.

1. \(u:{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}\),\(u(x)=3x-2\).
2. \(v:{\mathbb{Q}-\{1\}}\to{\mathbb{Q}-\{2\}}\),\(v(x)=\frac{2x}{x-1}\).
3. \(w:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}\),\(w(n)=n+3\).

Вправа\(\PageIndex{10}\label{ex:invfcn-10}\)

Знайдіть обернене кожного з наступних двоеціїв.

1. \(r :{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{12}}\),\(r(n)\equiv 7n\) (мод 12).
2. \(s :{\mathbb{Z}_{33}}\to{\mathbb{Z}_{33}}\),\(s(n)\equiv 7n+5\) (мод 33).
3. \(t :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}\cup\{0\}}\),\(t(n) = \cases{ 2n-1 & if $n > 0$, \cr -2n & if $n\leq0$,\cr}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\label{ex:invfcn-11}\)

Зображення біекції\({\alpha}:{\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}\to{\{a,b,c,d,e,f,g,h\}}\) наведені нижче. \[\begin{array}{|c||*{8}{c|}} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \alpha(x)& g & a & d & h & b & e & f & c \\ \hline \end{array} \nonumber\]Знайдіть його обернену функцію.

Вправа\(\PageIndex{12}\label{ex:invfcn-12}\)

Нижче наведена матриця падіння для біекції\({\beta}: {\{a,b,c,d,e,f\}}\to{\{x,y,z,u,v,w\}}\). \[\begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{cccccc} u & v & w & x & y & z \end{array} \\ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \end{array} & \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\]Знайдіть його обернену функцію.