6.5: Властивості функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64191

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми вивчимо деякі властивості функцій. Щоб полегшити нашу дискусію, нам потрібно ввести деякі позначення. Деякі студенти можуть вважати їх заплутаними і важкими у використанні. Крім запам'ятовування визначень, постарайтеся зрозуміти, що вони насправді означають.

Визначення: образ під

Дано функцію$f :{A}\to{B}$, і$C\subseteq A$, зображення under$f$ визначається як\[f(C) = \{ f(x) \mid x\in C \}. \nonumber\] In words,$f(C)$ є сукупністю всіх зображень елементів$C$.

Кілька зауважень щодо визначення:

Йдеться про зображення $C$підмножини області$A$. Не плутайте його із зображенням елемента$x$ з$A$.
Тому не варто просто говорити «образ». Будьте конкретні: зображення елемента або зображення підмножини.
А ще краще: включити позначення$f(x)$ або$f(C)$ в обговоренні.
Хоча$f(x)$ є елементом у кодомені,$f(C)$ є підмножиною кодомену.
Мабуть, найголовніше, що потрібно пам'ятати, це:

Якщо$y\in f(C)$, то$y\in B$, і існує$x\in C$ таке, що$f(x)=y$.

Це ключове спостереження часто є тим, з чого нам потрібно почати доказ.

Визначення: зображення

$f :{A}{B}$Дозволяти бути функцією. Зображення або діапазон$f$, позначається$\mathrm{ im }{f}$, визначається як множина$f(A)$. Звідси і$\mathrm{ im }{f}$ є сукупність всіх можливих образів, які$f$ можна припустити.

Визначення означає, що функція$f :{A}\to{B}$ знаходиться на if$\mathrm{ im }{f} = B$. На жаль, це спостереження має обмежене використання, тому що його не завжди легко знайти$\mathrm{ im }{f}$.

Приклад$\PageIndex{1}\label{eg:propfcn-01}$

Для функції,$f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначеної

\[f(x) = x^2, \nonumber\]

знаходимо$\mathrm{ im }{f}=[0,\infty)$. У нас теж є, наприклад,$f\big([\,2,\infty)\big) = [4,\infty)$. Зрозуміло, що$f$ це ні один до одного, ні на.

Приклад$\PageIndex{2}\label{eg:propfcn-02}$

Для функції,$g :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$ визначеної\[g(n) = n+3,\nonumber\] знаходимо$\mathrm{ im }{g}=\mathbb{Z}$, і$g(\mathbb{N})=\{4,5,6,\ldots\}$. Функція$g$ є як один до одного, так і на.

Вправа$\PageIndex{1}\label{he:propfcn-01}$

Функція$p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначається як$p(x)=3x+11$. Знайти$p(\mathbb{R}^+)$ і$\mathrm{ im }{p}$.

Вправа$\PageIndex{2}\label{he:propfcn-02}$

Функція$q :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначається як$q(x)=x^2-x-7$. Знайти$\mathrm{ im }{q}$.

Приклад$\PageIndex{3}\label{eg:propfcn-03}$

$h :{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{15}}$Функція визначається

\[h(x) \equiv 5x-11 \pmod{15}.\nonumber\]

З табличних даних

\[\begin{array}{|c||*{9}{c|}} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots & 14 \\ \hline f(x) & 4 & 9 & 14 & 4 & 9 & 14 & 4 & \cdots & 14 \\ \hline \end{array} \nonumber\]

стає зрозуміло, що зображення повторюють візерунок 4, 9, 14 п'ять разів. Тому визначаємо, що$\mathrm{ im }{h}=\{4,9,14\}$.

Вправа$\PageIndex{3}\label{he:propfcn-03}$

Визначте$h(\{0,3,4\})$, де$h$ визначено в прикладі 6.5.3.

Приклад$\PageIndex{4}\label{eg:propfcn-04}$

Визначте$f(\{(0,2), (1,3)\})$, де$f :{\{0,1,2\} \times\{0,1,2,3\}}{\mathbb{Z}}$ визначена функція відповідно

\[f(a,b) = a+b. \nonumber\]

Зауваження: Строго кажучи, ми повинні писати,$f((a,b))$ оскільки аргумент є впорядкованою парою форми$(a,b)$. Однак ми часто пишемо$f(a,b)$, тому що$f$ може розглядатися як двозмінна функція. Перша змінна походить від$\{0,1,2\}$, друга походить від$\{0,1,2,3\}$, і ми додаємо їх для формування зображення.

Рішення: Тому що\[f(0,2)=0+2=2, \qquad\mbox{and}\qquad f(1,3)=1+3=4, \nonumber\] ми це визначаємо$f(\{(0,2),(1,3)\}) = \{2,4\}$.

Вправа$\PageIndex{4}\label{he:propfcn-04}$

Знайти$\mathrm{ im }{f}$, де$f$ визначено в прикладі 6.5.4.

Тепер ми готові представити першу колекцію властивостей функцій.

Теорема$\PageIndex{1}\label{thm:propfcn-01}$

Враховуючи$f :{A}\to{B}$, такі властивості утримують для будь-якого$C_1,C_2\subseteq A$.

$f(C_1\cup C_2) = f(C_1)\cup f(C_2)$
$f(C_1\cap C_2) \subseteq f(C_1)\cap f(C_2)$
$f(C_1 - C_2) \supseteq f(C_1) - f(C_2)$
$C_1\subseteq C_2 \Rightarrow f(C_1) \subseteq f(C_2)$

Зауваження

Ці результати дають прекрасні можливості навчитися писати математичні докази. Ми надаємо лише доказ (а) нижче, а докази (b) — (d) залишаємо як вправи. У (а) ми хочемо встановити рівність двох множин. Один із способів довести, що$S=T$ це показати$S\subseteq T$, і$T\subseteq S$. Тепер, для того, щоб довести це$S\subseteq T$, ми повинні показати, що$z\in S$ означає$z\in$ T; щоб показати$T\subseteq S$, що, ми хочемо довести, що$z\in T$ означає$z\in s$.

Доказ (а)

По-перше, ми хочемо це показати$f(C_1\cup C_2) \subseteq f(C_1)\cup f(C_2)$. Нехай$y\in f(C_1\cup C_2)$, тоді існує$x\in C_1\cup C_2$ таке, що$f(x)=y$. Маючи$x\in C_1\cup C_2$ засоби$x\in C_1$ або$x\in C_2$, тому ми повинні розглянути два випадки.

Якщо$x\in C_1$, то$f(x)\in f(C_1)$.
Якщо$x\in C_2$, то$f(x)\in f(C_2)$.

Таким чином,$y=f(x)$ належить$f(C_1)$ або$f(C_2)$, що означає$y=f(x) \in f(C_1)\cup f(C_2)$. Це доводить це$f(C_1\cup C_2) \subseteq f(C_1)\cup f(C_2)$.

Далі ми хочемо це показати$f(C_1)\cup f(C_2) \subseteq f(C_1\cup C_2)$. Нехай$y\in f(C_1)\cup f(C_2)$, то$y$ належить або$f(C_1)$ або$f(C_2)$.

Якщо$y\in f(C_1)$, то існує$x_1\in C_1$ таке, що$f(x_1)=y$.
Якщо$y\in f(C_2)$, то існує$x_2\in C_2$ таке, що$f(x_2)=y$.

Ці дві можливості разом означають, що існує елемент, що$x$ належить$C_1$ або$C_2$, тобто, такий$x\in C_1\cup C_2$, що$f(x)=y$. Це означає$f(x)\in f(C_1\cup C_2)$. Це доводить це$f(C_1)\cup f(C_2) \subseteq f(C_1\cup C_2)$. На цьому доказ$f(C_1\cup C_2) = f(C_1)\cup f(C_2)$.

Вправа$\PageIndex{5}\label{he:propfcn-05}$

Доведіть частину (b) теореми 6.5.1.

Зауваження

Частина (b) теореми 6.5.2 дає лише зв'язок підмножини. Причина в тому: мати$y\in f(C_1)$ і$y\in f(C_2)$ не обов'язково означає, що$y$ це образ одного і того ж елемента. Так як$f$ може бути багато до одного, то можна мати$x_1\in C_1-C_2$ і$x_2\in C_2-C_1$ таке, що$f(x_1)=f(x_2)=y$. Розглянемо$f :{\{1,2,3\}}\to{\{a,b\}}$$C_1=\{1,2\}$ визначені\[f(1)=f(3)=a, \qquad\mbox{and}\qquad f(2)=b. \nonumber\] Якщо і$C_2=\{2,3\}$, то$f(C_1)=f(C_2)=\{a,b\}$, і\[f(C_1\cap C_2) = f(\{2\}) = \{b\} \subset \{a,b\} = f(C_1)\cap f(C_2). \nonumber\] Тому, ми можемо тільки зробити висновок, що$y\in f(C_1\cap C_2) \Rightarrow y\in f(C_1) \cap f(C_2)$.

Визначення: преімідж під

Задано функцію$f :{A}\to{B}$, і$D\subseteq B$, попередній образ under визначається як\[f^{-1}(D) = \{ x\in A \mid f(x) \in D \}. \nonumber\] Отже,$f^{-1}(D)$ це набір елементів в області, зображення яких знаходяться в$C$. Символ$f^{-1}(D)$ також вимовляється як «$f$обернений»$D$.

Деякі зауваження щодо визначення:

Передзображення$D$ є підмножиною домену$A$.
Зокрема, преімідж$B$ є завжди$A$.
Головне, що потрібно пам'ятати, це:

Якщо$x\in f^{-1}(D)$, то$x\in A$, і$f(x)\in D$.
Цілком можливо, що$f^{-1}(D)=\emptyset$ для якоїсь підмножини$D$. Якщо це$f$ станеться, не на.
Тому,$f$ є на якщо і тільки якщо$f^{-1}(\{b\})\neq \emptyset$ для кожного$b\in B$.

Приклад$\PageIndex{5}\label{eg:propfcn-05}$

Якщо$t :{\mathbb{R}\to}{\mathbb{R}}$ визначено$t(x)=x^2-5x+5$, знайдіть$t^{-1}(\{-1\})$.

Рішення: Ми хочемо знайти$x$ таке, що$t(x)=x^2-5x+5=-1$. Отже, ми повинні вирішити\[0 = x^2-5x+6 = (x-2)(x-3).\nonumber\] рівняння Рішення є$x=2$ і$x=3$. Тому,$t^{-1}(\{-1\}) = \{2,3\}$.

Вправа$\PageIndex{6}\label{he:propfcn-06}$

Якщо$k :{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{R}}$ визначено$k(x)=x^2-x-7$, знайдіть$k^{-1}(\{3\})$.

Приклад$\PageIndex{6}\label{eg:propfcn-06}$

Для функції,$f :{\{0,1,2\}\times\{0,1,2,3\}}\to{\mathbb{Z}}$ визначеної\[f(a,b) = a+b, \nonumber\] ми знаходимо\[\begin{aligned} f^{-1}(\{3\}) &=& \{(0,3), (1,2), (2,1)\}, \\ f^{-1}(\{4\}) &=& \{(1,3), (2,2)\}. \end{aligned} \nonumber\] Оскільки преобрази є множинами, нам потрібно записати відповіді в множинних позначеннях.

Вправа$\PageIndex{7}\label{he:propfcn-07}$

Знайти$h^{-1}(\{4\})$ і$h^{-1}(\{2\})$, де функція$h$ визначена в прикладі 6.5.3.

Теорема$\PageIndex{2}\label{thm:propfcn-02}$

Задано$f :{A}\to{B}$, і$D_1,D_2\subseteq B$, наступні властивості утримують.

$f^{-1}(D_1\cup D_2) = f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)$
$f^{-1}(D_1\cap D_2) = f^{-1}(D_1)\cap f^{-1}(D_2)$
$f^{-1}(D_1 - D_2) = f^{-1}(D_1) - f^{-1}(D_2)$
$D_1\subseteq D_2 \Rightarrow f^{-1}(D_1)\subseteq f^{-1}(D_2)$

Доказ (а)

По-перше, ми хочемо це довести$f^{-1}(D_1\cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$. Нехай$x\in f^{-1}(D_1\cup D_2)$, тоді$f(x)\in D_1\cup D_2$. Це означає або$f(x)\in D_1$ або$f(x)\in D_2$.

Якщо$f(x)\in D_1$, то$x\in f^{-1}(D_1)$.
Якщо$f(x)\in D_2$, то$x\in f^{-1}(D_2)$.

Так як$x$ належить$f^{-1}(D_1)$ або або$f^{-1}(D_2)$, ми визначаємо, що$x\in f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)$. Тому,$f^{-1}(D_1\cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)$.

Далі ми хочемо це довести$f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2) \subseteq f^{-1}(D_1\cup D_2)$. Нехай$x\in f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)$. Тоді$x$ належить або$f^{-1}(D_1)$ або$x\in f^{-1}(D_2)$.

Якщо$x\in f^{-1}(D_1)$, то$f(x)\in D_1$.
Якщо$x\in f^{-1}(D_2)$, то$f(x)\in D_2$.

Значить,$f(x)$ належить або$D_1$ або$D_2$, що означає$f(x)\in D_1\cup D_2$. Таким чином,$x\in f^{-1}(D_1\cup D_2)$. Ми це довели$f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2) \subseteq f^{-1}(D_1\cup D_2)$. Разом з$f^{-1}(D_1\cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)$, робимо висновок, що$f^{-1}(D_1\cup D_2) = f^{-1}(D_1)\cup f^{-1}(D_2)$.

Вправа$\PageIndex{8}\label{he:propfcn-08}$

Доведіть частину (b) теореми 6.5.2.

Чи$f :{A}{B}$ є функція один-на-один або на, можна визначити за кардинальністю попередніх зображень.

$f$один до одного, якщо і тільки якщо$|f^{-1}(\{b\})|\leq1$ для кожного$b\in B$.
$f$знаходиться на якщо і тільки якщо$|f^{-1}(\{b\})|\geq1$ для кожного$b\in B$.

Якщо$A$ і$B$ є кінцевими множинами, то

$|A|\leq|B|$якщо$f$ один до одного, і
$|A|\geq|B|$$f$якщо на.

Зокрема, якщо$f$ один до одного і на, ми маємо$|A|=|B|$.

Приклад$\PageIndex{7}\label{eg:propfcn-08}$

Функція$f :{\mathbb{Z}_{14}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$ не може бути один-на-один, тому що для того, щоб вона була один-на-один, нам потрібно 14 різних зображень. Так як кодомен має всього 10 елементів, для нього неможливо придумати 14 різних зображень.

Так само функція$g :{\mathbb{Z}_{23}}\to{\mathbb{Z}_{57}}$ не може бути включена, оскільки домен має 23 елементи, отже, ми можемо мати не більше 23 різних зображень. Але кодомен має 57 елементів, тому деякі його елементи необхідно залишити невикористаними.

Приклад$\PageIndex{8}\label{eg:propfcn-07}$

Розглянемо функцію,$h :{\mathbb{Z}_{23}}\to{\mathbb{Z}_{57}}$ визначену\[h(x) \equiv 43x \pmod{57}. \nonumber\] If$y\equiv43x$ (мод 57), то, так як$43^{-1}\equiv4$ (мод 57), ми знаходимо, в$\mathbb{Z}_{23}$,\[x = 43^{-1}y = 4y. \nonumber\] Так як ми також можемо висловити$x$ з точки зору$y$, ми оголошуємо, що$f$ є на. Тим не менш, ми дізналися з попереднього прикладу, що$f$ не може бути на. Чи є протиріччя?

Рішення: У аргументі є помилка. Ми повинні були сказати\[x \equiv 43^{-1}y \equiv 4y \pmod{57}. \nonumber\] Оскільки$x$ зменшується по модулю 57, його значення може перевищувати 23. Якщо це станеться,$x\notin\mathbb{Z}_{23}$. Наприклад, якби$y=11$, у нас було б$x=44\notin\mathbb{Z}_{23}$. Навіть якщо ми зменшимо 44 по модулю 23, ми отримаємо$x\equiv21$ (мод 23), ми б\[43\cdot21 \equiv 48\not\equiv 11 \pmod{57}. \nonumber\] так що це все ще не правильний попередній образ. Цей приклад ще раз ілюструє важливість обережності, коли функція включає різні модулі у своїй області та кодомені.

Резюме та огляд

Задано функцію$f :{A}\to{B}$, зображення$C\subseteq A$ визначається як$f(C) = \{f(x) \mid x\in C\}$.
Якщо$y\in f(C)$, то$y\in B$, і існує$x\in C$ таке, що$f(x)=y$.
Див. теорему 6.5.1 для переліку властивостей зображення множини.
Передзображення$D\subseteq B$ визначається як$f^{-1}(D) = \{x\in A \mid f(x)\in D\}$.
Якщо$x\in f^{-1}(D)$, то$x\in A$, і$f(x)\in D$.
Див. теорему 6.5.2 для переліку властивостей попереднього зображення множини.

Вправа$\PageIndex{1}\label{ex:propfcn-01}$

Для кожної з наведених нижче функцій знайдіть зображення та попередній образ$D$.$C$

${f_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d\}}$;$f_1(1)=b$,$f_1(2)=c$,$f_1(3)=a$,$f_1(4)=a$,$f_1(5)=c$;$C=\{1,3\}$,$D=\{a.c\}$.
${f_2}:{\{1,2,3,4\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$f_2(1)=c$,$f_2(2)=b$,$f_2(3)=a$,$f_2(4)=d$;$C=\{1,3\}$,$D=\{b,d\}$.
${f_3}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$f_3(1)=b$,$f_3(2)=b$,$f_3(3)=b$,$f_3(4)=a$,$f_3(5)=d$;$C=\{1,3,5\}$,$D=\{c\}$.
${f_4}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$f_4(1)=d$,$f_4(2)=b$,$f_4(3)=e$,$f_4(4)=a$,$f_4(5)=c$;$C=\{3\}$,$D=\{c\}$.

Вправа$\PageIndex{2}\label{ex:propfcn-02}$

Для кожної з наведених нижче функцій знайдіть зображення та попередній образ$D$.$C$

${f_5}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$$f_5(n)=-n$;$C=2\mathbb{Z}$,$D=\mathbb{N}$.
${f_6}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$$f_6(n) = \cases{ 2n & if $n < 0$, \cr -3n & if $n\geq0$,\cr}$;$C=\mathbb{N}$,$D=2\mathbb{Z}$.
${f_7}:{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}$$f_7 (n) = \cases{ \frac{n+1}{2} & if $n$ is odd \cr \frac{n}{2} & if $n$ is even \cr}$;$C=D=2\mathbb{N}$.
${f_8}:{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}$$f_8 (n) = \cases{ n+1 & if $n$ is odd \cr n-1 & if $n$ is even \cr}$;$C=D=2\mathbb{N}$.

Вправа$\PageIndex{3}\label{ex:propfcn-03}$

Функція$s :{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{12}}$ визначається як\[s(x) \equiv 4x+7 \pmod{12}. \nonumber\]

Знайти$s(\{2,5,7\})$.
Знайти$s^{-1}(\{2,5,7\})$.
Знайти$\mathrm{ im }{s}$.

Вправа$\PageIndex{4}\label{ex:propfcn-04}$

Функція$t :{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{15}}$ визначається як\[t(x) \equiv 3x^2-5 \pmod{15}. \nonumber\]

Знайти$t(\{2,3,5,13\})$.
Знайти$t^{-1}(\{1,5,7\})$.
Знайти$\mathrm{ im }{t}$.

Вправа$\PageIndex{5}\label{ex:propfcn-05}$

Функція$u :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначається як$u(x)=3x+11$, а функція$v :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{R}}$ визначається як$v(x)=3x+11$.

Знайти$u([\,3,5))$ і$v(\{3,4,5\})$.
Знайти$u^{-1}((2,7\,])$ і$v^{-1}((2,7\,])$.

Вправа$\PageIndex{6}\label{ex:propfcn-06}$

Чи$h :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$ визначається функція\[h(n) = \cases{ 2n & if $n\geq0$ \cr -n & if $n < 0$ \cr} \nonumber\] один-на-один? Це на?

Вправа$\PageIndex{7}\label{ex:propfcn-07}$

Визначте$r :{\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Q}}$ відповідно до$r(m,n) = 3^m 5^n$.

Знайти$r(\{1,2,3\}\times\{-1,0,1\})$.
Знайти$r^{-1}\big(\big\{\frac{25}{27}\big\}\big)$.
Знайти$r^{-1}(D)$, де$D=\{3,9,27,81,\ldots\,\}$.

Вправа$\PageIndex{8}\label{ex:propfcn-08}$

Визначте функцію$p :{\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$ відповідно до$p(x,y) = 12x+15y$.

Знайти$p^{-1}(\{18\})$. Ви можете використовувати позначення set-builder для опису вашої відповіді.
Знайти$\mathrm{ im }{p}$.

Вправа$\PageIndex{9}\label{ex:propfcn-09}$

Сума записів у певному рядку матриці називається сумою рядків, а сума записів у певному стовпці називається сумою стовпця. Обговоріть, як ми можемо використовувати суми рядків та суми стовпців матриці випадковості функції, щоб визначити, чи є функція чітко визначеною, один до одного та на.

Вправа$\PageIndex{10}\label{ex:propfcn-10}$

Нижче наведена матриця випадковості функції$f :{\{a,b,c,d,e\}}\to{\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}}$:\[\begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{ccccc} \alpha & \beta & \gamma & \delta &\epsilon \end{array} \\ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array} & \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\]

Знайти$f(\{a,d,e\})$.
Знайти$f^{-1}(\{\alpha,\beta,\epsilon\})$.
Знайти$\mathrm{ im }{f}$.

Вправа$\PageIndex{11}\label{ex:propfcn-11}$

Розглянемо функцію,$h_1$ визначену в задачі 6.5.8a у Вправи 1.2. Що таке$h_1^{-1}(\{m\})$, якщо$m$ представляє вашу маму?

Вправа$\PageIndex{12}\label{ex:propfcn-12}$

Нехай$S$ позначимо материнське генеалогічне древо, яке включає в себе вас, вашу матір, бабусю по материнській лінії, прабабуся по материнській лінії і так далі. Визначте функцію${M}:{S}\to{S}$, дозволяючи$M(x)$ бути матір'ю$x$. Визначте$\mathrm{ im }{M}$.

Вправа$\PageIndex{13}\label{ex:propfcn-13}$

Доведіть частину (c) теореми 6.5.1.

Вправа$\PageIndex{14}\label{ex:propfcn-14}$

Доведіть частину (c) теореми 6.5.2.

Вправа$\PageIndex{15}\label{ex:propfcn-15}$

(а) Доведіть частину (d) теореми 6.5.1.
(b) Довести частину (d) теореми 6.5.2.

Вправа$\PageIndex{16}\label{ex:propfcn-16}$

Побудувати приклад функції$f :{A}{B}$, і$C_1,C_2 \subseteq A$ таку, що$f(C_1-C_2) \supsetneq f(C_1)-f(C_2)$. Див. Частина (c) Теореми 6.5.1.

Вправа$\PageIndex{17}\label{ex:propfcn-17}$

Задано функцію$f :{A}\to{B}$, а$C\subset A$, оскільки$f(C)$ є підмножиною$B$, попередній образ цієї підмножини позначається позначенням$f^{-1}(f(C))$. Розглянемо функцію$f(x)=x^2$,$f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$ визначену, і$C=\{0,1,2,3\}$.

Знайти$f(C)$.
Знайти$f^{-1}(f(C))$.

Вправа$\PageIndex{18}\label{ex:propfcn-18}$

Доведіть, що$C \subseteq f^{-1}(f(C))$ для будь-якої функції$f :{A}\to{B}$, і$C\subseteq A$.