6.4: Функції на

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64180

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Функції «один-на-один» фокусуються на елементах в області. Ми не хочемо, щоб будь-які два з них поділилися спільним зображенням. На функції фокусуються на кодомені. Ми хочемо знати, чи містить він елементи, не пов'язані з будь-яким елементом у домені.

Визначення: відмова

Функція$f :{A}\to{B}$ знаходиться на якщо для кожного елемента існує$a\in A$ такий елемент$b\in B$, що\[f(a) = b. \nonumber\] Функція на також називається surjection, і ми говоримо, що це суб'єктивна.

Приклад$\PageIndex{1}\label{eg:ontofcn-01}$

Графік кусково визначених функцій,$h :{[1,3]}\to{[2,5]}$ визначених

\[h(x) = \cases{ 3x- 1 & if $1\leq x\leq 2$, \cr -3x+11 & if $2 < x\leq 3$, \cr} \nonumber\]

відображається зліва на рис$\PageIndex{1}$. Це явно на, тому що, враховуючи будь-який$y\in[2,5]$, ми можемо знайти хоча б один$x\in[1,3]$ такий, що$h(x)=y$. Аналогічно, функція,$k :{[1,3]}\to{[2,5]}$ визначена

\[k(x) = \cases{ 3x- 1 & if $1\leq x\leq 2$, \cr 5 & if $2 < x\leq 3$, \cr}\nonumber\]

також на. Його графік відображається праворуч від малюнка$\PageIndex{1}$.

Знімок екрана 2020-01-13 в 11.51.44 AM.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Дві функції від [1,3] до [2,5].

вправа$\PageIndex{1}\label{he:ontofcn-01}$

Дві функції в прикладі 6.4.1 знаходяться на, але не один до одного. Побудувати один до одного і на функцію$f$ від$[1,3]$ до$[2,5]$.

вправа$\PageIndex{2}\label{he:ontofcn-02}$

Побудувати функцію$g :{[1,3]}\to{[2,5]}$, яка є один до одного, але не на.

вправа$\PageIndex{3}\label{he:ontofcn-03}$

Знайдіть$B$ підмножину$\mathbb{R}$, яка б зробила функцію$s :{\mathbb{R}}\to{B}$$s(x) = x^2$ визначеною функцією onto.

Приклад$\PageIndex{2}\label{eg:ontofcn-02}$

Побудувати функцію$g :{(5,8)}\to{\mathbb{R}}$, яка є як один до одного, так і на

Зауваження

Це складна проблема. Оскільки домен є відкритим інтервалом, прямий графік не працює, оскільки він не буде охоплювати кожне число в кодомені.

Рішення

Рішення засноване на спостереженні, що функція,$h :{(-\frac{\pi}\to{2},\frac{\pi}{2})}{\mathbb{R}}$$h(x)=\tan x$ визначена, є один до одного і на. Щоб це працювало в цій задачі, нам потрібно зрушити і масштабувати інтервал$(5,8)$ до того ж розміру, що і$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.

Спочатку ми повинні зрушити центр інтервалу$(5,8)$ до центру інтервалу$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Середина інтервалу$(5,8)$ дорівнює$\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2}$, а середина$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ дорівнює 0. Значить, нам потрібно зрушити інтервал$(5,8)$ в ліві$\frac{13}{2}$ одиниці. Це означає, що нам потрібно використовувати трансформацію$x-\frac{13}{2}$. Дві кінцеві точки 5 і 8 стають$-\frac{3}{2}$ і$\frac{3}{2}$, відповідно:

\[\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & 5 & \frac{13}{2} & 8 \\ \hline x-\frac{13}{2} &-\frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} \\ \hline \end{array} \nonumber\]

Після перетворення$x-\frac{13}{2}$ початковий інтервал$(5,8)$ стає інтервалом$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$. Далі ми хочемо розтягнути інтервал$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ в$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Це вимагає коефіцієнта масштабування$\frac{\pi}{3}$.

\[\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & 5 & \frac{13}{2}& 8 \\ \hline \frac{\pi}{3}\left(x-\frac{13}{2}\right) &-\frac{\pi}{2}& 0 &\frac{\pi}{2}\\ \hline \end{array} \nonumber\]

Збираючи ці перетворення разом, ми робимо висновок, що\[g(x) = \tan\left[\frac{\pi}{3}\left(x-\frac{13}{2}\right)\right] \nonumber\] дає один-на-один і on-function від$(5,8)$ до$\mathbb{R}$.

вправа$\PageIndex{4}\label{he:ontofcn-04}$

Побудувати функцію$h :{(2,9)}\to{\mathbb{R}}$, яка є як один до одного, так і на.

Загалом, як ми можемо визначити, чи$f :{A}\to{B}$ є функція на? Ключове питання: заданий елемент$y$ в кодомені, це зображення якогось елемента$x$ в домені? Якщо це так, ми повинні бути в змозі знайти елемент$x$ у домені такий, що$f(x)=y$. Математично, якщо правило присвоєння має форму обчислення, то нам потрібно вирішити рівняння$y=f(x)$ для$x$. Якщо ми завжди можемо висловити з$x$ точки зору$y$, і якщо$x$ результуючий -value знаходиться в області, функція знаходиться на.

Приклад$\PageIndex{3}\label{eg:ontofcn-03}$

Чи$p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначена функція$p(x)=3x^2-4x+5$ onto?

Рішення 1

Нехай$y=3x^2-4x+5$, ми хочемо знати, чи завжди можемо висловити з$x$ точки зору$y$. Переставляючи рівняння, ми знаходимо\[3x^2-4x+(5-y) = 0. \nonumber\] Ми хочемо, щоб це рівняння було розв'язним$\mathbb{R}$, тобто ми хочемо, щоб його рішення були реальними. Це вимагає, щоб його дискримінант був ненегативним. Отже, нам потрібно

\[(-4)^2-4\cdot3\cdot(5-y) = 12y-44 \geq 0. \nonumber\]

Ми маємо реальні рішення тільки тоді, коли$y\geq\frac{11}{3}$. Це означає, коли$y<\frac{11}{3}$, ми не можемо знайти$x$ -значення таке, що$p(x)=y$. Тому$p$ не на.

Рішення 2

Завершивши квадрат, знаходимо

\[p(x) = 3x^2-4x+5 = 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3} \geq \frac{11}{3}. \nonumber\]

Оскільки$p(x)\not<\frac{11}{3}$, зрозуміло, що$p$ це не на.

вправа$\PageIndex{5}\label{he:ontofcn-05}$

Функція$g :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначається як$g(x)=3x+11$. Доведіть, що це на.

Приклад$\PageIndex{4}\label{eg:ontofcn-04}$

Чи$p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначена функція

\[p(x) = \cases{ 4x+1 & if $x\leq3$ \cr \frac{1}{2} \,x & if $x>3$ \cr} \nonumber\]

\[p(x) = \cases{ 4x+1 & if $x\leq3$ \cr \frac{1}{2} & if $x > 3$ \cr}\nonumber\]

на функцію?

Рішення: Графіки$y=4x+1$ і$y=\frac{1}{2}\,x$ обидва збільшуються. Для$x\leq3$,$y$ -значення охоплюють діапазон$(-\infty,13)$, а for$x>3$,$y$ -значення охоплюють діапазон$\big(\frac{3}{2},\infty\big)$. Оскільки ці два$y$ -діапазони перекриваються, всі$y$ -значення покриваються зображеннями. Тому$p$ є на.

вправа$\PageIndex{6}\label{he:ontofcn-06}$

Визначте\[f(x) = \cases{ 3x+1 & if $x\leq2$ \cr 4x & if $x > 2$ \cr}\nonumber\], чи є функція ono.

Приклад$\PageIndex{5}\label{eg:ontofcn-05}$

Розглянемо функцію,$g :{\mathbb{Z}_{43}}\to{\mathbb{Z}_{43}}$ визначену

\[g(x) \equiv 11x-5 \pmod{43}.\nonumber\]

Нехай\[y = g(x) \equiv 11x-5 \pmod{43},\nonumber\]

потім\[x \equiv 11^{-1}(y+5) \equiv 4(y+5) \pmod{43}.\nonumber\]

Це показує,$g$ що на.

вправа$\PageIndex{7}\label{he:ontofcn-07}$

Показати, що функція,$h :{\mathbb{Z}_{23}}\to{\mathbb{Z}_{23}}$ визначена$h(x) \equiv 5x+8$ (мод 23), включена.

Приклад$\PageIndex{6}\label{eg:ontofcn-06}$

Чи${u}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$ визначена функція

\[u(n) = \cases{ 2n & if $n\geq0$ \cr -n & if $n < 0$ \cr} \nonumber\]

один-на-один? Це на?

Рішення: Так як$u(-2)=u(1)=2$, функція$u$ не один-на-один. Оскільки$u(n)\geq0$ для будь-якого$n\in\mathbb{Z}$, функція не$u$ включена.

вправа$\PageIndex{8}\label{he:ontofcn-08}$

Чи$v:{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}$ визначена функція$v(n)=n+1$ onto? Поясніть.

Приклад$\PageIndex{7}\label{eg:oneonefcn-07}$

Функція$s$ в прикладі 6.4.10 є як один до одного, так і на. Він забезпечує відповідність один до одного між елементами$A$ шляхом зіставлення одруженого особи з його/її чоловіком.

вправа$\PageIndex{9}\label{he:ontofcn-09}$

Чи є функція$h_1$ у Вправи 1.2, Задача 6.4.8, функція ono? Поясніть.

Резюме та огляд

Функція$f :{A}\to{B}$ знаходиться на якщо для кожного елемента$b\in B$ існує$a\in A$ такий елемент, що$f(a)=b$.
Щоб показати, що$f$ це функція на, встановити$y=f(x)$, і вирішити для$x$, або показати, що ми завжди можемо висловити з$x$ точки зору$y$ для будь-якого$y\in B$.
Щоб показати, що функція не на, все, що нам потрібно, це знайти елемент$y\in B$, і показати, що no$x$ -value від$A$ буде задовольняти$f(x)=y$.

вправа$\PageIndex{1}\label{ex:ontofcn-01}$

Які з наступних функцій знаходяться на? Поясніть!

$f :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$,$f(x)=x^3-2x^2+1$.
$g :{[\,2,\infty)}\to{\mathbb{R}}$,$g(x)=x^3-2x^2+1$.

вправа$\PageIndex{2}\label{ex:ontofcn-02}$

Які з наступних функцій знаходяться на? Поясніть!

$p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$,$p(x)=e^{1-2x}$.
$q :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$,$q(x)=|1-3x|$.

вправа$\PageIndex{3}\label{ex:ontofcn-03}$

Побудувати функцію один до одного$f :{[1,3]}\to{[2,5]}$, яка не на.

вправа$\PageIndex{4}\label{ex:ontofcn-04}$

Побудувати функцію onto$g :{[\,2,5)}\to{(1,4\,]}$, яка не є один до одного.

вправа$\PageIndex{5}\label{ex:ontofcn-05}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій.

$f :{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$;$f(n)=n^3+1$
$g :{\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}$;$g(x)=n^2$
$h :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$;$h(x)=x^3-x$
$k :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$;$k(x)=5^x$

вправа$\PageIndex{6}\label{ex:ontofcn-06}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій.

$p :{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}\to{\{0,1,2,\ldots,n\}}$;$p(S)=|S|$
$q :{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}\to{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}$;$q(S)=\overline{S}$

вправа$\PageIndex{7}\label{ex:ontofcn-07}$

Визначте, яка з наведених нижче функцій на.

${f_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d\}}$;$f_1(1)=b$,$f_1(2)=c$,$f_1(3)=a$,$f_1(4)=a$,$f_1(5)=c$
${f_2}:{\{1,2,3,4\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$f_2(1)=c$,$f_2(2)=b$,$f_2(3)=a$,$f_2(4)=d$
${f_3}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$;$f_5(n)=-n$
${f_4}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$;$f_4(n) = \cases{ 2n & if $n < 0$, \cr -3n & if $n\geq0$,\cr}$

вправа$\PageIndex{8}\label{ex:ontofcn-08}$

Визначте, яка з наведених нижче функцій на.

${g_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$g_1(1)=b$,$g_1(2)=b$,$g_1(3)=b$,$g_1(4)=a$,$g_1(5)=d$
${g_2}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$g_2(1)=d$,$g_2(2)=b$,$g_2(3)=e$,$g_2(4)=a$,$g_2(5)=c$
$g_3: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$;$g_3 (n) = \cases{ \frac{n+1}{2} & if $n$ is odd \cr \frac{n}{2} & if $n$ is even \cr}$
$g_4: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$;$g_4 (n) = \cases{ n+1 & if $n$ is odd \cr n-1 & if $n$ is even \cr}$

вправа$\PageIndex{9}\label{ex:ontofcn-09}$

Чи можливо функція від$\{1,2\}$$\{a,b,c,d\}$ до бути на? Поясніть.

вправа$\PageIndex{10}\label{ex:ontofcn-10}$

Перерахуйте всі функції на від$\{1,2,3,4\}$ до$\{a,b\}$?

Підказка: Перерахуйте зображення кожної функції.

вправа$\PageIndex{11}\label{ex:ontofcn-11}$

Визначте, яка з наведених нижче функцій на.

$f :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$h(n)\equiv 3n$ (мод 10).
$g :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$g(n)\equiv 5n$ (мод 10).
$h :{\mathbb{Z}_{36}}\to{\mathbb{Z}_{36}}$;$h(n)\equiv 3n$ (мод 36).

вправа$\PageIndex{12}\label{ex:ontofcn-12}$

Визначте, яка з наведених нижче функцій на.

$r:{\mathbb{Z}_{36}}\to{\mathbb{Z}_{36}}$;$r(n)\equiv 5n$ (мод 36).
$s :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$s(n)\equiv n+5$ (мод 10).
$t :{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$t(n)\equiv 3n+5$ (мод 10).

вправа$\PageIndex{13}\label{ex:ontofcn-13}$

Визначте, яка з наведених нижче функцій на.

${\alpha}:{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{ 7}}$;$\alpha(n)\equiv 2n$ (мод 7).
${\beta} :{\mathbb{Z}_{ 8}}\to{\mathbb{Z}_{12}}$;$\beta (n)\equiv 3n$ (мод 12).
${\gamma}:{\mathbb{Z}_{ 6}}\to{\mathbb{Z}_{12}}$;$\gamma(n)\equiv 2n$ (мод 12).
${\delta}:{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{36}}$;$\delta(n)\equiv 6n$ (мод 36).

вправа$\PageIndex{14}\label{ex:ontofcn-14}$

Наведіть приклад функції,$f :{\mathbb{N}}{\mathbb{N}}$ яка є

ні один до одного, ні на
один до одного, але не на
на, але не один до одного
як один до одного, так і на