6.3: Функції «один-на-один»

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64185

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Виділено дві спеціальні сімейства функцій: функції один до одного та функції onto. Ми обговоримо функції один-на-один в цьому розділі, а про функції в наступному.

Визначення: Ін'єкція

${f}:{A}\to{B}$Функція, як кажуть, один до одного, якщо

\[x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \nonumber\]

для всіх елементів$x_1,x_2\in A$. Функція «один до одного» також називається ін'єкцією, і ми називаємо функцію ін'єкційною, якщо вона одна до одного. Функція, яка не є один-до-одному, називається «багато до одного».

Будь-яка чітко визначена функція - це або один-на-один, або багато до одного. Функція не може бути один-до-багатьом, оскільки жоден елемент не може мати декілька зображень. Різниця між функціями «один до одного» та «багато до одного» полягає в тому, чи існують різні елементи, які поділяють одне і те ж зображення. У функції «один до одного» немає повторюваних зображень.

Приклад$\PageIndex{1}\label{eg:oneonefcn-01}$

Функція ідентичності на будь-якому непорожньому наборі$A$\[{i_A}:{A}\to{A}, \qquad i_A(x)=x, \nonumber\] відображає будь-який елемент назад до себе. Зрозуміло, що всі функції ідентичності - один до одного.

Приклад$\PageIndex{2}\label{eg:oneonefcn-02}$

Функція,$ h : {A}\to{A}$ визначена$h(x)=c$ для деякого фіксованого елемента$c\in A$, є прикладом постійної функції. Це функція лише з одним зображенням. Це повна протилежність функції ідентичності. Це явно не один до одного, хіба що$|A|=1$.

Для доменів з невеликою кількістю елементів можна скористатися перевіркою зображень, щоб визначити, чи є функція один-на-один. Це стає неможливим, якщо домен містить більшу кількість елементів.

На практиці простіше використовувати контрапозитивний визначення, щоб перевірити, чи є функція один-на-один:

\[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \nonumber\]

Приклад$\PageIndex{3}\label{eg:oneonefcn-03}$

Чи$ f : {\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ визначається функція$f(x)=3x+2$ один-на-один?

Рішення: Припустимо$f(x_1)=f(x_2)$, що означає\[3x_1+2 = 3x_2+2. \nonumber\] Таким чином$3x_1=3x_2$, що означає, що$x_1=x_2$. Тому$f$ один до одного.

вправа$\PageIndex{1}\label{he:oneonefcn-01}$

Визначте, чи$ g : {\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$$g(x)=5-7x$ визначена функція «один до одного».

вправа$\PageIndex{2}\label{he:oneonefcn-02}$

Визначте, чи$ h : {[2,\infty)}\to{\mathbb{R}}$$h(x)=\sqrt{x-2}$ визначена функція «один до одного».

Цікаво, що іноді ми можемо використовувати обчислення, щоб визначити, чи реальна функція один до одного. Реальна функція$f$ збільшується, якщо\[x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2), \nonumber\] і зменшується, якщо\[x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2). \nonumber\] Очевидно, що як зростаючі, так і зменшуються функції один до одного. З обчислення ми знаємо, що

Функція збільшується протягом відкритого інтервалу,$(a,b)$ якщо$f'(x)>0$ для всіх$x\in(a,b)$.
Функція зменшується за відкритий інтервал,$(a,b)$ якщо$f'(x)<0$ для всіх$x\in(a,b)$.

Тому, якщо похідна функції завжди позитивна, або завжди негативна, то функція повинна бути один-на-один.

Приклад$\PageIndex{4}\label{eg:oneonefcn-04}$

Функція,$p : {\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$\[p(x) = 2x^3-5 \nonumber\] визначена, є один до одного, тому що$p'(x)=6x^2>0$ для будь-якого$x\in\mathbb{R}^*$. Аналогічно, функція,$q:{\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)}\to{\mathbb{R}}$\[q(x) = \tan x \nonumber\] визначена також один до одного, тому що$q'(x) = \sec^2x > 0$ для будь-якого$x\in \big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$.

вправа$\PageIndex{3}\label{he:oneonefcn-03}$

Використовуйте обидва методи, щоб показати, що функція,$k:{(0,\infty)}\to{\mathbb{R}}$$k(x) = \ln x$ визначена, є один до одного.

Приклад$\PageIndex{5}\label{eg:oneonefcn-05}$

Функція,$ h : {\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$$h(x)=x^2$ задана не один до одного, оскільки деякі її зображення ідентичні. Наприклад,$h(3) = h(-3) =9$. Це функція «багато до одного». Аналогічно, функція абсолютного значення не$|x|$ є один-до-один.

Функції,$p:{[\,0,\infty)}\to{\mathbb{R}}$$p(x)=x^2$ визначені та$q:{[\,0,\infty)}\to{\mathbb{R}}$ визначені$q(x)=|x|$, є один до одного. Чи є функція один-на-один, залежить не тільки від її формули, але і від її області. Отже, іноді ми можемо перетворити функцію «багато до одного» в функцію «один-на-один», змінивши її область.

Приклад$\PageIndex{6}\label{eg:onetoone}$

Побудувати функцію один до одного від$[\,1,3\,]$ до$[\,2,5\,]$.

Рішення

Існує безліч можливих рішень. У будь-якому випадку почніть з графіка. Ми можемо використовувати прямолінійний графік. Домен$[\,1,3\,]$ лежить на$x$ -осі, а кодомен$[\,2,5\,]$ лежить на$y$ -осі. Отже, графік повинен охоплювати коробку області на малюнку$\PageIndex{1}$.

Знімок екрана 2020-01-13 в 10.53.29 AM.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Три кандидати на функції один до одного від [1,3] до [2,5].

Всі три графіки не дають дублікатів зображень. Нам потрібно покрити всі$x$ -значення від 1 до 3, щоб функція була чітко визначена. Це залишає лише перші два графіки як законні приклади.

Щоб визначити формулу для$f$, нам потрібно вивести рівняння прямої. Візьміть перший графік як наш вибір. Лінія з'єднує точку$(1,2)$ з точкою$(3,4)$. Таким чином, його\[\frac{y-2}{x-1} = \frac{4-2}{3-1} = 1. \nonumber\] рівняння є Останнім кроком є написання відповіді у вигляді$f(x)=\ldots\,$. Ми повинні висловити$y$ в плані$x$. Знаходимо$y = x+1$. Отже,\[ f : {[\,1,3\,]}\to{[\,2,5\,]}, \qquad f(x) = x+1 \nonumber\] є прикладом функції один до одного.

вправа$\PageIndex{4}\label{he:oneonefcn-04}$

Побудувати функцію один-на-один від$[\,1,3\,]$ до на$[\,2,5\,]$ основі другого графіка в прикладі 6.3.6.

вправа$\PageIndex{5}\label{he:oneonefcn-05}$

Побудувати функцію один до одного від$[\,3,8\,]$ до$[\,2,5\,]$.

приклад$\PageIndex{7}\label{eg:gmod43}$

Визначте, чи$ g : {\mathbb{Z}_{43}}\to{\mathbb{Z}_{43}}$\[g(x) \equiv 11x-5 \pmod{43} \nonumber\] визначена функція «один до одного».

Рішення: Припустимо$g(x_1)=g(x_2)$. Це означає\[11x_1 - 5 \equiv 11x_2 - 5 \pmod{43}, \nonumber\], що означає\[11x_1 \equiv 11x_2 \pmod{43}. \nonumber\] Зверніть увагу, що$4\cdot11=44\equiv1$ (мод 43), отже$11^{-1}\equiv4$ (мод 43). Множення 4 на обидві сторони останньої конгруентності дає,\[44 x_1 \equiv 44 x_2 \pmod{43}, \nonumber\] що еквівалентно, оскільки$44\equiv1$ (мод 43),\[x_1 \equiv x_2 \pmod{43}. \nonumber\] Отже,$x_1=x_2$ в$\mathbb{Z}_{43}$. Це доводить, що$g$ це один до одного.

вправа$\PageIndex{6}\label{he:oneonefcn-06}$

Функція$ h : {\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{15}}$ визначається\[h(x) \equiv 4x-11 \pmod{15} \nonumber\] функцією один до одного?

вправа$\PageIndex{7}\label{he:oneonefcn-07}$

Показати, що функція,$k:{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{15}}$\[k(x) \equiv 5x-11 \pmod{15} \nonumber\] визначена не один до одного, знаходячи$x_1\neq x_2$ таку, що$k(x_1)=k(x_2)$.

Приклад$\PageIndex{8}\label{eg:oneonefcn-08}$

В останній вправі ми не повинні покладатися на неіснування$5^{-1}$ в,$\mathbb{Z}_{15}$ щоб довести, що$k$ це не один до одного. Потрібно враховувати взаємодію між доменом, кодоменом та визначенням функції. Наприклад, незважаючи на те, що$5^{-1}$ не існує в$\mathbb{Z}_{15}$, функція$p :{\mathbb{Z}_3}\to{\mathbb{Z}_{15}}$\[p(x) \equiv 5x-11 \pmod{15} \nonumber\] визначається один до одного, тому що,$p(0)=4$$p(1)=9$, і$p(2)=14$ є відмінними зображеннями.

Останній приклад ілюструє хитрість функції з різними модулями у своїй області та кодомені. Будьте обережні, коли маєте справу з такими функціями! Іноді нескінченні множини також становлять виклик. Оскільки існує нескінченний запас елементів, ми можемо отримати результати, які здаються неможливими для скінченних множин.

Приклад$\PageIndex{9}\label{eg:oneonefcn-09}$

Функція,$ f : {\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$\[f(n) = \cases{ \frac{n}{2} & if $n$ is even \cr \frac{n+1}{2} & if $n$ is odd \cr} \nonumber\] визначена не один до одного, тому що, наприклад,$f(0)=f(-1)=0$. Функція,$ g : {\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$\[g(n) = 2n \nonumber\] визначена, є один до одного, тому що якщо$g(n_1)=g(n_2)$, то$2n_1=2n_2$ має на увазі, що$n_1=n_2$.

вправа$\PageIndex{8}\label{he:oneonefcn-08}$

Показати, що функція,$ h : {\mathbb{Z}}\to{\mathbb{N}}$\[h(n) = \cases{ 2n+1 & if $n\geq0$, \cr -2n & if $n < 0$, \cr} \nonumber\] визначена, є один до одного.

Приклад$\PageIndex{10}\label{eg:oneonefcn-10}$

Нехай$A$ буде сукупність всіх одружених осіб з моногамної громади, які ні розлучені, ні овдовіли. Тоді функція,$s:{A}\to{A}$ визначена\[s(x) = \mbox{ spouse of } x \nonumber\], є один до одного. Причина в тому, що це неможливо мати$x_1\neq x_2$ і поки$s(x_1)=s(x_2)$.

Резюме та огляд

$f$Функція, як кажуть, один до одного, якщо$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$.
Немає двох зображень функції один до одного не однакові.
Щоб показати, що функція не$f$ один до одного, все, що нам потрібно, це знайти два різних$x$ -значення, які створюють одне і те ж зображення; тобто знайти$x_1\neq x_2$ таке, що$f(x_1)=f(x_2)$.

Вправа$\PageIndex{1}\label{ex:oneonefcn-01}$

Які з перерахованих нижче функцій є один-на-один? Поясніть.

$ f : {\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$,$f(x)=x^3-2x^2+1$.
$ g : {[\,2,\infty)}\to{\mathbb{R}}$,$f(x)=x^3-2x^2+1$.

Вправа$\PageIndex{2}\label{ex:oneonefcn-02}$

Які з перерахованих нижче функцій є один-на-один? Поясніть.

$p :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$,$h(x)=e^{1-2x}$.
$ q :{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$,$p(x)=|1-3x|$.

Вправа$\PageIndex{3}\label{ex:oneonefcn-03}$

Побудувати функцію один до одного$ f : {(1,3)}\to{(2,5)}$ так,$ f : {[\,1,3)}\to{[\,2,5)}$ що все ще один до одного.

Вправа$\PageIndex{4}\label{ex:oneonefcn-04}$

Побудувати функцію один до одного$ g : {[\,2,5)}\to{(1,4\,]}$.

Вправа$\PageIndex{5}\label{ex:oneonefcn-05}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій один до одного.

$ f : {\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$;$f(n)=n^3+1$
$ g : {\mathbb{Q}}\to{\mathbb{Q}}$;$g(x)=n^2$
$ h : {\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$;$h(x)=x^3-x$
${k} : {\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$;$k(x)=5^x$

Вправа$\PageIndex{6}\label{ex:oneonefcn-06}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій один до одного.

$p :{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}\to{\{0,1,2,\ldots,n\}}$;$p(S)=|S|$
$ q :{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}\to{\wp(\{1,2,3,\ldots,n\})}$;$q(S)=\overline{S}$

Вправа$\PageIndex{7}\label{ex:oneonefcn-07}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій є один-на-один.

${f_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d\}}$;$f_1(1)=b$,$f_1(2)=c$,$f_1(3)=a$,$f_1(4)=a$,$f_1(5)=c$
${f_2}:{\{1,2,3,4\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$f_2(1)=c$,$f_2(2)=b$,$f_2(3)=a$,$f_2(4)=d$
${f_3}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$;$f_5(n)=-n$
$f_4: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$;$f_4(n) = \cases{ 2n & if $n < 0$, \cr -3n & if $n\geq0$,\cr}$

Вправа$\PageIndex{8}\label{ex:oneonefcn-08}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій є один-на-один.

${g_1}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$g_1(1)=b$,$g_1(2)=b$,$g_1(3)=b$,$g_1(4)=a$,$g_1(5)=d$
${g_2}:{\{1,2,3,4,5\}}\to{\{a,b,c,d,e\}}$;$g_2(1)=d$,$g_2(2)=b$,$g_2(3)=e$,$g_2(4)=a$,$g_2(5)=c$
$g_3: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$;$g_3 (n) = \cases{ \frac{n+1}{2} & if $n$ is odd \cr \frac{n}{2} & if $n$ is even \cr}$
$g_4: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$;$g_4 (n) = \cases{ n+1 & if $n$ is odd \cr n-1 & if $n$ is even \cr}$

Вправа$\PageIndex{9}\label{ex:oneonefcn-09}$

Перерахуйте всі функції один до одного від$\{1,2\}$ до$\{a,b,c,d\}$.

Підказка: Перерахуйте зображення кожної функції.

Вправа$\PageIndex{10}\label{ex:oneonefcn-10}$

Чи можна знайти функцію один-на-один від$\{1,2,3,4\}$ до$\{1,2\}$? Поясніть.

Вправа$\PageIndex{11}\label{ex:oneonefcn-11}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій є один-на-один.

$ f : {\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$h(n)\equiv 3n$ (мод 10).
$ g : {\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$g(n)\equiv 5n$ (мод 10).
$ h : {\mathbb{Z}_{36}}\to{\mathbb{Z}_{36}}$;$h(n)\equiv 3n$ (мод 36).

Вправа$\PageIndex{12}\label{ex:oneonefcn-12}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій є один-на-один.

$r:{\mathbb{Z}_{36}}\to{\mathbb{Z}_{36}}$;$r(n)\equiv 5n$ (мод 36).
$s:{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$s(n)\equiv n+5$ (мод 10).
$t:{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_{10}}$;$t(n)\equiv 3n+5$ (мод 10).

Вправа$\PageIndex{13}\label{ex:oneonefcn-13}$

Визначте, які з перерахованих нижче функцій є один-на-один.

$\alpha:{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{ 7}}$;$\alpha(n)\equiv 2n$ (мод 7).
$\beta :{\mathbb{Z}_{ 8}}\to{\mathbb{Z}_{12}}$;$\beta (n)\equiv 3n$ (мод 12).
$\gamma:{\mathbb{Z}_{ 6}}\to{\mathbb{Z}_{12}}$;$\gamma(n)\equiv 2n$ (мод 12).
$\delta:{\mathbb{Z}_{12}}\to{\mathbb{Z}_{36}}$;$\delta(n)\equiv 6n$ (мод 36).

Вправа$\PageIndex{14}\label{ex:oneonefcn-14}$

Наведіть приклад функції один до одного$f$ від$\mathbb{N}$ до$\mathbb{N}$, яка не є функцією ідентичності.