6.2: Визначення функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64187

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Визначення

$B$Дозволяти$A$ і бути непорожніми множинами. Функція$A$ from to$B$ - це правило, яке присвоює кожному елементу$A$ унікального елемента в$B$. Ми$A$ викликаємо домен, і$B$ codomain, функції. Якщо функція викликається$f$, пишемо$f :A \to B$. Враховуючи$x\in A$, що його пов'язаний елемент в$B$ називається його зображенням під$f$. Позначимо її$f(x)$, яка вимовляється як «$f$з»$x$.

Функцію іноді називають картою або картографуванням. Отже, ми іноді говоримо$f$ карти$x$ до його зображення$f(x)$. Функції ще називають перетвореннями.

Приклад$\PageIndex{1}\label{eg:defnfcn-01}$

Функція$f:\{a,b,c\} \to \{1,3,5,9\}$ визначається відповідно до правила\[f(a)=1, \qquad f(b)=5, \qquad\mbox{and}\qquad f(c) = 9. \nonumber\] Це чітко визначена функція. Правило присвоєння можна звести в таблицю:\[\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & a & b & c \\ \hline f(x)& 1 & 5 & 9 \\ \hline \end{array} \nonumber\] Ми також можемо описати правило присвоєння наочно діаграмою зі стрілками, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$.

Знімок екрана 2020-01-13 о 10.31.42 AM.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Приклад чітко визначеної функції.

Дві ключові вимоги функції:

кожен елемент у домені має зображення під$f$, і
образ унікальний.

Можливо, ви захочете пам'ятати, що кожен елемент$A$ має рівно одного «партнера» в$B$.

Приклад$\PageIndex{2}\label{eg:defnfcn-02}$

$\PageIndex{2}$На малюнку зображено два приклади не-функцій. У тому, що зліва, один з елементів домену не має пов'язаного з ним зображення. У тому, що праворуч, один з елементів домену має два зображення, присвоєні йому. Обидва не є функціями.

Знімок екрана 2020-01-13 в 10.33.33 AM.png — Малюнок$\PageIndex{2}$: Два типи нефункцій.

практичні вправи$\PageIndex{1}\label{he:defnfcn-01}$

Чи\[\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & a & b & c \\ \hline f(x)& 5 & 3 & 3 \\ \hline \end{array} \hskip0.75in \begin{array}{|c||c|c|} \hline x & b & c \\ \hline g(x)& 9 & 5 \\ \hline \end{array} \hskip0.75in \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & a & b & b & c \\ \hline h(x)& 1 & 5 & 3 & 9 \\ \hline \end{array} \nonumber\] виробляють ці правила чітко визначені функції від$\{a,b,c\}$ до$\{1,3,5,9\}$? Поясніть.

практичні вправи$\PageIndex{2}\label{he:defnfcn-02}$

Чи\[r(x) = \cases{ x & if today is Monday, \cr 2x & if today is not Monday \cr} \nonumber\] дає визначення чітко визначену функцію від$\mathbb{R}$ до$\mathbb{R}$? Поясніть.

практичні вправи$\PageIndex{3}\label{he:defnfcn-03}$

Чи\[s(x) = \cases{ 5 & if $x<2$, \cr 7 & if $x>3$, \cr} \nonumber\] дає визначення чітко визначену функцію від$\mathbb{R}$ до$\mathbb{R}$? Поясніть.

Приклад$\PageIndex{3}\label{eg:defnfcn-03}$

Функція,$f:{[0,\infty)}\to{\mathbb{R}}$\[f(x) = \sqrt{x} \nonumber\] визначена, є чітко визначеною. Так це функція${g}:{[2,\infty)}\to{\mathbb{R}}$ визначається як Ви\[g(x) = \sqrt{x-2}. \nonumber\] можете пояснити, чому домен$[2,\infty)$?

Приклад$\PageIndex{4}\label{eg:defnfcn-04}$

$A$Позначимо набір учнів, які беруть дискретну математику, і$G=\{A,B,C,D,F\}$, і$\ell(x)$ є підсумковим класом учня$x$ з дискретної математики. Кожен студент повинен отримати підсумкову оцінку, а інструктор повинен повідомити про один і тільки один підсумковий бал для кожного учня. Це саме те, що ми називаємо функцією.

Приклад$\PageIndex{5}\label{eg:defnfcn-05}$

Функція${n}:{\wp(\{a,b,c,d\})}\to{\mathbb{Z}}$ визначається як$n(S)=|S|$. Він оцінює кардинальність підмножини$\{a,b,c,d\}$. Наприклад,\[n\big(\{a,c\}\big) = n\big(\{b,d\}\big) = 2. \nonumber\] Зауважте, що$n(\emptyset)=0$.

практичні вправи$\PageIndex{4}\label{he:defnfcn-04}$

Розглянемо приклад 6.2.5. Які ще$S$ підмножини$\{a,b,c,d\}$ також дають$n(S)=2$? Які найменші та найбільші зображення$n$ може створювати функція?

Приклад$\PageIndex{6}\label{eg:defnfcn-06}$

Розглянемо функцію${f}:{\mathbb{Z}_7}\to{\mathbb{Z}_5}$. Домен і кодомен є,

\[\mathbb{Z}_7 = \{0,1,2,3,4,5,6\}, \qquad\mbox{and}\qquad \mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\}, \nonumber\]

відповідно. Не тільки їх елементи різні, їх бінарні операції теж різні. У домені$\mathbb{Z}_7$ арифметика виконується по модулю 7, але арифметика в кодомені$\mathbb{Z}_5$ робиться по модулю 5. Таким чином, ми повинні бути обережними в описі правила присвоєння, якщо відбувається обчислення. Можна сказати, наприклад,

\[f(x) = z, \quad\mbox{where } z \equiv 3x \pmod{5}. \nonumber\]

Отже, починаючи з будь-якого елемента$x$ в$\mathbb{Z}_7$, розглядаємо$x$ як звичайне ціле число, множимо на 3, і зменшуємо відповідь по модулю 5 для отримання зображення$f(x)$. Для стислості напишемо

\[f(x) \equiv 3x \pmod{5}. \nonumber\]

Ми підсумуємо зображення в наступній таблиці:

\[\begin{array}{|c||*{7}{c|}} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline f(n) & 0 & 3 & 1 & 4 & 2 & 0 & 3 \\ \hline \end{array} \nonumber\]

Зверніть увагу, що зображення починають повторюватися після$f(4)=2$.

практичні вправи$\PageIndex{5}\label{he:defnfcn-05}$

Табулювати зображення${g}:{\mathbb{Z}_{10}}\to{\mathbb{Z}_5}$ визначених\[g(x) \equiv 3x \pmod{5}. \nonumber\]

Визначення

Графік функції${f}:{A}\to{B}$ - це набір впорядкованих пар$(x,y)$ з$A\times B$ таких, що$y=f(x)$.

Графік функції, в цьому загальному визначенні, може не схожий на графіки, які ми очікували від реальних функцій. Графік - це, за визначенням, набір впорядкованих пар.

Приклад$\PageIndex{7}\label{eg:defnfcn-07}$

Графік функції$f$ в прикладі 6.2.6 - це набір впорядкованих пар\[\{(0,0), (1,3), (2,1), (3,4), (4,2), (5,0), (6,3)\}. \nonumber\] Якщо наполягати, ми могли б відобразити графік функції за допомогою$xy$ -plane, що нагадує звичайну декартову площину. Майте на увазі: елементи$x$ і$y$ походять від$A$ і$B$, відповідно. Ми можемо «побудувати» графік$f$ у прикладі 6.2.6, як показано нижче.

Знімок екрана 2020-01-13 в 10.39.58 AM.png

Крім використання графічного представлення, ми також можемо використовувати$(0,1)$ -матрицю. A$(0,1)$ -matrix - це матриця, записи якої 0 і 1. Для функції використовуємо$7\times5$ матрицю$f$, рядки і стовпці якої відповідають елементам$A$ і$B$, відповідно, і ставимо одну в$(i,j)$ i-й запис if$j=f(i)$, а нуль інакше. Отримана матриця

\[\begin{array}{cc} & \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} & \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\]

Ми називаємо це матрицею випадковості для функції$f$.

практичні вправи$\PageIndex{6}\label{he:defnfcn-06}$

«Ділянка» графіка$g$ в практичній вправі 6.2.5. Також побудуйте його матрицю випадковості.

Резюме та огляд

Функція$f$ від$A$ множини до множини$B$ (називається доменом і кодоменом відповідно) - це правило, яке описує, як значення в кодомені$B$ присвоюється елементу з домену$A$.
Але це не просто будь-яке правило; скоріше, правило має привласнювати кожному елементу$x$ домену унікальне значення в кодомені.
Це унікальне значення називається зображенням$x$ під функцією$f$, і позначається$f(x)$.
Ми використовуємо позначення,${f}:{A}\to{B}$ щоб вказати, що ім'я функції є$f$, домен є$A$, а кодомен є$B$.
Графік функції${f}:{A}\to{B}$ - це колекція всіх впорядкованих пар$(x,y)$ з$A\times B$ таких, що$y=f(x)$.
Графік функції може бути не кривою, як у випадку з реальною функцією. Це може бути просто набір очок.
Ми також можемо відобразити зображення функції в таблиці або представляти функцію з матрицею падіння.

вправа$\PageIndex{1}\label{ex:defnfcn-01}$

Яку$A$ підмножину ви$\mathbb{R}$ б використали, щоб зробити${f}:{A}\to{\mathbb{R}}$$f(x) = \sqrt{3x-7}$ визначеною чітко визначеною функцією?

вправа$\PageIndex{2}\label{ex:defnfcn-02}$

Яку$A$ підмножину ви$\mathbb{R}$ б використали для створення

${g}:{A}\to{\mathbb{R}}$, де$g(x) = \sqrt{(x-3)(x-7)}$
${h}:{A}\to{\mathbb{R}}$, де$h(x) = \frac{x+2}{\sqrt{(x-2)(5-x)}}$

чітко визначені функції?

вправа$\PageIndex{3}\label{ex:defnfcn-03}$

Які з цих даних підтримують чітко визначену функцію від$\{1,2,3,4\}$ до$\{1,2,3,4\}$? Поясніть.

\[\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 3 & 4 & 2 \\ \hline \end{array} \hskip0.4in \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline g(x) & 2 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{array} \hskip0.4in \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 \\ \hline h(x) & 2 & 4 & 3 & 2 & 3 \\ \hline \end{array} \nonumber\]

вправа$\PageIndex{4}\label{ex:defnfcn-04}$

Які з перерахованих нижче є графічним представленням або матрицею падіння чітко визначених функцій від$\{1,2,3,4\}$ до$\{1,2,3,4\}$? Поясніть.

Знімок екрана 2020-01-13 в 10.42.46 AM.png

\[g: ~ \begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} & \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\]

вправа$\PageIndex{5}\label{ex:defnfcn-05}$

Визначте, чи є це чітко визначені функції. Поясніть.

${f}:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$, де$f(x) = \frac{3}{x^2+5}$.
${g}:{(5,\infty)}\to{\mathbb{R}}$, де$g(x) = \frac{7}{\sqrt{x-4}}$.
${h}:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$, де$h(x) = -\sqrt{7-4x+4x^2}$.

вправа$\PageIndex{6}\label{ex:defnfcn-06}$

Визначте, чи є це чітко визначені функції. Поясніть.

${s}:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$, де$ x^2+[s(x)]^2=9$.
${t}:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$, де$|x-t(x)|=4$.

вправа$\PageIndex{7}\label{ex:defnfcn-07}$

Нижче наведено графік функції$p$ і матриця падіння для функції$q$ відповідно від$\{1,2,3,4\}$ до$\{1,2,3,4\}$.

Знімок екрана 2020-01-13 в 10.44.02 AM.png

\[q: ~ \begin{array}[t]{cc} & \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} & \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{array} \nonumber\]

Заповніть наступну таблицю:\[\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p(x) & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \hline \end{array} \hskip0.4in \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline q(x) & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \hline \end{array} \nonumber\]

вправа$\PageIndex{8}\label{ex:defnfcn-08}$

Нехай$T$ буде ваше генеалогічне древо, яке включає вашу біологічну матір, бабусю по материнській лінії, вашу прабабусю по материнській лінії і так далі, і всі їхні нащадки жіночої статі. Визначте, які з перерахованих нижче визначають функцію від$T$ до$T$.

${h_1}:{T}\to{T}$, Де$h_1(x)$ знаходиться мати$x$.
${h_2}:{T}\to{T}$,$h_2(x)$ де$x$ сестра.
${h_3}:{T}\to{T}$, Де$h_3(x)$ знаходиться тітка$x$.
${h_4}:{T}\to{T}$, Де$h_4(x)$ знаходиться старша дочка бабусі по$x$ материнській лінії.

вправа$\PageIndex{9}\label{ex:defnfcn-09}$

Для кожної з наступних функцій визначте образ даної$x$.

${k_1}:{\mathbb{N}-\{1\}}\to{\mathbb{N}}$,$k_1(x)=\text{smallest prime factor of }x, ~ x=217$.
${k_2}:{\mathbb{Z}_{11}}\to{\mathbb{Z}_{11}}$,$k_2(x)\equiv3x$ (мод 11),$x=6$.
${k_3}:{\mathbb{Z}_{15}}\to{\mathbb{Z}_{15}}$,$k_3(x)\equiv3x$ (мод 15),$x=6$.

вправа$\PageIndex{10}\label{ex:defnfcn-10}$

Для кожної з наступних функцій визначте зображення заданих$x$ -значень.

${\ell_1}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$,$\ell_1(x)=x\bmod7$,$x=250$,$x=0$, і$x=-16$.

Примітка: Нагадаємо, що без дужок позначення «mod» означає бінарну операцію mod.

${\ell_2}:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Z}}$,$\ell_2(x)=\gcd(x,24)$,$x=100$,$x=0$, і$x=-21$.