6.1: Вступ до функцій

Функції, які ми вивчали в численні, є дійсними функціями, які визначаються над набором дійсних чисел, і результати, які вони отримують, також є реальними. У цьому розділі ми вивчимо їх узагальнення над іншими множинами. Визначення може бути важко зрозуміти на початку, тому ми б розпочали з короткого вступу.

Більшість студентів розглядають реальні функції як обчислювальні пристрої. Однак при узагальненні функції не обмежуються лише обчисленнями. Кращий спосіб подивитися на функції - це їх взаємозв'язок вхід-виводу. \(f\)Дозвольте позначити функцію. Заданий елемент (який не повинен бути числом), викликаємо результат з зображення\(f\) under\(f\), і пишемо\(f(x)\), який читається як «\(f\)of»\(x\).\(x\)

Уявіть собі\(f\) як машину. Він приймає вхідне значення\(x\) і повертається\(f(x)\) як вихідне значення. Це співвідношення введення-виведення зображено на\(\PageIndex{1}\) малюнку двома різними способами.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Два образотворчі погляди функції як машини.

Питання в тому: як ми могли отримати\(f(x)\)? Функція не повинна включати будь-які обчислення. Отже, ми не можемо говорити про «обчислення» значення\(f(x)\). Натомість ми говоримо про те, яке правило ми дотримуємося, щоб отримати\(f(x)\). Це правило можна описати в багатьох формах. Ми можемо, звичайно, скористатися обчислювальним правилом. Але таблиця, алгоритм або навіть словесний опис також працюють.

Коли ми говоримо, що реальна функція визначається над дійсними числами, ми маємо на увазі вхідні значення повинні бути дійсними числами. Вихідні значення також є дійсними числами. Загалом, вхідні та вихідні значення не повинні бути одного типу. Найближча ціла функція,\([x]\) позначена, округляє дійсне число\(x\) до найближчого цілого числа. Тут зображення (вихідні значення) є цілими числами. Отже, нам потрібно відрізняти набір вхідних значень від безлічі можливих вихідних значень. Ми називаємо їх доменом і кодоменом, відповідно, функції.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:fcintro-1}\)

Коли професор повідомляє підсумкові оцінки за літерами для учнів у своєму класі, ми можемо розглядати це як функцію\(g\). Домен - це набір учнів у її класі, а кодомен може бути набором літерних оцінок\(\{A, B, C, D, F\}\).

Ми сказали, що codomain - це набір можливих вихідних значень, тому що не кожен елемент у кодомені повинен відображатися як зображення якогось елемента з домену. Якщо жоден студент не провалив клас професора в прикладі 6.1.1, ніхто не отримає підсумкову оцінку F. Колекція зображень (підсумкові літерні оцінки) утворюють підмножину кодомену. Ми називаємо цю підмножину діапазоном функції\(g\). Діапазон функції може бути належною підмножиною кодомену. Отже, кодомен функції відрізняється від безлічі її зображень. Якщо діапазон функції дорівнює codomain, ми говоримо, що функція знаходиться на.

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:fcintro-2}\)

Для найближчої\(h(x)=[x]\) цілої функції домен дорівнює\(\mathbb{R}\). Кодомен є\(\mathbb{Z}\), і діапазон також\(\mathbb{Z}\). Отже, найближча ціла функція знаходиться на.

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:fcintro-3}\)

\(x\)Дозволяти бути дійсним числом. Найбільше ціле число\(\lfloor x\rfloor\) повертає найбільше ціле число менше або рівне\(x\). Наприклад,\[\big\lfloor \sqrt{50}\,\big\rfloor = 7, \qquad \lfloor -6.34 \rfloor = -7, \qquad\mbox{and}\qquad \lfloor 15 \rfloor = 15. \nonumber\] Таким чином,\(\lfloor x\rfloor\) повертає,\(x\) якщо це ціле число, інакше він округляється\(x\) до наступного найближчого цілого числа. Отже, його ще називають функцією підлоги\(x\). Зрозуміло, що його домен є\(\mathbb{R}\), а кодомен і діапазон - обидва\(\mathbb{Z}\).

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:fcintro-1}\)

\(x\)Дозволяти бути дійсним числом. Функція «Найменше ціле»\(\lceil x\rceil\) повертає найменше ціле число, яке більше або рівне\(x\). Наприклад,\[\big\lceil \sqrt{50}\,\big\rceil = 8, \qquad \lceil -6.34 \rceil = -6, \qquad\mbox{and}\qquad \lceil 15 \rceil = 15. \nonumber\] Таким чином,\(\lceil x\rceil\) повертає,\(x\) якщо це ціле число, інакше округляється\(x\) до наступного найближчого цілого числа. Отже, його ще називають стельовою функцією\(x\). Що таке його домен і кодомен?

Ми накладаємо два обмеження на відносини введення-виведення, які ми називаємо функціями. Для будь-якого фіксованого вхідного значення\(x\) вихід з функції повинен бути однаковим кожного разу, коли ми використовуємо функцію. Як машина, вона випльовує одну і ту ж відповідь кожного разу, коли ми подаємо одне і те ж значення\(x\) до нього. Як калькулятор, він відображає одну і ту ж відповідь на своєму екрані кожного разу, коли ми вводимо одне і те ж значення\(x\), і натискаємо кнопку для функції. Ми називаємо вихідне значення зображенням\(x\), і запишемо\(f(x)\). Першою важливою вимогою\(f\) для чітко визначеної функції є: зображення\(f(x)\) є унікальним для будь-якого\(x\) фіксованого значення.

Хороша машина повинна працювати належним чином. Що стосується функції\(f\), ми повинні вміти отримувати\(f(x)\) будь-яке значення\(x\) (і, звичайно, видавати лише один результат для кожного\(x\)). Це, мабуть, трохи занадто вимогливо. Засіб полягає в тому, щоб обмежити нашу увагу на тих\(x\), над якими\(f\) буде працювати. Набір законних вхідних значень - це саме те, що ми називаємо доменом функції. Отже, друга вимога говорить: для кожного елемента\(x\) з домену вихідне значення\(f(x)\) має бути чітко визначено. Це математичний спосіб сказати, що значення\(f(x)\) можна отримати.

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:fcintro-4}\)

Порівняйте це з калькулятором. Якщо ввести негативне число і натиснути\(\sqrt{\phantom{x}}\,\) кнопку, з'явиться повідомлення про помилку. Щоб мати можливість обчислити квадратний корінь числа, число має бути невід'ємним. Доменом функції є набір прийнятних вхідних значень, для яких можна знайти значущі результати. Для функції квадратного кореня домен є\(\mathbb{R}^+\cup\{0\}\), який є множиною невід'ємних дійсних чисел.

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:fcintro-2}\)

Для функції квадратного кореня ми можемо вважати його кодомен як\(\mathbb{R}\). Який у нього асортимент? Чи є функція на?

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:fcintro-3}\)

Для функції квадратного кореня, ми можемо сказати, що його домен\(\mathbb{R}^+\cup0\)? Поясніть.

Дві умови для чітко визначеної функції часто об'єднуються та записуються так, ніби це лише одна умова:

\(f\)Функція чітко визначена, якщо кожен елемент\(x\) з домену має унікальне зображення в кодомені.

Коли ви вивчите це визначення ближче, ви знайдете дві окремі вимоги:

• кожен елемент у домені має зображення під\(f\), і
• образ унікальний.

У наступному розділі ми представимо повне формальне визначення.

Резюме та огляд

• Функція - це правило, яке присвоює кожному елементу домену унікальне зображення в кодомені.

вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:fcintro-1}\)

Заповніть наступну таблицю:

\[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|} \hline x & 5.7 & \pi & e & -7.2 & -0.8 & 9 \\ \hline \lfloor x \rfloor & \qquad\qquad & \qquad\qquad & \qquad\qquad & \qquad\qquad & \qquad\qquad & \qquad\qquad \\ \lceil x \rceil &&&&&& \\ {[x]} &&&&&& \\ \hline \end{array} \nonumber\]

вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:fcintro-2}\)

Що таке домен і кодомен функції кореня куба? Це на?

вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:fcintro-3}\)

Для функції квадратного кореня, як би ви використовували інтервальне позначення для опису домену?

вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:fcintro-4}\)

Для функції квадратного кореня, який набір доповнення ви б використовували для опису домену?