3.1: Вступ до методів доказування

Доказ - це логічний аргумент, який перевіряє дійсність заяви. Хороший доказ повинен бути правильним, але він також повинен бути достатньо чітким, щоб інші зрозуміли. У наступних розділах ми хочемо показати вам, як писати математичні аргументи. Потрібна практика, щоб навчитися писати математичні докази; ви повинні продовжувати намагатися! Ми хотіли б почати з деяких пропозицій.

1. Пишіть на рівні своїх однолітків. Поширене питання, яке задають багато студентів: скільки деталей я повинен включити в доказ? Одне просте керівництво - писати на тому рівні, який можуть зрозуміти ваші однолітки. Хоча ви можете пропустити докладні обчислення, обов'язково включіть основні кроки в аргумент.
2. Використовувати символи та позначення належним чином. Не використовуйте математичні символи в якості скорочень. Наприклад, не пишіть «\(x\)це число»\(>4\). Замість цього використовуйте «\(x\)є числом більше 4». Не використовуйте символи надмірно. Часто зрозуміліше, якщо ми висловлюємо свою ідею словами. Нарешті, не починайте речення з символу, як в «Припустимо\(xy>0\). \(x\)і\(y\) мають однакові ознаки». Було б краще, якщо ми об'єднаємо два речення, і напишемо «Припустимо\(xy>0\), то\(x\) і\(y\) мають однакові знаки».
3. Відображення довгих і важливих рівнянь окремо. Зробіть ключові математичні результати виділеними, відобразивши їх окремо самостійно. Обов'язково відцентруйте ці вирази. Пронумеруйте їх, якщо вам потрібно звернутися до них пізніше. Див. Приклади\(1.3.1\) і\(1.3.2\) в розділі 1.3.
4. Пишіть у повних реченнях, з правильним використанням граматики та пунктуації. Доказ - це, врешті-решт, шматок письма. Вона повинна відповідати звичайним правилам написання. Використовуйте повні пропозиції, і не забувайте перевіряти граматику і пунктуацію.
5. Почніть з чернетки. Підготуйте чернетку. Коли ви відчуєте, що це правильно, почніть переглядати його: перевірте точність, видаліть надмірність і спростіть структуру речення. Організуйте аргумент у короткі абзаци, щоб підвищити читабельність доказу. Перейдіть на доказ і доопрацюйте його далі.

Деякі докази вимагають лише прямого обчислення.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:pfintro-01}\)

\(b\)Дозволяти\(a\) і бути два раціональних числа такі, що\(a<b\). Показати, що середньозважене число\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) є раціональним числом між\(a\) і\(b\).

Рішення

Оскільки\(a\) і\(b\) є раціональними числами, ми можемо записати\(a=\frac{m}{n}\) і\(b=\frac{p}{q}\) для деяких цілих чисел\(m\)\(n\),\(p\),, і\(q\), де\(n,q\neq0\). Тоді\[\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b = \frac{1}{3}\cdot\frac{m}{n} + \frac{2}{3}\cdot\frac{p}{q} = \frac{mq+2np}{3nq} \nonumber\] явно раціональне число тому що\(mq+2np\) і\(3np\) є цілими числами, і\(3nq\neq0\). Так як\(a<b\), ми знаємо\(b-a>0\). Звідси випливає\[\left(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\right) - a = \frac{2}{3}\,(b-a) > 0, \nonumber\], що значить\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b > a\). Подібним чином ми теж знаходимо\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b < b\). Таким чином,\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) утворюється раціональне число між\(a\) і\(b\).

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:pfintro-01}\)

Покажіть,\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) що ближче\(b\), ніж до\(a\).

Підказка

Обчислити відстань між\(a\) і\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\), і порівняти його з відстанню між\(\frac{1}{3}\,a+\frac{2}{3}\,b\) і\(b\).

Іноді ми можемо використовувати конструктивний доказ, коли пропозиція стверджує, що існують певні значення або величини.

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:pfintro-02}\)

Доведіть, що кожне натуральне число може бути записано у вигляді\(2^e t\) для деяких невід'ємних цілих\(e\) і деякого непарного цілого числа\(t\).

Рішення

Постановка задачі говорить лише «кожне натуральне ціле число». Часто це допомагає, якщо ми присвоїмо ім'я цілому числу; це полегшить обговорення. Отже, ми зазвичай починаємо доказ з фрази «Нехай\(n\) буде...»

\(n\)Дозволяти натуральне число. Продовжуйте ділити\(n\) на 2, поки не\(t\) залишиться непарне число. \(e\)Дозволяти кількість разів, коли ми перерахуємо копію 2. Зрозуміло,\(e\) що ненегативне, і ми знайшли\(n=2^e t\).

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:pfintro-02}\)

Експрес 6, 40, 32 і 15 у формі, зазначеній в прикладі 3.1.2.

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:pfintro-03}\)

Задано будь-яке натуральне число\(n\), показати, що існують\(n\) послідовні складові натуральні числа.

Рішення

Для кожного натурального числа ми стверджуємо\(n\), що\(n\) цілі числа\[(n+1)!+2, \quad (n+1)!+3, \quad \ldots \quad (n+1)!+n, \quad (n+1)!+(n+1) \nonumber\] є складовими. Ось причина. Для кожного\(i\), де\(2\leq i\leq n+1\), ціле число\[\begin{aligned} (n+1)!+i &=& 1\cdot2\cdot3\,\cdots(i-1)i(i+1)\cdots\,(n+1)+i \\ &=& i\,[\,1\cdot2\cdot3\,\cdots(i-1)(i+1)\cdots\,(n+1)+1\,] \end{aligned} \nonumber\] ділиться на\(i\) і більше ніж\(i\), а отже, є складовим.

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:pfintro-03}\)

Побудувати п'ять послідовних натуральних чисел, які є складовими. Перевірте їх складність за допомогою факторизації.

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:pfintro-04}\)

\(n\)Дозволяти\(m\) і бути натуральними числами. Покажіть,\(mn\) що якщо рівна, то\(m\times n\) шахова дошка може бути повністю покрита не перекриваються доміно.

Зауваження

На цей раз імена\(m\) і\(n\) вже були присвоєні двох натуральних чисел. Таким чином, ми можемо посилатися на них у доказі без вступу.

Рішення

Так як\(mn\) парне, одне з двох цілих чисел\(m\) і\(n\) повинно бути парним. Без втрати спільності (так як інший випадок схожий), можна припустити\(m\), що кількість рядків, парне. Потім\(m=2t\) для деякого цілого числа\(t\). Кожен стовпчик може бути заповнений\(m/2=t\) не перекриваються доміно, розміщеними вертикально. В результаті вся шахова дошка може бути покрита\(nt\) не перекриваються вертикальними доміно.

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:pfintro-04}\)

Покажіть, що між будь-якими двома раціональними числами\(a\) і\(b\)\(a<b\), де, існує інше раціональне число.

Підказка

Спробуйте середину інтервалу\([a,b]\).

Вправа\(\PageIndex{5}\label{he:pfintro-05}\)

Показати, що між будь-якими двома раціональними числами\(a\) і\(b\)\(a<b\), де, існує інше раціональне число ближче\(b\), ніж до\(a\).

Підказка

Використовуйте середньозважене значення\(a\) і\(b\).

Іноді для показу існування певної величини, яка задовольняє деяким умовам, може використовуватися неконструктивний доказ. Ми дізналися дві такі теореми існування з числення.

Теорема\(\PageIndex{1}\) (Mean Value Theorem)

\(f\)Дозволяти диференційовну функцію, визначену протягом замкнутого інтервалу\([a,b]\). Тоді існує число\(c\) строго всередині відкритого інтервалу\((a,b)\) таке, що\(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Теорема\(\PageIndex{2} \label{thm:IVT}\) (Intermediate Value Theorem)

\(f\)Дозволяти функція, яка є безперервною протягом замкнутого інтервалу\([a,b]\). Потім\(f\) приймаються всі значення між\(f(a)\) і\(f(b)\). Іншими словами, для будь-якого значення\(t\) між\(f(a)\) і\(f(b)\), існує число\(c\) всередині\([a,b]\) такого, що\(f(c)=t\).

Обидва результати лише гарантують існування числа\(c\) з певною специфічною властивістю; вони не говорять нам, як знайти це число\(c\). Тим не менш, теорема про середнє значення відіграє дуже важливу роль в аналізі; багато її застосувань виходять за рамки цього курсу. Однак ми могли б продемонструвати застосування теореми про проміжні значення.

Слідство\(\PageIndex{3}\label{cor:IVT}\)

\(f\)Дозволяти бути безперервна функція, визначена протягом замкнутого інтервалу\([a,b]\). Якщо\(f(a)\) і\(f(b)\) мають протилежні ознаки, то рівняння\(f(x)=0\) має рішення між\(a\) і\(b\).

Доказ

Відповідно до теореми про проміжні значення,\(f(x)\) може приймати будь-яке значення між\(f(a)\) і\(f(b)\). Оскільки вони мають протилежні ознаки, 0 - це число між ними. Отже,\(f(c)=0\) для деякого числа\(c\) між\(a\) і\(b\).

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:pfintro-05}\)

Функція\(f(x)=5x^3-2x-1\) є поліноміальною функцією, яка, як відомо, є неперервною над дійсними числами. Оскільки\(f(0)=-1\) і\(f(1)=2\), Слідство 3.3 означає, що існує число між 0 і 1 таким, що\(5x^3-2x-1=0\).

практичні вправи\(\PageIndex{6}\label{he:pfintro-06}\)

Показати, що рівняння\(1+x\cos x=0\) має принаймні один дійсний розв'язок між 0 і\(\frac{\pi}{2}\).

Підказка

Тут не згадується жодна функція, тому вам потрібно визначити функцію, скажімо\(g(x)\). Далі потрібно переконатися, що він\(g(x)\) суцільний. Що ще потрібно зробити, перш ніж ви зможете застосувати Corollary 3.3?

Резюме та огляд

• Іноді ми можемо довести твердження, показавши, як результат можна отримати за допомогою конструкції, і ми можемо описати конструкцію в алгоритмі.
• Іноді все, що нам потрібно зробити, це застосувати теорему існування, щоб перевірити існування певної величини.

Вправи 3.1

Вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:pfintro-01}\)

Покажіть, що шахова дошка з 7 рядками та 12 стовпцями може бути покрита доміно, що не перекриваються.

Вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:pfintro-02}\)

Показати, що існує раціональне число між 1 і 5, відстань яких від 5 в сім разів перевищує його відстань від 1.

Вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:pfintro-03}\)

Показати, що рівняння\(x^3-12x+2=0\) має щонайменше три реальних розв'язки.

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:pfintro-04}\)

Покажіть, що якщо рівняння\((x^2+4)(x-2)(3x+5)=0\) має реальне рішення, рішення повинно бути або\(x=2\) або\(x=-\frac{5}{3}\).

Вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:pfintro-05}\)

Показати, що задано будь-яке раціональне число\(x\), існує\(y\) таке ціле число, яке\(x^2y\) є цілим числом.

Підказка

Оскільки\(x\) є раціональним, ми можемо записати\(x=\frac{m}{n}\) для деяких цілих чисел\(m\) і\(n\), де\(n\neq0\). Все, що вам потрібно зробити, це описати з\(y\) точки зору\(m\) і\(n\).

Вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:pfintro-06}\)

Показати, що задано будь-яке раціональне число\(x\) та будь-яке додатне число\(k\), існує ціле число\(y\), яке\(x^ky\) є цілим числом.

Вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:pfintro-07}\)

Показати, що існує ціле число\(n\) таке\(n\), що,\(n+2\) і всі\(n+4\) прості числа.

Вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:pfintro-08}\)

Знайдіть зустрічний приклад до наступного твердження: Для будь-якого натурального цілого числа\(n\), якщо\(n\) просте, то також\(n^2+4\) є простим.

1. Хоча команда може набрати 2 бали за безпеку або 8 балів за приземлення з двоочним перетворенням, ми б не розглядали ці можливості в цій спрощеній версії справжньої футбольної гри. ↩