2.5: Логічні еквіваленти

Тавтологія - це пропозиція, яка завжди вірна, незалежно від істинних значень пропозицій змінних, які вона містить. Судження, яке завжди є помилковим, називається протиріччям. Пропозиція, яка не є ні тавтологією, ні протиріччям, називається непередбаченою ситуацією.

Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:logiceq-01}\)

З наступної таблиці істинності\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & \overline{p} & p \vee \overline{p} & p \wedge \overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} \\ \hline \end{array} \nonumber\] ми збираємо, що\(p\vee\overline{p}\) є тавтологією, і\(p\wedge\overline{p}\) є протиріччям.

На словах\(p\vee\overline{p}\) говорить, що або твердження\(p\) істинно, або твердження\(\overline{p}\) істинне (\(p\)тобто помилкове). Це твердження завжди вірно.

Складне твердження\(p\wedge\overline{p}\) стверджує,\(p\) що істинно, і в той же час,\(\overline{p}\) також вірно (\(p\)що означає помилково). Це явно неможливо. Отже,\(p\wedge \overline{p}\) має бути помилковим.

Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:logiceq-02}\)

Покажіть, що\((p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p})\) це тавтологія.

Відповідь

Ми можемо використовувати таблицю істинності для перевірки претензії. \[\begin{array}{|*{7}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{q} & \overline{p} & \overline{q}\Rightarrow\overline{p} & (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p}) \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{array} \nonumber\]Зверніть увагу на те, як ми працюємо над кожним компонентом складного твердження окремо, перш ніж складати їх разом, щоб отримати остаточну відповідь.

Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:logiceq-03}\)

Показати, що аргумент

«Якщо\(p\) і\(q\), то\(r\). Тому якщо ні\(r\), то ні\(p\) чи ні»\(q\).

дійсний. Іншими словами, показати, що логіка, яка використовується в аргументі, є правильною.

Відповідь

Символічно, аргумент говорить\[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})]. \label{eqn:tautology}\] Ми хочемо показати, що це тавтологія. Це легко перевірити за допомогою таблиці істинності. Ми також можемо стверджувати, що це складне твердження завжди вірно, показуючи, що воно ніколи не може бути помилковим.

Припустимо, навпаки, що ([eqn:tautology]) є помилковим для деяких варіантів\(p\)\(q\), і\(r\). Тоді\[(p \wedge q) \Rightarrow r \quad \mbox{must be true}, \qquad\mbox{and}\qquad \overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q}) \quad \mbox{must be false}. \nonumber\] Щоб другий підтекст був помилковим, нам потрібно\[\overline{r} \quad\mbox{to be true}, \qquad\mbox{and}\qquad \overline{p} \vee \overline{q} \quad\mbox{to be false}. \nonumber\] Вони, в свою чергу, означають, що\(r\) є помилковим, і обидва\(\overline{p}\) і\(\overline{q}\) є помилковими; отже, обидва\(p\) і\(q\) є істинними. Це зробило б\((p \wedge q) \Rightarrow r\) помилковим, суперечивши припущенню, що це правда. Таким чином, ([eqn:tautology]) не може бути помилковим, це повинна бути тавтологія.

практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:logiceq-01}\)

Використовуйте таблицю істинності, щоб показати, що\[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})] \nonumber\] це тавтологія.

Відповідь

Нам потрібно вісім комбінацій істинних значень в\(p\)\(q\), і\(r\). Перерахуємо значення істинності відповідно до наступної умовності. У першому стовпці для істинних значень\(p\), заповніть верхню половину з T, а нижню половину з F. У наступному стовпці для істинних значень\(q\), повторіть той же візерунок, окремо, з верхньою половиною та нижньою половиною. Отже, ми розділимо верхню половину другого стовпчика на дві половини, верхню половину заповнюємо Т, а нижню половину з F. Аналогічно, розділимо нижню половину другого стовпчика на дві половини, верхню половину заповнюємо Т, а нижню половину F. Повторіть той же візерунок з третім стовпцем для істинних значень \(r\), і так далі, якщо у нас є більш пропозиційні змінні.

Заповніть наступну таблицю:\ [\ begin {масив} {|* {11} {c|}}\ hline p & q & p\ клин q & (p\ клин q)\ Стрілка вправо r &\ overline {r} &\ overline {p} &\ overline {q} &\ overline {p}\ vee\ overline {q} Стрілка (\ overline {p}\ vee\ overline {q}) & [(p\ клин q) \ Стрілка вправо r]\ Стрілка вправо [\ overline {r}\ Стрілка вправо (\ overline {p}\ vee\ overline {q})]\\ hline\ text {T} &\ text {T} &&&&&&&\\ text {T} &\ text {T} &\ text {F} &&&&&&&&&&\ text {T}\\\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {T} && ; &&&&&\\\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F} &&&&&&&&\\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T} &&&&&&&\\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {F} &&&&&&&\\ текст {F} F} &\ текст {T} &&&&&&\\\ text {F} &\ text {F} &\ text {F} &&&&&&\\ hline\ end {array}\\ nonumber] Питання: Якщо в пропозиції є чотири змінні пропозиції, скільки рядків є в таблиці істинності?

Визначення

Дві логічні формули\(p\) і\(q\), як кажуть, логічно еквівалентні, позначаються\[p\equiv q,\] якщо\(p \Leftrightarrow q\) це тавтологія.

Примітка

Не пишіть\(p = q\); замість цього пишіть\(p \equiv q\).

Ми не говоримо, що\(p\) дорівнює\(q\). Оскільки\(p\) і\(q\) являють собою два різних твердження, вони не можуть бути однаковими. Ми говоримо, що вони завжди виробляють однакову істинність, незалежно від істинних значень базових пропозицій змінних. Саме тому ми пишемо\(p\equiv q\) замість\(p=q\).

Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:logiceq-04}\)

Ми дізналися,\[p\Leftrightarrow q \equiv (p\Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow p), \nonumber\] що саме тому ми називаємо\(p\Leftrightarrow q\) двозастережним твердженням.

Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:logiceq-05}\)

Використовуйте таблиці істинності для перевірки наступних еквівалентних тверджень.

1. \(p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q\). [еквівалент 1]
2. \(p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\). [еквівалент]

Відповідь

Таблиці істинності для (a) і (b) зображені нижче. \[\begin{array}{|*{5}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{p} & \overline{p}\vee q \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{array} \nonumber\]\[% \arraygap{1.25} \begin{array}{|*{8}{c|}} \hline p & q & r & q\vee r & p\wedge (q\vee r) & p\wedge q & q\wedge r & (p\wedge q)\vee(p\wedge r) \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T}\phantom{(q\vee{})} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T}\phantom{(q\vee{})} & \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \hline \end{array} \nonumber\]Приклад ([equiv1]) є важливим результатом. Це говорить, що\(p \Rightarrow q\) це правда, коли трапляється одна з цих двох речей: (i) коли\(p\) є помилковою, (ii) інакше (коли\(p\) істинно)\(q\) має бути істинним.

практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:logiceq-02}\)

Використовуйте таблиці істинності для встановлення цих логічних еквівалентів.

1. \(p \Rightarrow q \equiv \overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)
2. \(p \vee p \equiv p\)
3. \(p \wedge q \equiv \overline{\overline{p} \vee \overline{q}}\)
4. \(p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\)

Відповідь

Ми встановили стіл для (а), а решту залишаємо вам.

\[\begin{array}[t]{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{q} & \overline{p} & \overline{q}\Rightarrow\overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{T} &&&& \\ \text{T} & \text{F} &&&& \\ \text{F} & \text{T} &&&& \\ \text{F} & \text{F} &&&& \\ \hline \end{array} \nonumber\]

практичні вправи\(\PageIndex{3}\label{he:logiceq-03}\)

Логічне сполучне виключне або, позначається\(p\veebar q\), означає або\(p\) або,\(q\) але не обидва. Отже,\[p\veebar q \equiv (p\vee q) \wedge \overline{(p\wedge q)} \equiv (p\wedge\overline{q}) \vee (\overline{p}\wedge q). \nonumber\] побудуйте таблицю істинності, щоб перевірити це твердження

Властивості логічної еквівалентності. Позначають\(T\) і\(F\) тавтологію і протиріччя відповідно. У нас є такі властивості для будь-яких пропозиційних змінних\(p\)\(q\), і\(r\).

1. Комутативні властивості:\(\begin{array}[t]{l} p \vee q \equiv q \vee p, \\ p \wedge q \equiv q \wedge p. \end{array}\)
2. Асоціативні властивості:\(\begin{array}[t]{l} (p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r), \\ (p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r). \end{array}\)
3. Розподільні закони:\(\begin{array}[t]{l} p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r), \\ p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r). \end{array}\)
4. Ідемпотентні закони:\(\begin{array}[t]{l} p \vee p \equiv p, \\ p \wedge p \equiv p. \end{array}\)
5. Закони Де Моргана:\(\begin{array}[t]{l} \overline{p\vee q} \equiv \overline{p}\wedge\overline{q}, \\ \overline{p\wedge q} \equiv \overline{p}\vee \overline{q}. \end{array}\)
6. Закони виключеного середнього, або зворотного законів:\(\begin{array}[t]{l} p \vee \overline{p} \equiv T, \\ p \wedge \overline{p} \equiv F. \end{array}\)
7. Закони ідентичності:\(\begin{array}[t]{l} p \vee F \equiv p, \\ p \wedge T \equiv p. \end{array}\)
8. Закони домінування:\(\begin{array}[t]{l} p \vee T \equiv T, \\ p \wedge F \equiv F. \end{array}\)
9. Еквівалентність імплікації та його контрапозитив:\(p \Rightarrow q \equiv \overline{q} \Rightarrow \overline{p}\).
10. Написання імплікації як диз'юнкції:\(p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q\).

Будьте впевнені, що ви запам'ятовуєте останні два еквіваленти, тому що ми будемо часто використовувати їх в решті курсу.

Зауваження. Ці властивості непросто згадати. Замість того, щоб зосереджуватися на символічних формулах, спробуйте зрозуміти їх значення. Давайте пояснимо їх словами, і порівняємо їх з аналогічними операціями над дійсними числами,

1. Комутативні властивості: Коротше кажучи, кажуть, що «порядок роботи не має значення». Не має значення, яке з двох логічних тверджень виходить першим, результат від кон'юнкції та диз'юнкції завжди дає однакове значення істини. Порівняйте це з додаванням дійсних чисел:\(x+y=y+x\). Віднімання не є комутативним, тому що це не завжди так\(x-y=y-x\). Це пояснює, чому ми повинні переконатися, що операція є комутативною.
2. Асоціативні властивості: Грубо кажучи, ці властивості також говорять про те, що «порядок роботи не має значення». Однак є ключова відмінність між ними і комутативними властивостями.
   • Комутативні властивості застосовуються до операцій над двома логічними твердженнями, але асоціативні властивості включають три логічних висловлювання. Оскільки\(\wedge\) і\(\vee\) є бінарними операціями, ми можемо працювати лише над парою операторів одночасно. Враховуючи три твердження\(p\)\(q\), і\(r\), з'являючись у такому порядку, яку пару тверджень ми повинні оперувати першими? Відповідь: це не має значення. Саме порядок угруповання (звідси і термін асоціативний) не має значення в асоціативних властивостях.
   • Важливим наслідком асоціативної властивості є: оскільки не має значення, на якій парі тверджень ми повинні виконати операцію першими, ми можемо усунути дужки і написати, наприклад,\[p\vee q\vee r \nonumber\] не турбуючись про будь-яку плутанину.
   • Не всі операції носять асоціативний характер. Віднімання не є асоціативним. З огляду на три числа 5, 7 і 4, в такому порядку, як ми повинні проводити два віднімання? Яку інтерпретацію слід використовувати:\[(5-7)-4, \qquad\mbox{or}\qquad 5-(7-4)?\nonumber\] Оскільки вони призводять до різних результатів, ми повинні бути обережними, де розмістити дужки.
3. Закони розподілу: Коли ми змішуємо дві різні операції на трьох логічних твердженнях, одна з них повинна спочатку працювати над парою тверджень, утворюючи «внутрішню» операцію. Далі слідує «зовнішня» операція для завершення складного оператора. Розподільні закони говорять про те, що ми можемо розподілити «зовнішню» операцію по внутрішній.
4. Ідемпотентні закони: Коли операція застосовується до пари однакових логічних тверджень, результатом є те ж логічне твердження. Порівняйте це з рівнянням\(x^2=x\),\(x\) де дійсне число. Це вірно лише тоді, коли\(x=0\) або\(x=1\). Але логічні\(p\wedge p\equiv p\) еквіваленти\(p\vee p\equiv p\) і вірні для всіх\(p\).
5. Закони Де Моргана: Коли ми заперечуємо диз'юнкцію (відповідно, кон'юнкцію), ми повинні звести нанівець два логічних твердження, і змінити операцію з диз'юнкції на кон'юнкцію (відповідно, від кон'юнкції до диз'юнкції).
6. Закони виключеного середнього, або зворотного законів: Будь-яке твердження або істинне, або помилкове, отже,\(p\vee\overline{p}\) завжди вірно. Так само твердження не може бути як істинним, так і хибним одночасно, отже, завжди\(p\wedge\overline{p}\) є помилковим.
7. Закони ідентичності: Порівняйте їх з рівнянням\(x\cdot1=x\): значення\(x\) незмінне після множення на 1. Число 1 ми називаємо мультиплікативною ідентичністю. Для логічних операцій тотожністю для диз'юнкції є F, а тотожністю для кон'юнкції є T.
8. Закони домінування: Порівняйте їх з рівнянням\(x\cdot0=0\) для дійсних чисел: результат завжди дорівнює 0, незалежно від значення\(x\). «Нуль» для диз'юнкції дорівнює T, а «нуль» для кон'юнкції - F.

Приклад\(\PageIndex{6}\label{eg:logiceq-07}\)

Що таке заперечення\(2\leq x\leq 3\)? Дайте логічне пояснення, а також графічне пояснення.

Відповідь

Нерівність\(2\leq x\leq 3\) означає\[(2\leq x) \wedge (x\leq 3).\] Його заперечення, згідно із законами Де Моргана, є\[(2>x) \vee (x>3).\] Нерівність\(2\leq x\leq 3\) дає замкнутий інтервал. Його заперечення дає два відкритих інтервалу. Їх графічні зображення на дійсному числовому рядку зображені нижче.

Зверніть увагу на дві кінцеві точки 2 і 3. Вони змінюються від включення до виключення, коли ми приймаємо заперечення.

практичні вправи\(\PageIndex{4}\label{he:logiceq-04}\)

Оскільки\(0\leq x\leq 1\) означає «\(0\leq x\)і»\(x\leq 1\), його заперечення має бути «\(0>x\)або»\(x>1\), що часто пишеться як «\(x<0\)або»\(x>1\). Поясніть, чому недоречно, та й взагалі некоректно, писати «»\(0>x>1\).

приклад\(\PageIndex{7}\label{eg:logiceq-08}\)

Розгорнути\((p\wedge q)\vee (r\wedge s)\).

Відповідь

Порівняйте цю проблему з розширенням\((x+y)(u+v)\). Ми використовуємо розподільний закон двічі, щоб отримати\[\begin{aligned} (x+y)(u+v) &=& x(u+v)+y(u+v) \\ &=& xu+xv+yu+yv. \end{aligned} \nonumber\] Давайте дотримуємося тієї ж процедури для розширення\((p\wedge q)\vee(r\wedge s)\). Нам потрібно застосувати розподільний закон двічі. Перший раз розцінюйте\((r\wedge s)\) як єдине твердження, і розподіліть його\(p\wedge q\). У другому раунді розподіліть\(p\) і\(q\), окремо, над\(r\wedge s\). Повне рішення наведено нижче. \[\begin{aligned} (p\wedge q)\vee (r\wedge s) &\equiv& [p\vee (r\wedge s)] \wedge [q\vee(r\wedge s)] \\ &\equiv& (p\vee r)\wedge (p\vee s)\wedge (q\vee r)\wedge (q\vee s). \end{aligned} \nonumber\]Ми також можемо вчинити наступним чином:\[\begin{aligned} (p\wedge q)\vee (r\wedge s) &\equiv& [(p\wedge q)\vee r] \wedge [(p\wedge q)\vee s] \\ &\equiv& (p\vee r)\wedge (q\vee r)\wedge (p\vee s)\wedge (q\vee s). \end{aligned} \nonumber\]

Два результати ідентичні, оскільки\(\wedge\) є комутативними.

практичні вправи\(\PageIndex{5}\label{he:logiceq-05}\)

Розгорнути\((p\vee q) \wedge (r\vee s)\).

Приклад\(\PageIndex{8}\label{eg:logiceq-09}\)

Ми використовували таблицю істинності, щоб перевірити, що\[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})] \nonumber\] це тавтологія. Ми можемо використовувати властивості логічної еквівалентності, щоб показати, що це складне твердження логічно еквівалентно\(T\). Такого роду докази, як правило, складніше слідувати, тому непогано надати пояснення на кожному кроці. Ось повний доказ: саме\[% \arraygap{1.2} \begin{array}{lcl@{\quad}l} [(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})] &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})] & \mbox{(implication as disjunction)} \\ &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [\overline{\overline{p} \vee \overline{q}} \Rightarrow r] & \mbox{(implication as disjunction)} \\ &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [(p \wedge q) \Rightarrow r] & \mbox{(De Morgan's law)} \\ &\equiv& T & \mbox{(inverse law)} \end{array} \nonumber\] це ми назвали методом зліва направо для підтвердження особи (в даному випадку логічною еквівалентністю).

Приклад\(\PageIndex{9}\label{eg:logiceq-10}\)

Пишіть\(\overline{p \Rightarrow q}\) як сполучник.

Відповідь

Важливо пам'ятати, що\[\overline{p\Rightarrow q} \not\equiv q\Rightarrow p, \nonumber\] і те,\[\overline{p\Rightarrow q} \not\equiv \overline{p}\Rightarrow\overline{q} \nonumber\] інше. Натомість\(p\Rightarrow q \equiv \overline{p}\vee q\), оскільки з закону Де Моргана випливає, що в\[\overline{p \Rightarrow q} \equiv \overline{\overline{p} \vee q} \equiv p \wedge \overline{q}. \nonumber\] якості альтернативи, ми можемо сперечатися наступним чином. Тлумачити\(\overline{p \Rightarrow q}\) як\(p \Rightarrow q\) приказка помилкова. Це вимагає\(p\) бути істинним і\(q\) бути помилковим, що перекладається на\(p \wedge \overline{q}\). Таким чином,\(\overline{p\Rightarrow q} \equiv p\wedge \overline{q}\).

Резюме та огляд

• Два логічних твердження логічно еквівалентні, якщо вони завжди дають однакову істинну цінність.
• Отже,\(p\equiv q\) це те ж саме, що\(p\Leftrightarrow q\) приказка - це тавтологія.
• Окрім розподільних законів та законів Де Моргана, пам'ятайте також ці два еквіваленти; вони дуже корисні при вирішенні наслідків. \[p \Rightarrow q \equiv \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \qquad\mbox{and}\qquad p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q. \nonumber\]

Вправи 2.5

Вправа\(\PageIndex{1}\label{ex:logiceq-01}\)

Використовуйте таблицю правди, щоб перевірити закон Де Моргана\(\overline{p\vee q} \equiv \overline{p}\wedge\overline{q}\).

Вправа\(\PageIndex{2}\label{ex:logiceq-02}\)

Використовуйте таблиці істинності для перевірки двох асоціативних властивостей.

Вправа\(\PageIndex{3}\label{ex:logiceq-03}\)

Побудувати таблицю істинності для кожної формули нижче. Які з них тавтології?

1. \((\overline{p} \vee q)\Rightarrow p\)
2. \((p\Rightarrow q) \vee (p\Rightarrow \overline{q})\)
3. \((p\Rightarrow q) \Rightarrow r\)

Вправа\(\PageIndex{4}\label{ex:logiceq-04}\)

Використовуйте таблиці істинності для перевірки цих логічних еквівалентів.

1. \((p\wedge q)\Leftrightarrow p \equiv p\Rightarrow q\)
2. \((p\wedge q)\Rightarrow r \equiv p\Rightarrow(\overline{q}\vee r)\)
3. \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (p\Rightarrow\overline{r}) \equiv \overline{p\wedge(q\vee r)}\)

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Вправа\(\PageIndex{5}\label{ex:logiceq-05}\)

Використовуйте лише властивості логічних еквівалентів для перевірки (b) та (c) у задачі 4.

Вправа\(\PageIndex{6}\label{ex:logiceq-06}\)

Визначте, чи\(v\) є формули\(u\) і логічно еквівалентними (можна використовувати таблиці істинності або властивості логічних еквівалентів).

\(u:\;(p\Rightarrow q)\wedge (p\Rightarrow\overline{q})\)

\(v:\;\overline{p}\)

\(u:\;p\Rightarrow q\)

\(v:\;q\Rightarrow p\)

\(u:\;p\Leftrightarrow q\)

\(v:\;q\Leftrightarrow p\)

\(u:\;(p\Rightarrow q)\Rightarrow r\)

\(v:\;p\Rightarrow(q\Rightarrow r)\)

Вправа\(\PageIndex{7}\label{ex:logiceq-07}\)

Знайдіть зворотні, зворотні та контрапозитивні ці наслідки.

1. Якщо\(ABC\) трикутник рівнобедрений і містить кут 45 градусів, то\(ABC\) це прямокутний трикутник.
2. Якщо чотирикутник\(ABCD\) - квадрат, то це і прямокутник, і ромб.
3. Якщо чотирикутник\(ABCD\) має дві сторони однакової довжини, то це або прямокутник, або ромб.

Вправа\(\PageIndex{8}\label{ex:logiceq-08}\)

Звести нанівець такі наслідки:

1. \(x^2>0 \Rightarrow x>0\).
2. Якщо\(PQRS\) квадрат, то\(PQRS\) це паралелограм.
3. Якщо\(n>1\) просте, то\(n+1\) є складовим.
4. Якщо\(x\) і\(y\) цілі числа такі\(xy\geq1\), що, то або\(x\geq1\) або\(y\geq1\).

Вправа\(\PageIndex{9}\label{ex:logiceq-09}\)

Визначте, чи є наступні формули істинними чи хибними:

1. \(\overline{p\Leftrightarrow q} \equiv \overline{p} \Leftrightarrow \overline{q}\)
2. \((p\Rightarrow q) \vee (p\Rightarrow\overline{q}) \equiv \overline{p}\)
3. \(p\Rightarrow q \equiv q\Rightarrow p\)

Вправа\(\PageIndex{10}\label{ex:logiceq-10}\)

Визначте, чи є наступні формули істинними чи хибними:

1. \((p\Rightarrow q)\Rightarrow r \equiv p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\)
2. \(p\Rightarrow (q\vee r) \equiv (p\Rightarrow q) \vee (p\Rightarrow r)\)
3. \(p\Rightarrow (q\wedge r) \equiv (p\Rightarrow q) \wedge (p\Rightarrow r)\)

Вправа\(\PageIndex{11}\label{ex:logiceq-11}\)

Які з наведених нижче тверджень еквівалентні твердженню «якщо\(x^2>0\), то\(x>0\)»?

1. Якщо\(x>0\), то\(x^2>0\).
2. Якщо\(x\leq0\), то\(x^2\leq0\).
3. Якщо\(x^2\leq0\), то\(x\leq0\).
4. Якщо\(x^2\not>0\), то\(x\not>0\).

Вправа\(\PageIndex{12}\label{ex:logiceq-12}\)

Визначте, чи є такі формули тавтологіями, протиріччями чи ні:

1. \((p\Rightarrow q) \wedge \overline{p}\)
2. \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (p\wedge q)\)
3. \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge q\)

Вправа\(\PageIndex{13}\label{ex:logiceq-13}\)

Спростіть наступні формули:

1. \(p\wedge(p\wedge q)\)
2. \(\overline{\overline{p}\vee q}\)
3. \(\overline{p\Rightarrow\overline{q}}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\label{ex:logiceq-14}\)

Спростіть наступні формули:

1. \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (\overline{q}\Rightarrow p)\)
2. \(\overline{p\wedge\overline{q}}\)
3. \(p\wedge(\overline{p}\vee q)\)