Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4: Біумовні твердження

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    64092

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Біумовне твердження «\(p\)якщо і тільки якщо» позначається\(q\), є істинним\(p \Leftrightarrow q\), коли обидва\(p\) і\(q\) несуть однакову істинну цінність, і помилково інакше. Іноді його скорочують як «\(p\)iff»\(q\). Її таблиця істинності зображена нижче.

    \(p\) \(q\) \(p \Leftrightarrow q\)
    Т Т Т
    Т F F
    F Т F
    F F Т

    Приклад\(\PageIndex{1}\label{eg:bicond-01}\)

    Наступні двозастережні твердження

    \(2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5/2\),

    \(x > y \Leftrightarrow x - y > 0\),

    є істинними, тому що в обох прикладах два твердження, до яких\(\Leftrightarrow\) приєднуються, є істинними або хибними одночасно.

    Біумовний оператор також може бути визначений як складний оператор.

    \[(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p).\]

    Це пояснює, чому ми називаємо це двозастережним твердженням. Біумовний оператор часто використовується для визначення нового поняття.

    Приклад\(\PageIndex{2}\label{eg:bicond-02}\)

    Число є парним, якщо і тільки тоді, коли воно кратне 2. Математично\[n \mbox{ is even} \Leftrightarrow n = 2q \mbox{ for some integer $q$}.\] це означає Випливає, що для будь-якого цілого числа\(m\),\[mn = m\cdot 2q = 2(mq).\] Since\(mq\) є цілим числом (тому що це добуток двох цілих чисел), за визначенням,\(mn\) парне. Це показує, що добуток будь-якого цілого числа з парним числом завжди парне.

    практичні вправи\(\PageIndex{1}\label{he:bicond-01}\)

    Заповніть наступне твердження:\[n \mbox{ is odd} \Leftrightarrow \hskip1.25in.\] Використовуйте це, щоб довести, що якщо\(n\) непарний,\(n^2\) то також непарний.

    Приклад\(\PageIndex{3}\label{eg:bicond-03}\)

    Операцію «exclusive or» можна визначити як\[p\veebar q \Leftrightarrow (p\vee q) \wedge \overline{(p\wedge q)}.\] Див. Проблема [ex:imply-10] у Вправи 1.2.

    Коли ми маємо складне твердження, що включає більше однієї логічної операції, необхідно подбати про те, щоб визначити, яку операцію слід виконати в першу чергу. Пріоритет або пріоритет наведено нижче.

    З'єднувальні Пріоритет
    \(\neg\) Найвищий
    \(\wedge\)
    \(\vee\) \(\vdots\)
    \(\Rightarrow\)
    \(\Leftrightarrow\) Найнижчий

    Це порядок, в якому повинні проводитися операції, якщо логічний вираз читається зліва направо. Щоб перевизначити пріоритет, скористайтеся дужками.

    Приклад\(\PageIndex{4}\label{eg:bicond-04}\)

    Пріоритет логічних операцій можна порівняти з перевагами арифметичних операцій.

    Операції Пріоритет
    \(-\)(Негативний) Найвищий
    Піднесення до степеня \(\vdots\)
    Множення/ділення \(\vdots\)
    Додавання/віднімання Найнижчий

    Наприклад,\(yz^{-3} \neq (yz)^{-3}\). Щоб оцінити\(yz^{-3}\), ми повинні спочатку виконати піднесення до степеня. Отже,\(yz^{-3} = y\cdot z^{-3} = \frac{y}{z^3}\).

    Інший приклад: позначення\(x^{2^3}\) означає\(x\) підняте до влади\(2^3\), отже\(x^{2^3}=x^8\); його не слід тлумачити як\((x^2)^3\), тому що\((x^2)^3=x^6\).

    Приклад\(\PageIndex{5}\label{eg:bicond-05}\)

    Це неправда, що\(p \Leftrightarrow q\) може бути написано як «\(p \Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p\),» тому що це буде означати, технічно,\[p \Rightarrow (q \wedge q) \Rightarrow p.\] Правильне позначення є\((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\).

    практичні вправи\(\PageIndex{2}\label{he:bicond-02}\)

    Вставте дужки в наступну формулу,\[p\Rightarrow q\wedge r\] щоб визначити належну процедуру оцінки її значення істинності. Побудуйте його таблицю істинності.

    ручна вправа\(\PageIndex{3}\label{he:bicond-03}\)

    Вставте дужки в наступну формулу,\[p\wedge q \Leftrightarrow \overline{p}\vee\overline{q}.\] щоб визначити належну процедуру оцінки її значення істинності. Побудуйте його таблицю істинності.

    Ми закриваємо цей розділ обґрунтуванням нашого вибору в істинному значенні того,\(p\Rightarrow q\) коли\(p\) помилково. Істинна цінність\(p\Rightarrow q\) очевидна, коли\(p\) це правда.

    \(p\) \(q\) \(p \Rightarrow q\)
    Т Т Т
    Т F F
    F Т ?
    F F ?

    Ми хочемо вирішити, які найкращі варіанти для двох відсутніх значень, щоб вони відповідали іншим логічним зв'язкам. Зауважте, що якщо\(p \Rightarrow q\) істинно, і\(q\) є помилковим, то також\(p\) повинно бути помилковим, тому що якби\(p\) були істинними, з\(q\) помилковим, то підтекст був\(p\Rightarrow q\) би помилковим. Наприклад, якщо ми обіцяємо

    «Якщо завтра сонячно, ми підемо на пляж»

    але ми не йдемо завтра на пляж, тоді ми знаємо, що завтра не повинно бути сонячним. Це означає, що два твердження\(p\Rightarrow q\) і\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) повинні мати однакову істинну цінність.

    Коли обидва\(p\) і\(q\) є помилковими, то обидва\(\overline{p}\) і\(\overline{q}\) є істинними. Отже,\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) має бути правдою, отже, так і є\(p\Rightarrow q\). Поки що у нас є наступна частково заповнена таблиця істинності:

    \(p\) \(q\) \(p \Rightarrow q\)
    Т Т Т
    Т F F
    F Т ?
    F F Т

    Якщо останній відсутній запис F, результуюча таблиця істинності буде ідентична таблиці істинності\(p \Leftrightarrow q\). Щоб відрізнити\(p\Leftrightarrow q\) від\(p\Rightarrow q\), ми повинні визначити,\(p \Rightarrow q\) щоб бути правдою в цьому випадку.

    Резюме та огляд

    • \(p\Leftrightarrow q\)Біумовне твердження - це поєднання двох наслідків\(p\Rightarrow q\) і\(q\Rightarrow p\).
    • \(p\Leftrightarrow q\)Біумовне твердження є істинним, коли обидва\(p\) і\(q\) мають однакове значення істинності, і є помилковим в іншому випадку.
    • Біумовний оператор часто використовується при визначенні позначення або математичного поняття.

    Приклад\(\PageIndex{1}\label{ex:bicond-01}\)

    Дозволяти\(p\)\(q\), і\(r\) представляють такі твердження:

    \(p\): Вчора ввечері Сем мав піцу.
    \(q\): Кріс закінчив домашнє завдання.
    \(r\): Пет дивився новини сьогодні вранці.

    Дайте формулу (використовуючи відповідні символи) для кожного з цих тверджень.

    • Сем мав піцу минулої ночі, якщо і тільки якщо Кріс закінчив домашнє завдання.
    • Пет дивився новини сьогодні вранці, якщо Сем не мав піци минулої ночі.
    • Пет дивився новини сьогодні вранці, якщо і тільки якщо Кріс закінчив домашнє завдання, а Сем не мав піци минулої ночі.
    • Для того, щоб Пет дивився новини сьогодні вранці, необхідно і достатньо, щоб Сем мав піцу вчора ввечері, і Кріс закінчив домашнє завдання.

    Приклад\(\PageIndex{2}\label{ex:bicond-02}\)

    Визначте пропозиційні змінні, як у задачі 1. Висловлюйте словами висловлювання, представлені наступними формулами:

    (а)\(q\Leftrightarrow r\) & (б)\(p\Leftrightarrow(q\wedge r)\)
    (c)\(\overline{p}\Leftrightarrow (q\vee r)\) & (d)\(r\Leftrightarrow(p\vee q)\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\label{ex:bicond-03}\)

    Розглянемо наступні твердження:

    \(p\): Ніагара-Фолс знаходиться в Нью-Йорку.
    \(q\): Нью-Йорк — столиця штату Нью-Йорк.
    \(r\): У Нью-Йорку буде більше 40 дюймів снігу в 2525.

    Твердження\(p\) вірне, а твердження\(q\) помилкове. Представляємо кожне з наступних тверджень за формулою. Яка їхня істинна цінність\(r\), якщо це правда? Що робити\(r\), якщо помилково?

    1. Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку тоді і тільки в тому випадку, якщо Нью-Йорк є столицею штату Нью-Йорк.
    2. Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку, якщо в Нью-Йорку буде більше 40 дюймів снігу в 2525.
    3. Ніагарський водоспад знаходиться в Нью-Йорку або Нью-Йорк є столицею штату Нью-Йорк тоді і тільки тоді, коли в Нью-Йорку буде більше 40 дюймів снігу в 2525.

    Приклад\(\PageIndex{4}\label{ex:bicond-04}\)

    Висловіть символічно кожне з наступних складених тверджень:

    1. Продукт,\(xy=0\) якщо і тільки якщо\(x=0\) або\(y=0\).
    2. Ціле число\(n=4\) if і тільки if\(7n-5=23\).
    3. Необхідною умовою для\(x=2\) є\(x^4-x^2-12=0\).
    4. Достатня умова для\(x=2\) є\(x^4-x^2-12=0\).
    5. Для\(x^4-x^2-12=0\), це як достатньо, так і необхідно мати\(x=2\).
    6. Сума квадратів\(x^2+y^2>1\), якщо\(y\) обидва\(x\) і більше 1.

    Приклад\(\PageIndex{5}\label{ex:bicond-05}\)

    Визначте істинність значень наступних тверджень (припускаючи, що\(x\) і\(y\) є дійсними числами):

    1. Продукт,\(xy=0\) якщо і тільки якщо\(x=0\) або\(y=0\).
    2. Сума квадратів\(x^2+y^2>1\), якщо\(y\) обидва\(x\) і більше 1.
    3. \(x^2-4x+3-0 \Leftrightarrow x=3\).
    4. \(x^2>y^2 \Leftrightarrow x>y\).

    Приклад\(\PageIndex{6}\label{ex:bicond-06}\)

    Визначте істинність значень наступних тверджень (припускаючи, що\(x\) і\(y\) є дійсними числами):

    1. \(u\)є голосним, якщо і тільки якщо\(b\) є приголосним.
    2. \(x^2+y^2=0\)якщо і тільки якщо\(x=0\) і\(y=0\).
    3. \(x^2-4x+4=0\)якщо і тільки якщо\(x=2\).
    4. \(xy\neq0\)якщо і тільки тоді\(x\) і\(y\) обидва позитивні.

    Приклад\(\PageIndex{7}\label{ex:bicond-07}\)

    Ми бачили, що число навіть\(n\) якщо і тільки якщо\(n=2q\) для деякого цілого числа\(q\). Відповідно, що можна сказати про непарне число?

    Приклад\(\PageIndex{8}\label{ex:bicond-08}\)

    Ми також говоримо, що ціле число\(n\) навіть якщо воно ділиться на 2, отже, він може бути записаний як\(n=2q\) для деякого цілого числа\(q\), де\(q\) представляє частку, коли\(n\) ділиться на 2. Таким\(n\) чином, навіть якщо вона кратна 2. Що робити, якщо\(n\) ціле число кратне 3? Яку форму він повинен приймати? Що робити\(n\), якщо не кратна 3?